河南省南阳市宛城区宛城区官庄镇第一初级中学2023-2024学年八年级上学期1月月考数学试题（解析版）-A4

这是一份河南省南阳市宛城区宛城区官庄镇第一初级中学2023-2024学年八年级上学期1月月考数学试题（解析版）-A4，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（30分）
1. 有下列命题，其中是真命题的是（ ）
A. 无理数都是无限不循环小数B. 数轴上的点和有理数一一对应
C. 无限循环小数都是无理数D. 两个无理数和还是无理数
【答案】A
【解析】
【分析】利用无理数与有理数的定义判断即可．
【详解】解：A、无理数都是无限不循环小数，是真命题，符合题意；
B、数轴上的点和实数一一对应，是假命题，不符合题意；
C、无限不循环小数都是无理数，是假命题，不符合题意；
D、两个无理数和不一定是无理数，是假命题，不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题考查了命题与定理，实数的运算，有理数与无理数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别计算出各项的结果，再进行判断即可．
【详解】解：A.，故原选项错误；
B. ，故原选项错误；
C. ，计算正确；
D. ，故原选项错误
故选C
【点睛】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方以及积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
3. 小明在纸上写下一组数字“”这组数字中2出现的频率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查频率的计算，解题的关键是掌握频率等于频数除以总次数，即可．
【详解】∵数字“”中，数字出现次，
∴数字出现的频率为：．
故选：A．
4. 一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间，如图所示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题．如果每块砖的厚度，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质，可先证明，即可求得答案．
【详解】解：∵，，
∴．
在和中
∴．
∴，．
∴．
故选：C
5. 在数学课上，老师给出三边分别为a，b，c的，三个角的度数在图中标出，要求同学们画出与全等的三角形，下面是同学们用不同的方法画出的三角形，并把画三角形的已知条件在图中标出，则下列图形中，不一定与全等的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据全等三角形的判定条件进行逐项分析即可．
【详解】解：A、根据“”可证明与原三角形全等，不符合题意；
B、根据“”可证明与原三角形全等，不符合题意；
C、根据“”可证明与原三角形全等，不符合题意；
D、与原三角形形成“边边角”对应相等，但是“边边角”对应相等的两个三角形不一定全等，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查全等三角形的判定定理，理解全等三角形的判定定理是解题关键．
6. 两把相同的长方形直尺按如图所示方式摆放，记两把直尺的接触点为，其中一把直尺边缘和射线重合，另一把直尺的下边缘与射线重合，连接并延长．若，则的度数为（ ）
A. 6B. 5C. 5D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】过点作，一把直尺边缘与的交点为，如图，根据题意得到，根据角平分线的性质定理的逆定理可判断平分，所以，然后根据平行线的性质求解．
【详解】解：过点作，一把直尺边缘与的交点为，如图，
两把直尺为完全相同的长方形，
，
，
平分，
，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线的性质：在角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．也考查了平行线的性质．
7. 如图的方格纸中，每一个小方格都是边长为1的正方形，找出格点C，使成为等腰三角形，这样的格点C的个数有（ ）
A. 8个B. 9个C. 10个D. 11个
【答案】B
【解析】
【分析】根据勾股定理计算出AB=，然后分类讨论确定C点位置．
【详解】解：
由勾股定理可得：AB= ，
以B为顶点，BC=BA，这样的C点有3个；
以A为顶点，AC=AB，这样的C点有6个；
以C为顶点，CA=CB，顶点不在格点上，
所以使△ABC的等腰三角形，这样的格点C的个数有9个．
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．也考查了勾股定理．
8. 如图，在中，，．在上取一点C，延长到点，使，连结；在上取一点D，延长到点，使，连结；……，按此操作进行下去，在以点为顶角顶点的等腰三角形的底角的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意知，，，，……均为等腰三角形，
∴由三角形内角和定理，三角形外角性质可得，，，，
，，，然后作答即可．
【详解】解：由题意知，，，，……均为等腰三角形，
∴由三角形内角和定理，三角形外角的性质可得，，，，
，，，
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．
9. 如图，某市的三个城镇中心A、B、C构成△ABC，该市政府打算修建一个大型体育中心P，使得该体育中心到三个城镇中心A、B、C的距离相等，则P点应设计在（ ）
A. 三个角的角平分线的交点B. 三角形三条高的交点
C. 三条边的垂直平分线的交点D. 三角形三条中线的交点
【答案】C
【解析】
【分析】根据线段垂直平分线的性质解答即可．
【详解】解：∵体育中心到城镇中心A、B的距离相等，
∴PA＝PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，
同理，点P在线段AC，BC的垂直平分线上，
∴P点应设计在三条边的垂直平分线的交点，
故选：C．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
10. 勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要细带．数学家欧几里得利用如图验证了勾股定理．以直角三角形的三条边为边长向外作正方形，正方形，正方形，连接，，具中正方形面积为1，正方形面积为5，则以为边长的正方形面积为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 10
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查的是勾股定理的证明；过点作于点，交于点，由正方形的性质可知、的长，利用直角三角形面积公式可得的长，再勾股定理可得、的长，最后利用勾股定理可得答案．正确作出辅助线是解决此题的关键．
【详解】解：过点作于点，交于点，
正方形面积为5，正方形面积为1，
，，，，
是直角三角形，，
，
，
即，
，
，
，
，
以为边长的正方形面积为10．
故选：．
二、填空题（15分）
11. 比较大小：﹣3_____．
【答案】＜
【解析】
【分析】根据两个负数比较大小，其绝对值大的反而小比较即可．
【详解】解：|-3|=3，|-|=，
∵3＞，
∴-3＜-，
故答案为：＜．
【点睛】本题考查了绝对值，算术平方根和实数的大小比较等知识点，能熟记实数的大小比较法则是解此题的关键．
12. 如图，在中，，，通过观察尺规作图的痕迹，可以求得___________．
【答案】##度
【解析】
【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质、角平分线的定义是解答本题的关键．
由题可得，直线是线段的垂直平分线，为的平分线，再根据线段垂直平分线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：由题可得，直线是线段的垂直平分线，为的平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
13. 如图，学校要测量旗杆高度，同学们发现系在旗杆顶端A的绳子垂到地面C并多出一段（如图1），同学们测量多出的绳长为1米；再将绳子拉直至地面B，并测得绳子末端与旗杆底端的距离为5米（如图2）,则旗杆的高度是_______米．

【答案】12
【解析】
【分析】因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度，熟知勾股定理是解题关键．
【详解】解：设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为米，
在中，根据勾股定理可得：，
即,
解得：，
故旗杆的高度为12米，
故答案为：12
14. 有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形（如图1），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了个正方形（如图2），如果按此规律继续“生长”下去，那么它将变得“枝繁叶茂”．在“生长”了次后形成的图形中所有正方形的面积和是__________.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的应用、图形类规律探究，解题的关键是根据直角三角形性质得到“生长”规律，进而求解即可．
【详解】解：设直角三角形的两条直角边为：、，斜边为，
∴，
∵正方形的边长为，
∴，
由图可知，“生长”次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，
∴所有正方形的面积和为：，
由图可知，“生长”次后，所有正方形的面积和为：，
∴“生长”次后，所有正方形的面积和为：．
故答案为：．
15. 如图所示，等腰三角形ABC的底边为8cm，腰长为5cm ，一动点P（与B、C不重合）在底边上从B向C以1cm/s的速度移动，当P运动____________秒时，△ACP是直角三角形
【答案】1.75或4
【解析】
【分析】先利用等腰三角形“三线合一”求出BD、CD以及BC边上高AD，再分别讨论∠PAC和∠APC为直角的情况，利用勾股定理分别求出两种情况下PB的长，即可求出所需时间．
【详解】解：如图，作AD⊥BC，
∵AB=AC=5cm，BC=8cm，
∴BD=CD=4cm，
当点P运动到与点D重合时，是直角三角形，
此时BP=4，
∴运动时间为4÷1=4（秒）；
当∠PAC=90°时，设PD=x
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴BP=4－2.25=1.75，
所以运动时间为1.75÷1=1.75（秒）；
综上可得：当P运动4秒或1.75秒时，是直角三角形；
故答案为：1.75或4．
【点睛】本题综合考查了等腰三角形的性质、勾股定理等内容，要求学生能通过做辅助线构造直角三角形，列出关系式，求出对应线段的长，本题蕴含了分类讨论的思想方法．
三、解答题（75分）
16. 因式分解：
（1）；
（2）.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是提公因式法分解因式，利用平方差公式，完全平方公式分解因式，掌握以上知识是解题的关键．
（1）先提公因式，再利用平方差公式分解即可；
（2）先利用平方差公式分解，再利用完全平方公式分解因式即可．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
原式
．
17. 先化简，再求值：，其中.
【答案】，
【解析】
【分析】应用完全平方公式和平方差公式，将中括号中的式子展开，合并同类项后，在根据多项式除单项式进行化简，将代入，即可求值，本题考查了完全平方公式，平方差公式，多项式除单项式，解题的关键是：熟练掌握完全平方公式和平方差公式．
【详解】解：
当时，
．
18. 第24届冬季奥林匹克运动会在中国北京和张家口市联合举行．某校为了解九年级学生对冬季奥林匹克运动会相关知识的掌握情况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息如下：
a．测试成绩等级标准如下：
b．九年级学生成绩频数分布直方图和各等级人数的扇形统计图（如图）：
请根据以上信息回答下面问题：
（1）本次调查中“E”等级有______人；
（2）本次共调查了______人，成绩在分的有______人；
（3）求扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角的大小为______．
【答案】（1）5 （2）50，12
（3）72°
【解析】
【分析】（1）直接根据图①即可得出结果；
（2）结合图①与图②即可确定总人数，然后用总人数减去各个等级的人数即可；
（3）利用（2）中“D”等级有10人，用乘以其所占比例即可．
【小问1详解】
解：根据图①可得，“E”等级有5人，
故答案为：5；
【小问2详解】
由（1）得“E”等级有5人，由图②得“E”等级所占比例为10%，
∴总人数为：人，
由图①得：“A”等级有11人，“B”等级有12人，“D”等级有10人，“E”等级有5人，
∴“C”等级有人，
故答案为：50；12；
【小问3详解】
由（2）得“D”等级有10人，
∴圆心角度数为：，
故答案：
【点睛】题目主要考查条形统计图与扇形统计图综合问题，包括求圆心角及基本数据，联合两个图获取相关信息是解题关键．
19. 在如图正方形网格中作图：
（1）在图1中画出，使，且；
（2）在图2中画出，使，且；
（3）在图3中画出，使，且非直角三角形，该的面积为______．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析；7.5
【解析】
【分析】（1）找到格点，使得， 则即为所求；
（2）找到格点，使得，，则即为所求；
（3）找到格点，使得，则即为所求；
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求，，
∴是直角三角形，，且
【小问2详解】
如图所示，即为所求；，
∴
∴是直角三角形，，且
【小问3详解】
如图所示，即为所求；，面积为
【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题，以及勾股定理的逆定理，数形结合是解题的关键．
20. 在中，，为边上一点．
（1）用尺规完成作图：作线段的垂直平分线交于点，交于，连接，；（注意：保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
（2）若，求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了基本作图，线段垂直平分线性质，等腰三角形性质及全等三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．（1）根据题意作出图形即可；（2）根据等腰三角形性质和全等三角形的判定和性质即可得出结论．
【小问1详解】
解：如图所示，直线为所求．
【小问2详解】
，
．
又，
．
，且，
．
垂直平分，
，
，
．
21. 如图1，油纸伞是中国传统工艺品之一，起源于中国的一种纸制或布制伞，油纸伞的制作工艺十分巧妙，如图2，伞圈D沿着伞柄AP滑动时，总有伞骨，，从而使得伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的．为了说明这一制作方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程.
已知：如图，点，，，在同一平面内，__________，__________.求证：__________.
【答案】，，AP平分；证明见解析
【解析】
【分析】本题考查全等三角形、角平分线的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，角平分线的定义．
【详解】由题意得，，，根据这两个条件可推导出平分，
故答案为：，；平分．
证明，如下：
∵AD是公共边，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∴平分．
22. 如图，在中，．延长到点，使；过点作的垂线并在垂线上截取，连结和．求证：
（1）．
（2）利用此图的面积表示式证明．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理．
（1）证明即可；
（2）梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和，即可得证．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
∵，
∴，
整理，得：．
23. 如图，在中，，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线运动.设点的运动时间为秒.
（1）求斜边上的高线长；
（2）当在上时，的长为__________，的取值范围是__________.（用含的代数式表示）；
若点在的角平分线上，则的值为__________；
（3）在整个运动过程中，当是等腰三角形时的值为__________.
【答案】（1）斜边上的高线长为；
（2），；；
（3）是等腰三角形时的值为或或．
【解析】
【分析】（）过点作于点，利用面积法求解；
（）根据点的运动路径及速度可解；过点作于，利用角平分线的性质可知，再证，推出，最后利用勾股定理解即可；
（）分和两种情况，利用等腰三角形的性质、勾股定理分别求解即可；
本题主要考查了勾股定理在动点问题中的应用，数形结合、分类讨论并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
【小问1详解】
在中，，，，
∴，
如图所示，过点作于点，
，即，
∴斜边上的高线长为；
【小问2详解】
∵点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线运动，，
∴，
∴，即，
∴，
故答案为：，；
点在的角平分线上时，过点作于，如图所示，
∵平分，，，
∴.
又∵，
∴，
∴，则，由（）知，
∴，
∴，
中，，即，
解得，
∴点在的角平分线上时，
故答案为：；
【小问3详解】
是以为一腰的等腰三角形时，有两种情况：
当时，如图所示，
则，
∴；
当时，过点作于点，如图所示，
由（）知，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
是以为底的等腰三角形时，的值为，
综上，是等腰三角形时的值为或或．
等级
A
B
C
D
E
分数x的范围