备战2025年高考数学精品课件第七章 第6讲 空间角和空间距离

这是一份备战2025年高考数学精品课件第七章 第6讲 空间角和空间距离，共60页。
1. 空间角(1)异面直线所成的角：已知两条异面直线 a ， b ，经过空间任一点 O 分别作直线 a'∥ a ，b'∥ b ，我们把a'与b'所成的角叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角).异面直线夹角的范围是① ⁠.
(2)直线与平面所成的角a.平面的一条斜线和它在平面上的② ⁠所成的角，叫做这条直线和这个平面 所成的角.一条直线垂直于平面，则它们所成的角是③ ⁠；一条直线和平面平 行或直线在平面内，则它们所成的角是④ ⁠.b.线面角θ的取值范围：⑤ ⁠.c.最小角定理：平面的斜线和它在平面内的射影所成的角是这条斜线和这个平面内 任一条直线所成角中最小的角.
(3)二面角与两个平面的夹角a.从一条直线出发的两个⑥ 所组成的图形叫做二面角.b.二面角的平面角：如图，在二面角α－ l －β的棱 l 上任取一点 P ，以点 P 为垂足， 在半平面α，β内分别作垂直于棱 l 的射线 PA 和 PB ，则射线 PA 和 PB 构成的∠ APB 叫做二面角α－ l －β的平面角.
c.二面角的范围：⑦ ⁠.
2. 利用向量法求空间角
｜ cs ＜a，n＞｜　
1. 线面角θ与向量夹角＜ a ， n ＞的关系
2. 二面角θ与两平面法向量夹角＜ n 1， n 2＞的关系
图2(2)(4)中θ＝π－＜ n 1， n 2＞；图2(1)(3)中θ＝＜ n 1， n 2＞.
(5)如图，异面直线 a ， b 之间的距离即直线 a 上一点 P 到a'与 b 所确定的平面α的距 离(a'∥ a ，a'∩ b ＝ O ).
1. [教材改编]如图，正四棱柱 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1的侧面展开图是边长为4的正方 形，则在正四棱柱 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1中，异面直线 AK 和 LM 所成的角的大小为 (　D　)
2. [教材改编]在长方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1中， AB ＝3， AD ＝4， AA 1＝4，过点 D 1作直线 l ，与直线 A 1 B ， AC 所成的角均为60°，则这样的直线 l 有(　C　)
4. 已知空间直角坐标系 Oxyz 中，过点 P ( x 0， y 0， z 0)且一个法向量为 n ＝( a ， b ， c )的平面α的方程为 a ( x － x 0)＋ b ( y － y 0)＋ c ( z － z 0)＝0.用以上知识解决下面问 题：已知平面α的方程为 x ＋2 y －2 z ＋1＝0，直线 l 是两个平面 x － y ＋3＝0与 x －2 z －1＝0的交线，试写出直线 l 的一个方向向量 ，直线 l 与平面α所成角 的余弦值为 ⁠.
命题点1　求异面直线所成的角
例1 [2021全国卷乙]在正方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1中， P 为 B 1 D 1的中点，则直线 PB 与 AD 1所成的角为(　D　)
方法技巧求异面直线所成角的方法
(1)证明： BD ⊥ PA .
[解析]　如图所示，取 AB 的中点 O ，连接 DO ， CO ，则 OB ＝ DC ＝1.
又 DC ∥ OB ，所以四边形 DCBO 为平行四边形.
又 BC ＝ OB ＝1，所以四边形 DCBO 为菱形，所以 BD ⊥ CO .
同理可得，四边形 DCOA 为菱形，所以 AD ∥ CO ，
所以 BD ⊥ AD .
因为 PD ⊥底面 ABCD ， BD ⊂底面 ABCD ，所以 PD ⊥ BD ，
又 AD ∩ PD ＝ D ， AD ， PD ⊂平面 ADP ，所以 BD ⊥平面 ADP .
因为 PA ⊂平面 ADP ，所以 BD ⊥ PA .
(2)求 PD 与平面 PAB 所成的角的正弦值.
方法技巧求直线与平面所成角的方法
训练2 [2023全国卷乙]已知△ ABC 为等腰直角三角形， AB 为斜边，△ ABD 为等边三 角形，若二面角 C － AB － D 为150°，则直线 CD 与平面 ABC 所成角的正切值为(　C　)
[解析]　如图所示，取 AB 的中点 M ，连接 CM ， DM ，则 CM ⊥ AB ， DM ⊥ AB ， 故∠ CMD 即为二面角 C － AB － D 的平面角，于是∠ CMD ＝150°.又 CM ， DM ⊂平面 CMD ， CM ∩ DM ＝ M ，所以 AB ⊥平面 CMD .
训练3 [新高考卷Ⅰ]如图，四棱锥 P － ABCD 的底面为正方形， PD ⊥底面 ABCD . 设 平面 PAD 与平面 PBC 的交线为 l .
(1)证明： l ⊥平面 PDC .
[解析]　因为 PD ⊥底面 ABCD ，所以 PD ⊥ AD . 又底面 ABCD 为正方形，所以 AD ⊥ DC . 又 PD ∩ DC ＝ D ， PD ， DC ⊂平面 PDC ，因此 AD ⊥平面 PDC . 因为 AD ∥ BC ， AD ⊄平面 PBC ， BC ⊂平面 PBC ，所以 AD ∥平面 PBC . 又 AD ⊂平面 PAD ，平面 PBC ∩平面 PAD ＝ l ，所以 l ∥ AD . 因此 l ⊥平面 PDC .
(2)已知 PD ＝ AD ＝1， Q 为 l 上的点，求 PB 与平面 QCD 所成角的正弦值的最大值.
可取 n ＝(－1，0， a ).
(1)证明： EF ∥平面 ADO .
又 E ， D 分别为 AP ， BP 的中点，
所以 EF ∥ PC ， OD ∥ PC ，所以 EF ∥ OD ，
又 OD ⊂平面 ADO ， EF ⊄平面 ADO ，所以 EF ∥平面 ADO .
(2)证明：平面 ADO ⊥平面 BEF .
(3)求二面角 D － AO － C 的正弦值.
设平面 DAO 的法向量为 n 1＝( a ， b ， c )，
易知平面 CAO 的一个法向量为 n 2＝(0，0，1)，
解法二　如图，过点 O 作 OH ∥ BF 交 AC 于点 H ，设 AD ∩ BE ＝ G ，连接 GF ， DH .
由(2)知 DO ⊥ AO ，又 DO ∩ HO ＝ O ， DO ⊂平面 DOH ， HO ⊂平面 DOH ，所以 AO ⊥平面 DOH ，故∠ DOH 为二面角 D － AO － C 的平面角.
∵ D ， E 分别为 PB ， PA 的中点，∴ AD ， BE 的交点 G 为△ PAB 的重心，
训练4 [2023新高考卷Ⅰ]如图，在正四棱柱 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1中， AB ＝2， AA 1＝ 4.点 A 2， B 2， C 2， D 2分别在棱 AA 1， BB 1， CC 1， DD 1上， AA 2＝1， BB 2＝ DD 2 ＝2， CC 2＝3.
(1)证明： B 2 C 2∥ A 2 D 2.
解法二　以点 C 为坐标原点， CD ， CB ， CC 1所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则 B 2(0，2，2)， C 2(0，0，3)， A 2(2，2，1)， D 2(2，0，2)，
(2)点 P 在棱 BB 1上，当二面角 P － A 2 C 2－ D 2为150°时，求 B 2 P .
例4 [2023天津高考]如图，在三棱台 ABC － A 1 B 1 C 1中，已知 A 1 A ⊥平面 ABC ， AB ⊥ AC ， AB ＝ AC ＝ AA 1＝2， A 1 C 1＝1， N 为线段 AB 的中点， M 为线段 BC 的中点.
(1)求证： A 1 N ∥平面 C 1 MA .
解法二(向量法)　以 A 为坐标原点， AB ， AC ， AA 1所在的直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz ，
又 A 1 N ⊄平面 C 1 MA ，
所以 A 1 N ∥平面 C 1 MA .
则有 A (0，0，0)， M (1，1，0)， N (1，0，0)， A 1(0，0，2)， C 1(0，1，2).
(2)求平面 C 1 MA 与平面 ACC 1 A 1所成角的余弦值.
(3)求点 C 到平面 C 1 MA 的距离.
方法技巧1. 求点到平面的距离的常用方法
2. 求直线到平面的距离以及两平行平面的距离时，往往转化为求点到平面的距离.
训练5 [2023上海春季高考改编]如图，已知三棱锥 P － ABC 中， PA ⊥平面 ABC ， AB ⊥ AC ， PA ＝ AB ＝3， AC ＝4， M 为 BC 的中点，过点 M 分别作平行于平面 PAB 的直线交 AC ， PC 于点 E ， F .
(1)求直线 PM 与平面 ABC 所成角的正切值.
[解析]　如图，连接 AM . 因为 PA ⊥平面 ABC ，所以∠ PMA 即直线 PM 与平面 ABC 所成的角.
因为 AB ⊥ AC ， AB ＝3， AC ＝4，
[解析]　因为 ME ∥平面 PAB ， MF ∥平面 PAB ， ME ∩ MF ＝ M ，且 ME ， MF ⊂平面 MEF ，所以平面 MEF ∥平面 PAB . 因为 PA ⊥平面 ABC ， AE ⊂平面 ABC ，所以 PA ⊥ AE . 又 AB ⊥ AC ，即 AE ⊥ AB ，而 AB ， PA ⊂平面 PAB ， AB ∩ PA ＝ A ，所以 AE ⊥平面 PAB ，所以直线 ME 到平面 PAB 的距离等于 AE 的长.
(2)证明：平面 MEF ∥平面 PAB ，并求直线 ME 到平面 PAB 的距离.
1. [命题点1/2023河南省重点中学测试]正四棱锥 S － ABCD 的所有棱长都相等， E 为 SC 的中点，则 BE 与 SA 所成角的余弦值为(　C　)
2. [命题点1]如图所示，在四棱锥 E － ABCD 中，底面 ABCD 是菱形，∠ ADC ＝60°， AC 与 BD 交于点 O ， EC ⊥底面 ABCD ， F 为 BE 的中点， AB ＝ CE . (1)求证： DE ∥平面 ACF .
[解析]　如图，连接 OF ，由题可知 O 为 BD 的中点，又 F 为 BE 的中点，所以 OF ∥ DE ，又 OF ⊂平面 ACF ， DE ⊄平面 ACF ，所以 DE ∥平面 ACF .
(2)求异面直线 EO 与 AF 所成角的余弦值.
3. [命题点2，3/2022天津高考]如图，直三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1中， AA 1＝ AB ＝ AC ＝2， AC ⊥ AB ， D 为 A 1 B 1中点， E 为 AA 1中点， F 为 CD 中点.
(Ⅰ)求证： EF ∥平面 ABC .
[解析]　因为 ABC － A 1 B 1 C 1是直三棱柱，且 AC ⊥ AB ，所以 AB ， AA 1， AC 两 两垂直，所以分别以 AB ， AA 1， AC 所在直线为 x ， y ， z 轴，建立空间直角坐标 系，如图所示.
因为 AB ＝ AC ＝ AA 1＝2，且 D ， E 分别为 A 1 B 1， AA 1中点，所以 E (0，1，0)， C (0，0，2)， D (1，2，0).
易知平面 ABC 的一个法向量为 n ＝(0，1，0)，
(Ⅱ)求直线 BE 与平面 CC 1 D 所成角的正弦值；
令 y 2＝1，则 z 2＝1，所以平面 A 1 CD 的一个法向量为 n 2＝(0，1，1).
(Ⅲ)求平面 A 1 CD 与平面 CC 1 D 夹角的余弦值.
4. [命题点4]如图，正四棱柱 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1中， AA 1＝3， AB ＝2， E ， F 分 别为棱 BC ， B 1 C 1的中点.
(1)求证：平面 BD 1 F ∥平面 C 1 DE .
[解析]　解法一　在正四棱柱 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1中，因为 E ， F 分别为 BC ， B 1C 1的中点，所以 FC 1∥ BE ，且 FC 1＝ BE ，所以四边形 FC 1 EB 为平行四边形，所以 BF ∥ C 1 E . 又因为 BF ⊄平面 C 1 DE ，所以 BF ∥平面 C 1 DE . 连接 EF ，则有 EF ∥ CC 1∥ DD 1，且 EF ＝ CC 1＝ DD 1，所以四边形 DD 1 FE 为平行四边形，所以 D 1 F ∥ DE ，又因为 D 1 F ⊄平面 C 1 DE ，所以 D 1 F ∥平面 C 1 DE . 因为 BF ∩ D 1 F ＝ F ，所以平面 BD 1 F ∥平面 C 1 DE .
解法二　如图，分别以 DA ， DC ， DD 1所在直线为 x ， y ， z 轴建立空间直角坐 标系，则 D (0，0，0)， C (0，2，0)， D 1(0，0，3)， C 1(0，2，3)， B 1(2，2，3)， B (2，2，0)， E (1，2，0)， F (1，2，3)，
因为 D 1 F ⊄平面 C 1 DE ，
所以 D 1 F ∥平面 C 1 DE .
因为 BF ⊄平面 C 1 DE ，所以 BF ∥平面 C 1 DE .
又 D 1 F ∩ BF ＝ F ， D 1 F ⊂平面 BD 1 F ， BF ⊂平面 BD 1 F ，
所以平面 BD 1 F ∥平面 C 1 DE .
(2)求平面 BD 1 F 与平面 C 1 DE 间的距离.
1. [2023广西联考]如图，直三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1中， AC ⊥ BC ，若 AA 1＝ AC ＝ BC ＝1，则异面直线 A 1 C 与 AB 所成角的大小是(　C　)
2. [2024河北邢台南宫中学模拟]在四棱锥 P － ABCD 中，底面 ABCD 为菱形， PB ⊥ 底面 ABCD ， AC ＝8， BD ＝ PB ＝4， E 为棱 PB 的中点， F 为线段 CE 的中点，则 点 F 到平面 PAD 的距离为(　B　)
3. [2024湖北罗田一中模拟]如图，在平行六面体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1中， AB ＝ AD ＝ AA 1＝1，∠ BAD ＝∠ A 1 AB ＝∠ A 1 AD ＝60°， E 为 CC 1的中点，则点 E 到直线 AC 1的距离为(　D　)
4. [2024青岛市检测]如图，在长方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1中， AB ＝ BB 1＝2， BC ＝ 4， AB 1与 A 1 B 交于点 E ，点 F 为 BC 的中点.
(1)求证： AE ⊥平面 A 1 BC .
[解析]　因为 BC ⊥平面 ABB 1 A 1， AE ⊂平面 ABB 1 A 1，所以 BC ⊥ AE . 因为四边形 ABB 1 A 1为正方形，所以 AE ⊥ A 1 B ，又 BC ∩ A 1 B ＝ B ， BC ， A 1 B ⊂平面 A 1 BC ，所以 AE ⊥平面 A 1 BC .
(2)求平面 AEF 与平面 AA 1 C 的夹角的余弦值.
5. [2023新高考卷Ⅱ]如图，三棱锥 A － BCD 中， DA ＝ DB ＝ DC ， BD ⊥ CD ，∠ ADB ＝∠ ADC ＝60°， E 为 BC 的中点.
(1)证明： BC ⊥ DA .
[解析]　如图，连接 DE ， AE ，
因为 DC ＝ DB ， 且 E 为 BC 的中点，所以 DE ⊥ BC .
因为∠ ADB ＝∠ ADC ＝60°， DA ＝ DA ， DC ＝ DB ，
所以△ ADB ≌△ ADC (SAS).
可得 AC ＝ AB ， 故 AE ⊥ BC .
因为 DE ∩ AE ＝ E ， DE ， AE ⊂平面 ADE ，所以 BC ⊥平面 ADE .
又 DA ⊂平面 ADE ，所以 BC ⊥ DA .
6. [2024安徽六校联考]如图，圆台 O 1 O 2的轴截面为等腰梯形 A 1 ACC 1， AC ＝2 AA 1 ＝2 A 1 C 1＝4， B 为下底面圆周上异于 A ， C 的点.
(1)点 P 为线段 BC 的中点，证明：直线 PC 1∥平面 AA 1 B .
在等腰梯形 A 1 ACC 1中， AC ＝2 A 1 C 1，所以 HP ∥ A 1 C 1， HP ＝ A 1 C 1，
则四边形 A 1 C 1 PH 为平行四边形，所以 C 1 P ∥ A 1 H ，
又 A 1 H ⊂平面 A 1 AB ， C 1 P ⊄平面 A 1 AB ，
所以 C 1 P ∥平面 A 1 AB .
[解析]　过点 B 作BO'⊥ AC ，交 AC 于点O'，易知BO'⊥平面 A 1 ACC 1.
设直线 AB 与平面 C 1 CB 的夹角为α，
7. [2024济南市摸底考试]如图，在四棱锥 P － ABCD 中，底面 ABCD 是正方形， PA ⊥底面 ABCD ， PA ＝ AD ＝3，点 F 是棱 PD 的中点，点 E 是棱 DC 上一点.(1)证明： AF ⊥ EF ；
[解析]　在正方形 ABCD 中，有 AD ⊥ CD . 因为 PA ⊥底面 ABCD ， CD ⊂底面 ABCD ，所以 PA ⊥ CD . 又 AD ∩ PA ＝ A ， AD ， PA ⊂平面 PAD ，所以 CD ⊥平面 PAD ，又 AF ⊂平面 PAD ，所以 CD ⊥ AF . 因为 PA ＝ AD ，点 F 是棱 PD 的中点，所以 AF ⊥ PD . 又 CD ∩ PD ＝ D ， CD ， PD ⊂平面 PDC ，所以 AF ⊥平面 PDC ，又 EF ⊂平面 PDC ，所以 AF ⊥ EF .
(1)证明：平面 BCE ⊥平面 ABCD .
[解析]　因为 BC ⊥ BE ，结合(1)易得 AB ， BC ， BE 两两垂直，所以建立如图所示的空间直角坐标系，
因为 CB ⊥平面 ABE ，所以平面 ABE 的一个法向量为 m ＝(0，0，1).
设平面 CDE 的法向量为 n ＝( x ， y ， z )，
9. [2023西安检测]如图，在三棱台 ABC － A 1 B 1 C 1中，△ ABC 为等边三角形， AA1⊥平面 ABC ，将梯形 AA 1 C 1 C 绕 AA 1旋转至梯形 AA 1 D 1 D 的位置，使二面角 D 1－ AA 1－ C 1的大小为30°.
(1)若 A 1 B 1＝2 AB ，证明： BC 1⊥ A 1 B 1.
[解析]　如图1，取 A 1 B 1的中点 M ，连接 MC 1， MB ，依题意得△ A 1 B 1 C 1是等 边三角形，所以 MC 1⊥ A 1 B 1.
因为 A 1 B 1＝2 AB ，所以 AB ＝ A 1 M ，
又 AB ∥ A 1 B 1，所以四边形 ABMA 1是平行四边形，所以 AA 1∥ BM . 依题意知， AA 1⊥平面 A 1 B 1 C 1，又 A 1 B 1⊂平面 A 1 B 1 C 1，所以 AA 1⊥ A 1 B 1，所以 BM ⊥ A 1 B 1.
又 MC 1∩ BM ＝ M ， MC 1， BM ⊂平面 BMC 1，所以 A 1 B 1⊥平面 BMC 1.
又 BC 1⊂平面 BMC 1，所以 BC 1⊥ A 1 B 1.
[解析]　因为 AA 1⊥平面 A 1 B 1 C 1，所以旋转后 A 1， B 1， C 1， D 1四点共面，且 A 1 C 1⊥ AA 1， A 1 D 1⊥ AA 1，所以∠ C 1 A 1 D 1是二面角 D 1－ AA 1－ C 1的平面角，所以∠ C 1 A 1 D 1＝30°，又∠ B 1 A 1 C 1＝60°，所以∠ B 1 A 1 D 1＝90°，即 A 1 D 1⊥ A 1 B 1.
(2)若 AA 1＝ A 1 C 1＝2 AB ＝4，设 G 为 DD 1的中点，求直线 BB 1与平面 AB 1 G 所成角 的正弦值.