精品解析：广东省深圳市第13校2023-2024学年八年级下学期期中联考数学试题

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第一部分 选择题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1. 《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2. 下列等式，从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据因式分解的意义和方法，即提公因式法、公式法等方法进行分解判断即可.
【详解】，此选项为单项式的变形，非因式分解，故本选项错误；
，此选项是整式乘法运算，非因式分解，故本选项错误；
此选项为公式法因式分解，属于因式分解，故本选项正确；
此选项未将一个多项式化成几个整式乘积的形式，故本选项错误；
故本题选项为：C.
【点睛】本题考查了因式分解的意义和方法，解决本题的关键是熟练掌握因式分解的方法，区分因式分解与整式乘法运算的不同.
3. 已知，则下列各式中一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了不等式的性质．根据不等式的性质，逐项判断即可求解．
【详解】解：A．若，则，故本选项错误，不符合题意；
B．若，则，故本选项错误，不符合题意；
C．若，，则，故本选项错误，不符合题意；
D．若，，则，故本选项正确，符合题意；
故选：D．
4. 满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（ ）
A. AC＝1，BC＝，AB＝2B. AC：BC：AB＝3：4：5
C. ∠A：∠B：∠C＝1：2：3D. ∠A：∠B：∠C＝3：4：5
【答案】D
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理可判定即可．
【详解】解：A、∵12+（）2＝4，22＝4，
∴12+（）2＝22，
∴AC＝1，BC＝，AB＝2满足△ABC是直角三角形；
B、∵32+42＝25，52＝25，
∴32+42＝52，
∴AC：BC：AB＝3：4：5满足△ABC是直角三角形；
C、∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝×180°＝90°，
∴∠A：∠B：∠C＝1：2：3满足△ABC是直角三角形；
D、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝×180°＝75°，
∴∠A：∠B：∠C＝3：4：5，△ABC不是直角三角形．
故选：D．
【点睛】本题主要考查直角三角形的判定，解题关键是掌握直角三角形的判定方法.
5. 如图，中，，将绕点C顺时针旋转得，当点B的对应的D恰好落在上时，的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角；
根据旋转的性质可得，，然后根据等边对等角计算即可．
【详解】解：∵将绕点C顺时针旋转得，
∴，，
∴，
故选：C．
6. 用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”时，应先提出的假设是（ ）
A. 同旁内角互补的两条直线平行B. 同旁内角互补的两条直线不平行
C. 同旁内角不互补的两条直线平行D. 同旁内角不互补的两条直线不平行
【答案】C
【解析】
【分析】首先明确什么是反证法，然后根据命题“同旁内角不互补两条直线不平行”可以得到应先假设什么，本题得以解决．
【详解】解：由题意可得，
反证法证明命题“同旁内角不互补的两条直线不平行”时，应先假设同旁内角不互补的两条直线平行，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了反证法的第一步，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：
（1）假设结论不成立；
（2）从假设出发推出矛盾；
（3）假设不成立，则结论成立．
在假设结论不成立时要注意考虑结论反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
7. 如图所示，直线经过点，，则不等式的解集是（ ）．

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，正确理解一次函数与一元一次不等式的关系是解题的关键．结合图像，利用一次函数增减性和数形结合的思想解答．
【详解】解：如图，

∵一次函数经过，两点，
∴函数y随x的增大而增大
∴当时，
即不等式的解集为，
故选：A．
8. 下列说法中错误的是（ ）．
A. 等边三角形是等腰三角形
B. 三角形的高、中线、角平分线都是线段
C. 等腰三角形的高线、中线和角平分线互相重合
D. 钝角三角形的三条高所在直线相交于三角形外一点
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了角形的分类方法，三角形中线，角平分线，高的定义，熟知相关知识是解题的关键．根据三角形的分类方法，三角形中线，角平分线，高的定义逐一判断即可．
【详解】解：A、等边三角形是等腰三角形，原说法正确，不符合题意；
B、三角形的高、中线、角平分线都是线段，原说法正确，不符合题意；
C、等腰三角形底边上的高线、底边上的中线和顶角的角平分线互相重合，原说法错误，符合题意；
D、钝角三角形的三条高所在直线相交于三角形外一点，原说法正确，不符合题意；
故选：C．
9. 若不等式组无解，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了已知一元一次不等式组的解集，求不等式组中的字母的值，同样也是利用口诀求解，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解）．根据大于小的小于大的无解，可得到，解出关于m的不等式即可．
【详解】解：由题意可得：，
∴，
故选：C．
10. 如图，，，若，，则点到的距离是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】过点作，垂足为，过点作，交的延长线于点，在中，利用勾股定理可求出的长，再利用等腰直角三角形的性质可得，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后根据的面积的面积的面积的面积进行计算即可解答．
【详解】解：过点作，垂足为，过点作，交的延长线于点，
，，，
，
，，
，，
，
，
，
在中，，
，
的面积的面积的面积的面积，
，
，
，
点到的距离是，
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形，点到直线的距离，利用了勾股定理，锐角三角函数，根据题目的已知条件结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
第二部分 非选择题
二、填空题（共5题，每小题3分，共15分）
11. 因式分解：______．
【答案】
【解析】
【分析】直接提取公因式ab，进而分解因式得出答案．
【详解】解：a2b+ab2=．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
12. 在平面直角坐标系中，将点向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度得到的点的坐标是______ ．
【答案】
【解析】
【分析】根据平移中点的变化规律是：横坐标右加左减，纵坐标上加下减求解即可．
【详解】解：将点向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度得到的点的坐标是，
即．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化平移，平移中点的变化规律是：横坐标右加左减，纵坐标上加下减．
13. 关于x的方程的解是一个非负数，则a的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一元一次方程的解及解一元一次不等式，由得，即可 ，从而解得答案．
【详解】解：由得，
∵x的方程的解是一个非负数，
∴，
解得，
故答案为：．
14. 如图，在等腰三角形中，平分垂直平分交于点，则的长是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查垂直平分线性质，等腰三角形性质，勾股定理．根据题意连接，利用勾股定理求出，再设，即，在中应用勾股定理即可得到本题答案．
【详解】解：连接，
，
∵，平分，
∴是边中线，
∴，
∴在中应用勾股定理：，
∵垂直平分交于点，
∴设，则，
在中应用勾股定理：，
∴，解得：，
故答案为：．
15. 如图，在边长为4的等边中，射线于点，将沿射线平移，得到，连接、，则的最小值为________．
【答案】
【解析】
【分析】连接，延长到点，使得，连接，证明当点A、G、在同一条直线上时，，此时取得最小值，即的最小值为，是等边三角形，，边长为4，则，，则，，由勾股定理得到，即可得到的最小值．
【详解】解：如图，连接，延长到点，使得，连接，

∵沿射线平移，得到，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵是等边三角形，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴当点A、G、在同一条直线上时，，此时取得最小值，即的最小值为，
∵是等边三角形，，边长为4，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、勾股定理、轴对称的性质、平移的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相关知识点，正确画出辅助线，构造直角三角形求解．
三、解答题（共7小题，共55分，其中第16题6分，第17题6分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题9分，第22题10分）
16. 因式分解：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
分析】本题考查因式分解—提公因式法，
（1）直接提取公因式即可，
（2）将原式转化为，然后再提取公因式即可；
解题的关键是掌握提公因式的一般步骤，确定一个多项式的公因式时，要对数字系数和字母分别进行考虑，可归纳为“五看”：一看系数，若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；二看字母，公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的指数，各相同字母的指数取指数最低的；四看整体，如果多项式中含有相同的多项式，应将其看成整体，不要拆开；五看首项符号，若多项式中首项的符号为“－”，则公因式的符号一般为负．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
．
17. 解不等式组，并将其解集在数轴是表示．
【答案】，数轴见解析．
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式解集，然后把解集表示在数轴上，再确定不等式组的解．
【详解】解：
解不等式①得：，
∴，
解不等式②得：，
∴ ，
∴两个不等式的解集在数轴上表示如图所示：
∴原不等式组的解集为：．
18. 如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点坐标分别为，，．
（1）若经过平移后得到，已知．
①作出平移后的；
②平移的距离为________个单位长度；
（2）将绕点B逆时针旋转，得到．
①作出旋转后的；
②求在旋转过程中所扫过的面积为_______．
【答案】（1）①画图见解析；②；
（2）①画图见解析；②．
【解析】
【分析】（1）①由，确定平移方式，再确定，的对应点，再顺次连接即可，②利用勾股定理求解平移的距离即可；
（2）①分别确定旋转后的对应点，再顺次连接即可；②求解，利用扇形面积公式计算即可．
【小问1详解】
解：①如图，即为所画的三角形，
②平移距离为：；
【小问2详解】
①如图，即为所画的三角形，
②∵，，
∴在旋转过程中所扫过的面积为．
19. 已知：如图，在△ADC中，AD＝CD，且AB∥DC，CB⊥AB于B，CE⊥AD交AD的延长线于E，连接BE．
（1）求证：CE＝CB；
（2）若∠CAE＝30°，CE＝2，求BE的长度．
【答案】（1）见解析；（2）BE＝2．
【解析】
【分析】（1）利用等腰三角形的性质和平行线的性质得到AC是△EAB的角平分线，根据角平分线的性质即可得到CE=CB；
（2）通过倒角证明△AEB是等边三角形，所以BE=AB,在Rt△ABC中，根据30°所对的直角边是斜边的一半求得AC，再根据勾股定理求出AB，即得出BE的长．
【详解】（1）证明：∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵AB∥CD，
∴∠DCA＝∠CAB，
∴∠DAC＝∠CAB，
∴AC是∠EAB的角平分线，
又∵CE⊥AD，CB⊥AB，
∴CE＝CB．
（2）∵AC是∠EAB的角平分线，
∴∠EAB＝2∠CAE＝60°，
∵∠DCA＝∠DAC＝30°，
∴∠EDC＝∠DCA+∠DAC＝60°，
∵CE⊥AD，
∴∠CED＝90°，
∴∠ECD＝30°，
∵CB⊥AB，
∴∠CBA＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠CBA+∠DCB＝180°，
∴∠DCB＝90°，
∴∠ECB＝∠ECD+∠DCB＝120°，
∵CE＝CB＝2，
∴∠CBE＝∠CEB＝（180°﹣∠ECB）＝30°，
∴∠EBA＝60°，
∴∠AEB＝∠EAB＝∠ABE＝60°，
∴△AEB是等边三角形，
∴BE＝AB；
在Rt△ABC中，
∵BC⊥AB，∠CAB＝30°，
∴AC＝2BC＝4，
∴AB＝，
∴BE＝2．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，含30°角的直角三角形，勾股定理，等边三角形的判定与性质，其中，判定△AEB是等边三角形是解题的关键．
20. 某文具商店购买了两种类型文具A和文具B销售，若购A文具5个，B文具3个，需要105元：若购进A文具8个，B文具6个，需要186元．
（1）求文具A，文具B的进价分别是多少元？
（2）若每个文具A的售价为20元，每个文具B的售价为21元．结合市场需求，该商店决定购进文具A和文具B共80个，且购进文具B的数量不少于文具A的数量的．且文具A和文具B全部销售完时，求销售的最大利润及相应的进货方案．
【答案】（1）文具A，文具B的进价分别是12元和15元
（2）当购进文具A的数量为48个，文具B的数量为32个时，利润最大为576元
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用：
（1）设文具A，文具B的进价分别是元，元，根据购A文具5个，B文具3个，需要105元：若购进A文具8个，B文具6个，需要186元，列出方程组进行求解即可；
（2）是购买文具A的数量为个，根据购进文具A和文具B共80个，且购进文具B的数量不少于文具A的数量的列出不等式求出的取值范围，设总利润为，列出一次函数关系式，利用一次函数的性质进行求解即可．
【小问1详解】
解：设文具A，文具B的进价分别是元，元，由题意，得：
，解得：，
答：文具A，文具B的进价分别是12元和15元；
【小问2详解】
设购进文具A的数量为个，则购进文具B个，由题意，得：
，
解得：，
设总利润为，由题意，得：，
∴随的增大而增大，
∵，
∴当时，此时，有最大值为576；
答：当购进文具A的数量为48个，文具B的数量为32个时，利润最大为576元．
21. [问题提出]：如何解不等式？
预备知识1：同学们学习了一元一次方程、一元一次不等式和一次函数，利用这些一次模型和函数的图象，可以解决一系列问题．
图①中给出了函数和的图象，观察图象，我们可以得到：当时，函数的图象在图象上方，由此可知：不等式的解集为_________．
预备知识2：函数称为分段函数，其图象如图②所示，实际上对带有绝对值的代数式的化简，通常采用“零点分段”的办法，将带有绝对值符号的代数式在各“取值段”化简，即可去掉绝对值符号，比如化简时， 可令和， 分别求得， (称1， 3分别是和的零点值)， 这样可以就，，三种情况进行讨论：
（1） 当时，
（2） 当时，；
（3） 当时，，
所以就可以化简为
预备知识3：函数(b为常数)称为常数函数，其图象如图③所示．
[知识迁移]
如图④，直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解集是___________．
[问题解决]
结合前面的预备知识，我们来研究怎样解不等式．
（1）请在平面直角坐标系内作出函数的图象；
（2）通过观察图象，便可得到不等式的解集，这个不等式的解集为_______．
【答案】[问题提出]；[知识迁移]；[问题解决]（1）见解析；（2）或．
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式之间的关系，熟练掌握函数的性质，数形结合是解题的关键．
[问题提出]：根据函数图象可得答案；
[知识迁移]：先求解的值，再根据函数图象可得答案；
[问题解决]：（1）把函数化为，再画图即可；
（2）在同一坐标系内画的图象，并求解两个函数的交点坐标，根据函数图象可得答案；
【详解】解：[问题提出]，如图，
∵当时，函数的图象在的图象上方，
∴不等解集为：，
[知识迁移]，如图，
∵点在上，
∴，
解得：，
∴，
∵当时，直线的图象在的图象的上方，
∴不等式，
即的解集为：，
[问题解决]
（1）根据题意得：
，
画图如下：
（2）再在同一坐标系内画的图象如下：
由函数图象得：与有交点，
则，
解得：，
与有交点，
则
解得：
∴与的两个交点坐标分别为：，；
由函数图象可知，当时，的图象在的上方，
当时，的图象在的上方，
故不等式的解集为：或．
22. （1）问题提出：如图1，点E为等腰内一点，，，将绕着点A逆时针旋转得到，求证：．
（2）尝试应用：如图2，如图2，点D为等腰外一点，，，过点A的直线分别交的延长线和的延长线于点N，M，若，求证；
（3）问题拓展：如图3，中，，点D，E分别在边，上，，，交于点H．若，，直接写出的长度．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）13．
【解析】
【分析】（1）由旋转的性质可证得，，进而得证，即可利用证明．
（2）延长至G，使 ，连 接，设 交于K，如图：证明，，可得，再进一步可得结论；
（3）将绕 点A 逆时针旋转至，作交 于 M，连 接，，证明为等边三角形，而，可得，，证明，可得，，证明，可得，证明，可得，再进一步可得答案．
【详解】解： （1）∵，，将绕着点A逆时针旋转得到，
∴，，
∴，
即：，
在与中，，
∴．
（2） 延长至G，使 ，连 接，设 交于K，如图：
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴， 即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）将绕 点A 逆时针旋转至，作交 于 M，连 接，，
∴，，
∴为等边三角形，而，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
在和中，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
∴的长度为13．
【点睛】本题属于几何综合，考查全等三角的判定及性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，含的直角三角形的性质，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键，