广东省深圳市罗湖区四十八校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（含解析）

这是一份广东省深圳市罗湖区四十八校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
说明：全卷共6页，满分100分，考试时长90分钟．请在答题卡上作答，在本卷上作答无效．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出4个选项，其中只有一个选项是正确的，请将正确的选项填在答题卡上）
1．2023年，中国新能源汽车市场快速增长，成为中国汽车行业的一抹亮色，新能源汽车品牌也如雨后春笋，不断涌现．下列是新能源汽车的标志，其中是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度后得到的点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
3．如果，那么下列不等式正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．如今，帆船运动受到越来越多年轻人的喜爱，它不仅能让人体验大自然的惊涛骇浪，还能锻炼人的胆量和体魄．热爱帆船运动的聪聪同学用一副三角板拼成一幅“帆船图”．如图，已知，若，连接，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
5．在中国传统戏剧《白蛇传》中，许仙与白蛇在西湖断桥之上以一把红色油纸伞为媒，演绎了一段千古奇缘．如图，油纸伞是我国传统工艺品之一，伞圈D沿着伞柄滑动时，伞骨的点固定不动，且满足，伞柄平分，当点D在滑动的过程中，下列说法错误的是（ ）
A．B．平分
C．线段垂直平分线段D．
6．如图，在中，，平分，若，则点D到边的距离为（ ）
A．3B．5C．6D．10
7．如图，边长为的长方形的周长为，面积为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
8．深圳读书月，是由深圳市委市政府举办的一项大型群众读书文化活动，以“阅读・进步・和谐”为总主题，着力于提升市民素质．2023年11月15日，第二十四届深圳读书月“年度十大好书”发布，小智同学对《中文打字机：一个世纪的汉字突围史》这本书很感兴趣，他从图书馆借来这本共488页的书，计划在14天之内读完，如果前4天每天只读27页，若从第5天起平均每天读页才能按计划完成，则根据题意可列不等式为（ ）
A．B．
C．D．
9．1796年，19岁的高斯证明了可以尺规作正十七边形，他被誉为世界上最重要的数学家之一，享有“数学王子”的美誉．用他名字命名的高斯函数也称为取整函数，即表示不超过的最大整数．例如：当时，，其函数图象如图所示，当时，的取值范围为（ ）

A．B．C．D．
10．2024年3月5日，第十四届全国人民代表大会第二次会议在北京开幕，政府工作报告中一个新关键词引发热议“人工智能+”．随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图是某餐厅的机器人聪聪和慧慧，他们从剭房门口出发，准备给相距的客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和慧慧行走的路程分别为与之间的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ）

A．慧慧比聪聪晚出发15秒
B．慧慧提速后的速度为30厘米/秒
C．
D．从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧之间距离的最大值为
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，请将正确的答案填在答题卡上）
11．如图，将绕着点顺时针旋转得到，若，，则旋转角等于 ．
12．如图，在中，是的角平分线，则的长为 ．
13．如图，一次函数的图象经过点，则关于x的不等式的解集为 ．
14．如图，在中，的垂直平分线分别交于点，点，与的延长线交于点，则的长为 ．
15．如图，已知是边长为4的等边三角形，点是边上一点，且，将沿折叠，点的对应点为，连接并延长，与的延长线交于点，连接，则的长为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共55分）
16．因式分解：
(1)；
(2)．
17．解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
18．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣4，3），B（﹣3，1），C（﹣1，3）．
（1）请按下列要求画图：
①平移△ABC，使点A的对应点A1的坐标为（﹣4，﹣3），请画出平移后的△A1B1C1；
②△A2B2C2与△ABC关于原点O中心对称，画出△A2B2C2．
（2）若将△A1B1C1绕点M旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心M点的坐标 ．
19．如图，在中，的垂直平分线分别交于点，连接．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若，求的长．
20．每年的5月20日是中国学生营养日，在青少年成长的过程中，营养健康是一个永恒的话题，合理膳食是青少年健康成长的基础．某校家委会为了了解学生在校午餐情况，从食品安全监督部门获取了配餐公司当日盒饭的部分信息，如下图所示，根据信息，解答下列问题．
(1)求这份盒饭中所含蛋白质、脂肪、碳水化合物的质量总和；
(2)若这份盒饭中所含碳水化合物质量是蛋白质质量的6倍，且脂肪所占百分比不高于总质量的，求所含蛋白质质量的最小值．
21．【特例感知】
（1）如图1，在中，，将绕点顺时针旋转得到，且满足点三点共线，延长交于点，连接．求证：；
【类比迁移】
（2）如图2，在中，，将绕点顺时针旋转得到，旋转角为，当时，延长与交于点，连接．请猜想与具有怎样的数量关系？并说明理由；
【拓展提升】
（3）如图3，在中，，将绕点顺时针旋转得到，延长分别与交于两点，连接．请问的值是否为定值？若是，请直接写出的值；若不是，请说明理由．
22．【主题】二元一次不等式的研究
【背景】创新小队发现学习一元一次不等式利用了数形结合的思想，通过观察函数图象，求方程的解和不等式的解集，从中体会了一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的内在联系．创新小队提出新的问题：二元一次不等式的解集如何确定？为此，他们进行了以下的任务探究：
任务一：探究发现
（1）已知二元一次不等式．
步棸1：特例感知
令时，可将此二元一次方程变形为一次函数：，请在图1的平面直角坐标系中画出此一次函数的图象；
步骤2：探究过程
探究①：
取点时，
当时，代入，得，
点在一次函数的图象上，
即．是二元一次方程的解．
探究②：
取点时，将代入得，
不等式成立，
即是二元一次不等式的解．

探究③：
取点时，
在图1中的直角坐标系中描出点，
点在一次函数图象下方，
，即满足；
即是二元一次不等式的解．
步骤3：验证猜想
通过学习步骤2的探究过程，请先判断下列选项中，______（填序号）是二元一次不等式的解；
① ② ③
再写出一组满足二元一次不等式的解：______；（备注：若所写的答案是上述题目中已出现过的解，不给分）
步骤4：发现结论
二元一次不等式的解集可以表示为直线______（填“上方”或“下方”）的所有点组成的区域．
任务二：结论应用
（2）已知不等式组，请在图2的平面直角坐标系中，用阴影部分表示出不等式组的解集所在的区域，并求出该阴影部分的面积．
任务三：拓展升华
（3）在（2）的条件下，若点是阴影部分的一动点，记，则的最大值为______．

参考答案与解析
1．A
【分析】本题考查了中心对称图形的识别．根据中心对称图形的定义“在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”，逐个进行判断即可．
【解答】解：B、C、D不能找到一点，使其绕该点旋转180度后与原来图形重合，故B、C、D不是中心对称图形，不符合题意；
A能找到一点，使A绕该点旋转180度后与原来图形重合，故A是中心对称图形，符合题意；
故选：A．
2．B
【分析】本题主要考查坐标与图形的变化，将点的横坐标加2，纵坐标不变即可求解．
【解答】解：将点向右平移2个单位长度后得到的点的坐标为，
故选：B．
3．A
【分析】此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
根据,应用不等式的性质，逐项判断即可．
【解答】解：，
，故选项A符合题意；
，
，故选项B不符合题意；
，
，故选项C不符合题意；
，
∴，故选项D不符合题意．
故选：A．
4．C
【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的性质，先证明，再根据等腰三角形的性质得出即可．
【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
5．D
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，线段垂直平分线的判定，先证明，得出，，，根据，，得出点A、D在线段的垂直平分线，证明线段垂直平分线段．
【解答】解：∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，，，
∴平分，
∵，，
∴点A、D在线段的垂直平分线，
∴线段垂直平分线段，
无法证明，故D符合题意，不符合题意．
故选：D．
6．C
【分析】本题考查了角平分线的性质，线段的和差，先根据题意求出，再利用角平分线上的点到两边的距离相等，即可得出结论．
【解答】解： ∵，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
过点D作于E，
∵平分，，
∴，
∴点D到边的距离是．
故选：C．
7．B
【分析】本题考查了因式分解的应用，根据题意可得，将代数式因式分解，代入式子的值，即可求解．
【解答】解：∵边长为的长方形的周长为，面积为，
∴即，，
∴，
故选：B．
8．C
【分析】本题主要考查了不等式的应用，设从第5天起平均每天读页才能按计划完成，根据这本书共488页，列出不等式即可．
【解答】解：设从第5天起平均每天读页才能按计划完成，根据题意得：
，
故选：C．
9．C
【分析】本题主要考查了新定义运算，解题的关键是理解题意，根据得出x的范围即可．
【解答】解：∵表示不超过的最大整数，
∴当时，的取值范围为，
故选：C．
10．D
【分析】本题考查了一次函数的应用，从函数图象获取信息，根据图象信息求出运动速度进而判断A，B，C，分别求得以及个各段的函数解析式，结合函数图象即可判断D选项，进而即可求解．
【解答】解：聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．
根据函数图象段是，则慧慧比聪聪晚出发15秒，故A选项正确；
∵当时，；当时，,
故慧慧提速前的速度是，
∵慧慧发一段时间后速度提高为原来的2倍，
∴慧慧提速后速度为，故B正确；
故提速后慧慧行走所用时间为：，
∴，
∴
则聪聪的速度为
∴，故C选项正确
设段对应的函数表达式为，
∵、在上，
∴，解得，
∴；
设段对应的函数表达式为，
∵在上，
∴，解得，
∴，
当时最大距离为
当时最大距离为
当时，
根据函数图象，当最大值为
当时，设解析式为
∵，代入得，
解得：
∴
∴
当时，取得最大值，最大值为
综上所述，从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧之间距离的最大值为，故D选项错误，
故选：D．
11．##度
【分析】本题考查了旋转的性质，根据题意得出旋转角为，即可求解．
【解答】解：∵，，
∴
故答案为：．
12．4
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，根据等腰三角形的性质得出，根据勾股定理求出结果即可．
【解答】解：∵是的角平分线，
∴，，
∴．
故答案为：4．
13．##
【分析】由一次函数的图象经过，以及y随x的增大而减小，可得关于x的不等式的解集．
【解答】解：∵一次函数的图象经过，
∴时，，
又y随x的增大而减小，
∴关于x的不等式的解集为．
故答案是：．
【点拨】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：利用数形结合的思想，从函数的角度看，就是寻求使一次函的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
14．##
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟记线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键．连接，根据勾股定理得出，根据垂直平分线的性质得出，设，则，根据勾股定理得出，求出结果即可．
【解答】解：连接，
∵，
∴，
∵垂直平分，
∴，
设，则，
则在中，根据勾股定理得：，
即，
解得：，
∴．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了等边三角形的性质，折叠的性质，勾股定理；过点作于点，连接交于点，先根据折叠的得出，进而勾股定理求得，在中，得出，根据等面积法求得，进而勾股定理，即可求解．
【解答】解：如图所示，过点作于点，连接交于点，
∵是等边三角形，将沿折叠，点的对应点为，
∴，
∴
∵
∴
∴
∵折叠，
∴，
∴
∵已知是边长为4的等边三角形，点是边上一点，且，
∴
在中，，则
∴，
∴
在中，
∵折叠，
∴，
∵
∴，
解得：
在中，，则
∴
即，
∴
故答案为：．
16．(1)
(2)
【分析】本题考查了因式分解；
（1）提公因式，然后根据平方差公式因式分解，即可求解；
（2）先提公因式，然后根据完全平方公式因式分解即可求解．
【解答】（1）解：
；
（2）解：
17．，数轴上表示见解析
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组合在数轴上表示解集，先分别求解每个不等式，然后确定两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．
【解答】解：
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式组的解集为：
在数轴上表示为：
18．（1）①见解析；②见解析；（2）（0，﹣3）
【分析】（1）①根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
②根据网格结构找出A、B、C关于原点O的中心对称点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可；
（2）连接B1B2，C1C2，交点就是旋转中心M．
【解答】（1）①如图所示，△A1B1C1即为所求；
②如图所示，△A2B2C2即为所求；
（2）如图，连接C1C2，B1B2，交于点M，则△A1B1C1绕点M旋转180°可得到△A2B2C2，
∴旋转中心M点的坐标为（0，﹣3），
故答案为（0，﹣3）．
【点拨】本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握旋转及平移的性质及网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
19．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据垂直平分线的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，根据三角形外角的性质得出，证明，即可得出结论；
（2）过点B作于点F，根据等腰三角形的性质得出，求出，根据勾股定理求出，．
【解答】（1）证明：∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：过点B作于点F，如图所示：
∵，
∴，，
∵是等腰三角形，
∴，
∴，
根据解析（1）可得：，
∴在中，根据勾股定理得：
，
∴在中，根据勾股定理得：
．
【点拨】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形外角的性质，熟知线段垂直平分线的性质是解题的关键．
20．(1)200克
(2)所含蛋白质质量的最小值为20克
【分析】本题主要考查了不等式的应用，解题的关键是根据不等关系，列出不等式．
（1）根据题意列式计算即可；
（2）设这份盒饭中所含蛋白质质量为x克，则所含碳水化合物质量为克，根据脂肪所占百分比不高于总质量的列出不等式，解不等式即可．
【解答】（1）解：根据题意得：这份盒饭中所含蛋白质、脂肪、碳水化合物的质量总和为：
（克）；
（2）解：设这份盒饭中所含蛋白质质量为x克，则所含碳水化合物质量为克，根据题意得：
，
解得：，
答：所含蛋白质质量的最小值为20克．
21．（1）见解析；（2）；理由见解析；（3）的值为定值；
【分析】（1）根据角平分线的判定进行解答即可；
（2）过点A作于点M，于点N，先证明，根据角平分线的判定得出平分，即可证明结论；
（3）过点A作于点G，求出，说明为等腰直角三角形，得出，设，则，根据勾股定理得出，求出，得出，即可求出结果．
【解答】解：（1）根据旋转可知：，，
∴，
∴，，
∴平分，
∴；
（2）；理由如下：
过点A作于点M，于点N，如图所示：
根据旋转可知：，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴平分，
∴；
（3）的值为定值；；
过点A作于点G，如图所示：
根据旋转可知：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
根据解析（2）可知，，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
根据勾股定理得：，
即，
解得：，
∴，
∴．
【点拨】本题主要考查了角平分线的判定，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，旋转的性质，解题的关键是作出发现，熟练掌握角平分线的判定．
22．（1）画图见解析；步骤3：①，（答案不唯一）；步骤4：下方；（2）画图见解析；面积为；（3）
【分析】本题考查了一次函数与不等式问题，一次函数交点问题，与坐标轴围成的三角形的面积，一次函数的平移；
（1）任务一：根据题意画出直线，结合题意，得出二元一次不等式的解集可以表示为直线下方的所有点组成的区域；
任务二：（2）分别画出，的图象，根据题意画出不等式组的解集所在的区域，进而根据三角形的面积公式，求得面积；
（3）依题意，是直线上的一点，则的值即为与轴的交点的纵坐标，进而观察图形可得当与点重合时，值最大，进而将点代入，即可求解．
【解答】任务一：一次函数：，当时，，当时，过点，画出一次函数解析式，如图所示，

验证猜想，通过学习步骤2的探究过程，
取点，，

在图中的直角坐标系中描出点只有在一次函数图象下方，
，即满足；
即是二元一次不等式的解．
故答案为：①．
观察图象，再写出一组满足二元一次不等式的解：（答案不唯一）
故答案为：（答案不唯一）．
步骤4：发现结论，二元一次不等式的解集可以表示为直线下方的所有点组成的区域．
故答案为：下方．
任务二：（2）依题意，对于一次函数，，当时，，则，
对于，当时，，则
联立
解得：，则
如图所示，即为不等式组的解集所在的区域，

（3）在（2）的条件下，若点是阴影部分的一动点，记，
即
∴是直线上的一点，则的值即为与轴的交点的纵坐标，
观察图形可得，当与点重合时，值最大

解得：
故答案为：．