2024-2025学年福建省福州一中九年级（上）期中数学试卷（含详解+考点）

这是一份2024-2025学年福建省福州一中九年级（上）期中数学试卷（含详解+考点），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）若两个相似图形的相似比是3：7，则它们的面积比是（ ）
A．3：7B．9：49C．7：3D．9：40
2．（4分）把二次函数y＝2x2的图象向下平移1个单位长度后所得的图象的函数解析式为（ ）
A．y＝2（x﹣1）2B．y＝2（x+1）2C．y＝2x2﹣1D．y＝2x2+1
3．（4分）若关于x的方程x2+5x+a＝0有一个根为﹣1，则a的值为（ ）
A．6B．﹣6C．4D．﹣4
4．（4分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若AB＝5，AC＝4，BC＝2，则BE的长为（ ）
A．5B．4C．2D．3
5．（4分）如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，设∠ABC＝25°，则∠BDC＝（ ）
A．85°B．75°C．70°D．65°
6．（4分）近年来，我国数字技术不断革新，影响着全民阅读形态．为预计某市2024年数字阅读市场规模，经查询得数据：该市2021年数字阅读市场规模为432万元，2023年数字阅读市场规模为507万元．设该市年平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A．432（1+2x）＝507
B．432（1+2x）2＝507
C．432（1+x）2＝507
D．432+432（1+x）+432（1+x）2＝507
7．（4分）如表中列出了二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的一些对应值，则一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个近似解x的范围是（ ）
A．﹣1＜x＜0B．0＜x＜1C．2＜x＜3D．3＜x＜4
8．（4分）如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为5m，宽为4m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（ ）
A．6m2B．7m2C．8m2D．9m2
9．（4分）把边长分别为1和2的两个正方形按如图的方式放置．则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
10．（4分）点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝2mx2﹣mx﹣1上，且满足x1＞x2，x1+x2＝2﹣m，y1＜y2，则m的取值范围是（ ）
A．B．或m＜0C．0＜m＜1D．m＞1或m＜0
二、填空题（每题4分，共24分，请把答案写在答题卷上）
11．（4分）在做抛掷均匀硬币实验时，抛一次硬币，正面朝上的概率为 ．
12．（4分）点A坐标为（1，2），点A与点B关于原点中心对称，点B坐标为 ．
13．（4分）抛物线y＝x2﹣2x+c与x轴只有一个交点，则c＝ ．
14．（4分）如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦，⊙O的半径为3cm．C为⊙O上一点，∠ACB＝60°，则AB的长为 cm．
15．（4分）当x＝a与x＝b（a≠b）时，代数式x2﹣2x+3的值相等，则x＝a+b时，代数式x2﹣2x+3的值为 ．
16．（4分）√△ABC中，∠ACB＝90°，，D在线段AB上运动，以CD为斜边作Rt△CDE，使∠DCE＝30°，点E和点A位于CD的两侧，连接BE，则BE的最小值为 ．
三、解答题（共86分，请把答案写在答题卷上）
17．（8分）解方程：（1）2x2﹣8＝0；
（2）．
18．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE．
19．（8分）如图，每个小正方形的边长均为1，方格纸中画有△A1B1C1，A1、B1、C1均在小正方形的顶点上．
（1）将△A1B1C1绕点C1逆时针旋转90°得到△A2B2C1，画出△A2B2C1；
（2）在（1）的旋转过程中，求点A1运动的路径的长度．
20．（8分）如图，以线段AB为直径作⊙O，交射线AC于点C，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作直线DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F，连接BD并延长交AC于点M．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）求证：AB＝AM；
21．（8分）已知抛物线经过点（1，0），（3，0），且有最大值4．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若﹣1＜x＜3，求函数值y的取值范围．
22．（10分）一个不透明的袋中装有1个红球、2个黑球，它们除颜色不同外其余都相同．
（1）若从袋中随机摸出一球，求该球是红球的概率；
（2）先往袋中加入1个红球或黑球（它们与袋中的球大小、质地完全一样），再从袋中依次抽取两球（不放回），若要使得抽取的这两球颜色相同的概率较大，则应往袋中加入红球还是黑球？请利用树状图或列表法说明理由．
23．（10分）正五边形是一个具有和谐美的几何图形，其尺规作图法引起了学者们的关注，里士满提出了一个构造圆内接正五边形的尺规作图方法，并且通过计算得到，当圆的半径为1时，其内接正五边形的边长为．如图，圆O的半径1，AC和BD是相互垂直的直径，直线l是过点C的圆的切线．
（1）尺规作图：①作OC的中点E，②以C为圆心，OE的长为半径交切线于点F，③以F为圆心，OF的长半径交切线于点G，且F、G在直线AC的两侧，连接OF、OG；
（2）结合材料，在线段OF、OG、EF中，判断哪条线段的长度等于圆O的内接正五边形的边长，并说明理由．
24．（12分）根据以下的素材，制定方案，设计出面积最大的花圃：
素材1：有一堵长m米（0＜m＜20）的围墙，利用这堵墙和长为60m的篱笆围成矩形花圃，设花圃面积为y，甲、乙、丙三人讨论如何设计一个面积最大的花圃．
素材2：甲的设计方案，利用墙面作为矩形花圃的一边（如图1），求解决过程如下：
设平行于墙面的篱笆长为n米，则垂直于墙面的篱笆长为．
依题意得；，
∵函数开口向下，对称轴为直线n＝30，
∴当0＜n≤m时，y随n的增大而增大，
∴n＝m时，y的最大值为．
素材3：受甲的方案的启发，乙、丙各自有了新的设计方案．乙的方案：利用全部围墙作为矩形一边的一部分（如图2）；丙的方案，利用部分围墙作为矩形一边的一部分（如图3）
设墙左端篱笆AM长为x米，解决下列问题：
任务1：当m＝12时，对于乙的方案，则可知BC＝AD＝ （用含x的代数式表示），花圃面积y＝ （用含x的代数式表示），求该方案对应的花圃面积的最大值．
任务2：对于丙的方案，设所用墙的长度MD为a米（a＜m），求该方案对应的花圃面积的最大值．
任务3：比较甲、乙、丙三种方案，判断哪种方案设计出的花圃面积更大？并说明理由．
25．（14分）如图是一张矩形纸片ABCD，点M是对角线AC的中点，点E在BC边上．
（1）如图1，将△DCE沿直线DE折叠，使点C落在对角线AC上的点F处，连接DF，EF．
①若∠EDC＝30°，DE＝1，求对角线AC的长；
②若MF＝CD，求∠DAF的度数及此时的值．
（2）如图2，若CB＝3，CD＝2，连接BM、ME，将△MEC沿ME折叠，点C的对应点为点G，当线段GE与线段BM交于点H且△BHE为直角三角形时，求此时BE的长．
2024-2025学年福建省福州一中九年级（上）期中数学试卷
参考答案
一、选择题（每小题4分，共40分，请把答案写在答题卷上）
1．【考点】相似图形．
【解答】解：∵两个相似图形的相似比是3：7，
∴它们的面积比是（）2＝9：49，
故选：B．
2．【考点】二次函数图象与几何变换．
【解答】解：根据平移规则“左加右减，上加下减”，把二次函数y＝2x2的图象向下平移1个单位长度后所得的图象的函数解析式为y＝2x2﹣1．
故选：C．
3．【考点】一元二次方程的解．
【解答】解：把x＝﹣1代入方程x2+5x+a＝0，得（﹣1）2+5×（﹣1）+a＝0，
解得a＝4．
故选：C．
4．【考点】旋转的性质．
【解答】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，
∴∠BAE＝60°，BA＝AE，
∴△ABE是等边三角形，
∴BE＝AB＝5，
故选：A．
5．【考点】圆周角定理．
【解答】解：连接OC，如图，
∵∠ABC＝25°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝2×25°＝50°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣50°＝130°，
∴．
解法二：因为AB是直径，
所以∠ACB＝90°
所以∠BDC＝∠CAB＝90°﹣∠ABC＝65°．
故选：D．
6．【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【解答】解：根据题意得：432（1+x）2＝507．
故选：C．
7．【考点】图象法求一元二次方程的近似根；二次函数的性质．
【解答】解：当x＝﹣1时，y＝﹣1；当x＝0时，y＝1，
∴方程的一个近似根x的范围是﹣1＜x＜0，
故选：A．
8．【考点】利用频率估计概率；折线统计图．
【解答】解：假设不规则图案面积为x m2，
由已知得：长方形面积为20m2，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：，
当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35，
综上有：，解得x＝7．
故选：B．
9．【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．
【解答】解：方法一、如图，设BC＝x，则CE＝1﹣x
易证△ABC∽△FEC
∴＝＝＝
解得x＝
∴阴影部分面积为：S△ABC＝××1＝．
方法二、如图，以点O为原点，OD所在直线为x轴，BO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，
则点A（﹣1，1），点D（2，0），点B（0，2），
∴直线AD的解析式为：y＝﹣x+，
∴点C坐标为（0，），
∴BC＝，
阴影部分面积为：S△ABC＝××1＝．
故选：A．
10．【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征．
【解答】解：抛物线y＝2mx2﹣mx﹣1的对称轴为直线x＝＝，
∵x1+x2＝2﹣m，
则＝，
当2m＞0时，即m＞0，开口向上，
∵x1＞x2，y1＜y2，
∴＜，解得m＞；
当2m＜0时，即m＜0，开口向下，
∵x1＞x2，y1＜y2，
∴＞，解得m＜，故m＜0，
综上可得，m＞或m＜0．
故选：B．
二、填空题（每题4分，共24分，请把答案写在答题卷上）
11．【考点】模拟试验．
【解答】解：在做抛掷均匀硬币实验时，抛一次硬币，正面朝上的概率为．
故答案为：．
12．【考点】关于原点对称的点的坐标．
【解答】解：∵点A与点B关于原点对称，点A坐标为（1，2），
∴点B坐标为：（﹣1，﹣2）．
故答案为：（﹣1，﹣2）．
13．【考点】抛物线与x轴的交点．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x+c与x轴只有一个交点，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4c＝0，
解得c＝1．
故答案为：1．
14．【考点】三角形的外接圆与外心．
【解答】解：连接AO并延长交⊙O于点D，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∵∠ACB＝60°，
∴∠ADB＝∠ACB＝60°，
在Rt△ABD中，AD＝6cm，
∴AB＝AD•sin60°＝6×＝3（cm），
故答案为：3．
15．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【解答】解：由y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2可知抛物线y＝x2﹣2x+3对称轴为直线x＝1，
∵当x＝a与x＝b（a≠b）时，代数式x2﹣2x+3的值相等，
∴当x＝a或x＝b（a≠b）时，二次函数y＝x2﹣2x+3的函数值相等，
∴以a、b为横坐标的点关于直线x＝1对称，则＝1，
∴a+b＝2，
∵x＝a+b，
∴x＝2，
x＝2时，代数式x2﹣2x+3＝4﹣4+3＝3．
故答案为3．
16．【考点】相似三角形的判定与性质；垂线段最短；三角形三边关系；全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形．
【解答】解：作CF⊥AB于点F，则∠AFC＝∠BFC＝90°，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝，
∴AB＝＝BC＝×＝2，
∴CF＝AF＝BF＝AB＝1，
∵∠CED＝90°，∠DCE＝30°，
∴∠CDE＝60°，
作直线EF，取CD的中点O，连接OE、OF，作以O为圆心，以OD为半径的圆，
∵OF＝OE＝OC＝OD＝CD，
∴F、E、C、D四点都在⊙O上，
∴∠CFE＝∠CDE＝60°，
∴∠BFE＝∠BFC﹣∠CFE＝30°，
∴点E在直线EF上运动，
作BL⊥FE于点L，则∠BLF＝90°，
∴BL＝BF＝，
∵BE≥BL，
∴BE≥，
∴BE的最小值为，
故答案为：．
三、解答题（共86分，请把答案写在答题卷上）
17．【考点】解一元二次方程﹣公式法；解一元二次方程﹣直接开平方法．
【解答】解：（1）∵2x2﹣8＝0，
∴2x2＝8，
则x2＝4，
∴x1＝2，x2＝﹣2；
（2）∵a＝，b＝﹣3，c＝﹣5，
∴Δ＝9﹣4××（﹣5）＝19＞0，
则x＝＝3，即x1＝3+，x2＝3﹣．
18．【考点】相似三角形的判定；等腰三角形的性质．
【解答】证明：在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC，
∵CE⊥AB，
∴∠ADB＝∠CEB＝90°，
又∵∠B＝∠B，
∴△ABD∽△CBE．
19．【考点】作图﹣旋转变换；轨迹．
【解答】解：（1）如图，△A2B2C1即为所求．
（2）由勾股定理得，A1C1＝＝，
∴点A1运动的路径的长度为＝．
20．【考点】切线的判定与性质；角平分线的性质；垂径定理；圆周角定理．
【解答】证明：（1）连接OD，
∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵AD平分∠CAB，
∴∠OAD＝∠DAC，
∴∠ODA＝∠DAC，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴直线DE是⊙O的切线；
（2）∵线段AB是⊙O的直径，
∠ADB＝90°，
∠ADM＝180°﹣∠ADB＝90°，
∠M+∠DAM＝90°，
∠ABM+∠DAB＝90°，
∵∠DAM＝∠DAB，
∴∠M＝∠ABM，
∴AB＝AM．
21．【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．
【解答】解：（1）∵抛物线经过点（1，0），（3，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，
∵函数有最大值4，
∴抛物线的顶点坐标为（2，4），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+4，
把（1，0）代入得a+4＝0，解得a＝﹣4，
∴抛物线解析式为y＝﹣4（x﹣2）2+4．
（2）∵y＝﹣4（x﹣2）2+4，
∴抛物线开口向下，函数有最大值为4，
当x＝﹣1时，y＝﹣4（﹣1﹣2）2+4＝﹣32，
∴当﹣1＜x＜3时，函数值y的取值范围是﹣32＜y≤4．
22．【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【解答】解：（1）由题意得，该球是红球的概率为．
（2）当往袋中加入1个红球时，
列表如下：
共有12种等可能的结果，其中抽取的这两球颜色相同的结果有4种，
∴抽取的这两球颜色相同的概率为＝．
当往袋中加入1个黑球时，
列表如下：
共有12种等可能的结果，其中抽取的这两球颜色相同的结果有6种，
∴抽取的这两球颜色相同的概率为＝．
∵，
∴应往袋中加入黑球．
23．【考点】作图—复杂作图；切线的性质；正多边形和圆．
【解答】解：（1）尺规作图如下：
（2）OG是圆O的内接正五边形的边长，理由如下：
∵直线l为⊙O的切线，
∴∠OCE＝∠OCG＝90°，
∵E为OC中点，
∴OE＝CE＝CF＝，
∴EF＝＝，OF＝＝＝FG，
∴CG＝FG﹣CF＝﹣＝，
∴OG＝＝＝；
∴OG是圆O的内接正五边形的边长．
24．【考点】二次函数的应用．
【解答】解：任务1：当m＝12时，对于乙的方案，则可知BC＝AD＝（x+12）米，
∴AB＝＝（18﹣x）米，
∴花圃面积y＝（x+12）（18﹣x）＝﹣x2+6x+216＝﹣（x2﹣6x+9﹣9）+216＝﹣（x﹣3）2+225，
∴当x＝3时，y有最大值为225米2；
故答案为：（x+12）米，（﹣x2+6x+216）米2；
任务2：丙的方案，设所用墙的长度MD为a米（a＜m），
∴AD＝（x+a）米，AB＝＝（30﹣x﹣a）米，
∴花圃面积y＝（x+a）（30﹣x﹣a），
设x+a＝t，则y＝t（30﹣t）＝﹣t2+30t＝﹣（t﹣15）2+225，
当t＝15，即x+a＝15时，y有最大值是225米2，
答：该方案对应的花圃面积的最大值；
任务3：甲方案设计出的花圃面积更大，理由如下：
甲的设计方案：依题意得；y＝﹣n2+30n＝﹣（n2﹣60n+900﹣900）＝﹣（n﹣30）2+450，
对称轴是：直线x＝30，
当n＜30时，y随n的增大而增大，
∵n＝m时，y的最大值为，且0＜m＜20，
当n＝20时，y＝﹣×100+450＝400，
当n＝19时，y＝﹣×121+450＝389.5，
即甲方案设计出的花圃面积大于389.5米2且小于400米2；
乙的方案：当x＝3时，y有最大值为225米2；
丙的方案：该方案对应的花圃面积的最大值为225米2；
综上，甲方案设计出的花圃面积更大，
25．【考点】相似形综合题．
【解答】解：（1）①∵四边形ABCD为矩形，
∴∠DCE＝∠ADC＝90°，
∵∠EDC＝30°，DE＝1，
∴，，
由折叠的性质可得∠EDF＝∠EDC＝30°，DC＝DF，
∴∠CDF＝∠EDF+∠EDC＝60°，
∴△CDF为等边三角形，
∴∠FCD＝60°，
∴∠CAD＝90°﹣∠FCD＝30°，
∴；
②如图，连接DM，
由折叠的性质可得∠EDF＝∠EDC，DC＝DF，
∵MF＝CD，
∴MF＝DF，
∴∠DMF＝∠MDF，
设∠DMF＝∠MDF＝α，则∠DFC＝∠DMF+∠MDF＝2α，
∵DC＝DF，
∴∠DCF＝∠DFC＝2α，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ADC＝90°，
∵M为AC的中点，
∴，
∴∠DCF＝∠MDC＝2α，
∵∠MCD+∠MDC+∠CMD＝180°，
∴α+2α+2α＝ 180°，
∴α＝36°，
即∠CMD＝36°，∠MDC＝∠MCD＝∠DCF＝∠DFC＝72°，
∵AM＝DM，
∴∠MAD＝∠MDA，
∵∠MAD+∠MDA＝∠CMD＝36°，
∴∠MAD＝∠MDA＝ 18°，
即∠DAF＝18°，
∵∠MDC＝∠DCF，∠MCD＝∠DFC，
∴△MDC∽△DCF，
∴，
∵MF＝DF＝CD，
∴，
解得（负值已舍去），
∴，
∴，
∴；
（2）∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC＝90°，
∵CB＝3，CD＝2，
∴，
∵M为AC的中点，
∴，
∵△BHE为直角三角形，
∴当∠BHE＝90°时，如图，
∵BM＝CM，
∴∠HBE＝∠BCA，
∵∠ABC＝∠EHB＝90°，
∴△BHE∽△CBA，
∴，
设HE＝2x，则BH＝3x，，，，
由折叠的性质可得，，
∴，
∵∠GHM＝∠BHE＝90°，
∴由勾股定理可得HM2+GH2＝GM2，
∴，
解得，
∴，
∵BE＜3，
∴；
当∠BEH＝90°时，如图，
同理可得：△BEH∽△CBA，
∴，
设HE＝2y，则BE＝3y，，，CE＝BC﹣BE＝3﹣3y，
由折叠的性质可得GE＝CE＝3﹣3y，，
∴GH＝GE﹣HE＝3﹣3y﹣2y＝3﹣5y，
∵∠MCE＝∠G＝∠MBC，
∴∠GHM+∠G＝∠HBE+∠BHE＝90°，
∴∠GMH＝180°﹣（∠GHM+∠G）＝90°，
∴由勾股定理可得HM2+GM2＝GH2，
∴，
解得或，
∴或，
∵BE＜3，
∴，
综上所述，BE的长为或．
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y
…
﹣11
﹣5
﹣1
1
1
…
红
红
黑
黑
红
（红，红）
（红，黑）
（红，黑）
红
（红，红）
（红，黑）
（红，黑）
黑
（黑，红）
（黑，红）
（黑，黑）
黑
（黑，红）
（黑，红）
（黑，黑）
红
黑
黑
黑
红
（红，黑）
（红，黑）
（红，黑）
黑
（黑，红）
（黑，黑）
（黑，黑）
黑
（黑，红）
（黑，黑）
（黑，黑）
黑
（黑，红）
（黑，黑）
（黑，黑）