备战2025年高考数学精品课件第七章 第5讲 空间向量及空间位置关系
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这是一份备战2025年高考数学精品课件第七章 第5讲 空间向量及空间位置关系,共60页。PPT课件主要包含了a=λb,不共线,p=xa+yb,xa+yb+zc,规律总结,确定平面法向量的方法,方法技巧,m·n=0,ABC等内容,欢迎下载使用。
1. 空间向量的三个定理
规律总结应用共线(面)向量定理证明点共线(面)的方法
2. 空间向量的坐标运算
设 a =( a 1, a 2, a 3), b =( b 1, b 2, b 3),则
(1) a ± b =( a 1± b 1, a 2± b 2, a 3± b 3);
(2)λ a =(λ a 1,λ a 2,λ a 3)(λ∈R);
(3) a · b =⑤ ;
(4) a ∥ b ⇔ a =λ b ( b ≠0)⇔⑥ ;
(5) a ⊥ b ⇔ a · b =0⇔⑦ ;
a 1 b 1+ a 2 b 2+ a 3 b 3
a 1=λ b 1, a 2=λ b 2, a 3=λ b 3(λ∈R)
a 1 b 1+ a 2 b 2+ a 3 b 3=0
空间两点间的距离及中点坐标公式
设点 A ( x 1, y 1, z 1), B ( x 2, y 2, z 2)是空间中两点,则
(1) AB =⑧ ;
3. 直线的方向向量和平面的法向量
(1)直接法:观察是否有垂直于平面的直线,若有,则此直线的方向向量就是平面的
法向量.
注意 n =(0,0,0)不能作为法向量.
向量的叉乘 a × b 运算得出的是与 a , b 垂直的向量,所以可以利用叉乘计算平面的
法向量,运算法则如下:
4. 空间位置关系的向量表示
1. 下列说法正确的是( C )
2. 已知 A (1,0,0), B (0,1,0), C (0,0,1),则下列向量是平面 ABC 的一个法
向量的是( C )
3. 在空间直角坐标系中, A (1,1,-2), B (1,2,-3), C (-1,3,0), D ( x ,
y , z )( x , y , z ∈R),若 A , B , C , D 四点共面,则( A )
4. 已知向量 a =(1,0,-1),则下列向量中与 a 成60°夹角的是( B )
5. [教材改编]已知 u =(3, a + b , a - b )( a , b ∈R)是直线 l 的方向向量, n =(1,
2,3)是平面α的法向量.若 l ∥α,则 a 与 b 的关系式为 ;若 l ⊥α,
则 a + b = .
5 a - b +3=0
[解析] 由题可知,要使 P , A , B , C 四点共面,则需 x + y + z =1.当 x =2, y =
-3, z =2时满足条件,所以 x =2, y =-3, z =2是 P , A , B , C 四点共面的充
分条件;反之,当四点共面时,只要 x + y + z =1即可,不一定要取 x =2, y =-3, z =2,所以 x =2, y =-3, z =2不是 P , A , B , C 四点共面的必要条件.故 x =2, y =-3, z =2是 P , A , B , C 四点共面的充分不必要条件.
方法技巧1. 证明空间四点共面的方法(1)利用共线向量定理;(2)利用共面向量定理.2. 空间基底的要求是不共面的三个向量.
训练1 [多选]如图,在四面体 PABC 中,以下说法正确的有( ABC )
命题点2 空间向量的坐标运算例2 (1)若向量 a =(1,1, x ), b =(1,2,1), c =(1,1,1),且( c - a )·(2 b )=-2,则 x = .
[解析] c - a =(0,0,1- x ),( c - a )·(2 b )=(0,0,1- x )·2(1,2,1)=2(1- x )
=-2,解得 x =2.
依题意得 A 1(1,0,2), C (0,0,0), B 1(0,1,2).
方法技巧空间向量的概念以及空间向量的加、减、数乘、数量积运算及其坐标表示是平面向
量的类比推广.
训练2 (1)[多选]已知空间向量 a =(2,-2,1), b =(3,0,4),则下列说法正确的
是( BC )
命题点3 利用向量法证明平行与垂直问题
例3 [2021浙江高考]如图,已知正方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1, M , N 分别是 A 1 D ,
D 1 B 的中点,则( A )
解法二 连接 AD 1,则易得点 M 在 AD 1上,且 AD 1⊥ A 1 D . 因为 AB ⊥平面 AA 1 D 1
D ,所以 AB ⊥ A 1 D ,又 AB ∩ AD 1= A ,所以 A 1 D ⊥平面 ABD 1,所以 A 1 D 与 BD 1
异面且垂直,故B,C不正确.在△ ABD 1中,由中位线定理可得 MN ∥ AB ,又 MN ⊄
平面 ABCD , AB ⊂平面 ABCD ,所以 MN ∥平面 ABCD ,故A正确.易知直线 AB 与平
面 BB 1 D 1 D 成45°角,所以 MN 与平面 BB 1 D 1 D 不垂直,故D不正确.故选A.
方法技巧1. 利用空间向量证明平行问题的方法
2. 利用空间向量证明垂直问题的方法
注意 用向量法证明平行与垂直问题时,要注意解题的规范性.如证明线面平行
时,需要说明一条直线在平面内,另一条直线在平面外.
训练3 如图,在矩形 ABCD 中, AB =2 BC , P , Q 分别为线段 AB , CD 的中点,
EP ⊥平面 ABCD .
求证:(1) AQ ∥平面 CEP ;
[解析] 如图,连接 PQ ,因为四边形 ABCD 为矩形,且 P , Q 分别为线段 AB ,
CD 的中点,则 PQ ⊥ AB .
易知 PA , PQ , PE 两两垂直,以 P 为坐标原点,分别以 PA , PQ , PE 所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.
设 AB =2, PE = a ,则 P (0,0,0), A (1,0,0), Q (0,1,0), E (0,0, a ), C (-1,1,0), D (1,1,0).
又 AQ ⊄平面 CEP , PC ⊂平面 CEP ,(注意说明前提条件)
所以 AQ ∥平面 CEP .
(2)平面 AEQ ⊥平面 DEP .
2. [命题点1,2]已知向量 a =(2,-1,3), b =(-1,4,-2), c =(7,5,λ),若
a , b , c 三向量共面,则实数λ= .
设 CD = a ,因为 P 为 BM 的中点, AQ =3 QC ,
又平面 BCD 的一个法向量 n =(0,0,1),
又 PQ ⊄平面 BCD ,所以 PQ ∥平面 BCD .
1. 以下各选项中的三个向量,不能构成空间基底的是( A )
2. 已知直线 l 1的一个方向向量 a =(2,4, x ),直线 l 2的一个方向向量 b =(2, y ,
2),若| a |=6,且 l 1⊥ l 2,则 x + y 的值是( A )
3. 已知 a =(1,2,- y ), b =( x ,1,2),且( a +2 b )∥(2 a - b ),则 ( B )
4. [多选/2024广东佛山一中校考]下列关于空间向量的命题中,正确的有( BD )
7. [多选/2024浙江联考]如图,在正方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1中, AA 1=2,点 M , N
分别在棱 AB 和 BB 1上运动(不含端点),若 D 1 M ⊥ MN ,则下列命题正确的是
( AD )
8. [多选/2024广东清远模拟]如图,正方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1的棱长为2,点 O 为
底面 ABCD 的中心,点 P 为侧面 BB 1 C 1 C 内(不含边界)的动点,则( AC )
[解析] 以点 D 为坐标原点, DA , DC , DD 1所在直线分别为 x 轴, y 轴, z 轴建立
如图所示的空间直角坐标系,则 A (2,0,0), C (0,2,0), D (0,0,0), D 1(0,
0,2), B 1(2,2,2), C 1(0,2,2), O (1,1,0),设点 P ( x ,2, z ),其中0< x <
2,0< z <2.
9. 如图,已知平行六面体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1中,底面 ABCD 是边长为1的正方
形, AA 1=2,∠ A 1 AB =∠ A 1 AD =120°.
(1)求线段 AC 1的长;
(2)求异面直线 AC 1与 A 1 D 所成角的余弦值;
(3)求证: AA 1⊥ BD .
10. [2024辽宁省辽东教学共同体联考]如图,已知四棱锥 P - ABCD 的底面是直角梯
形, AB ∥ DC ,∠ DAB =90°, PD ⊥底面 ABCD ,且 PD = DA = CD =2 AB =2,
M 点为 PC 的中点.
(1)求证: BM ∥平面 PAD .
[解析] (1)∵ PD ⊥底面 ABCD ,∴ PD ⊥ AD , PD ⊥ CD . 又∠ DAB =90°, CD ∥ AB ,∴ CD ⊥ AD .
以 D 为坐标原点, DA , DC , DP 所在直线分别为 x 轴, y 轴, z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,
由于 PD = CD = DA =2 AB =2,
∴ D (0,0,0), B (2,1,0), C (0,2,0), P (0,0,2), M (0,1,1),
又 BM ⊄平面 PAD ,∴ BM ∥平面 PAD .
(2)平面 PAD 内是否存在点 N ,使 MN ⊥平面 PBD ?若存在,求出点 N 的坐标;若不
存在,说明理由.
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