黑龙江省哈尔滨市工业大学附属中学2024-2025学年八年级上学期10月月考数学试卷（解析版）-A4

这是一份黑龙江省哈尔滨市工业大学附属中学2024-2025学年八年级上学期10月月考数学试卷（解析版）-A4，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 点关于y轴对称点B的坐标是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接根据关于y轴对称的坐标规律作答即可．
【详解】解：关于y轴对称点B的坐标是，
故选D．
【点睛】本题考查了坐标平面内的轴对称变换，关于x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的两点，横坐标和纵坐标都互为相反数．
2. 下列图形中是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A，B，C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，故不符合题意，
D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，故符合题意，
故选：D．
3. 等腰三角形的两边长是6cm和3cm，那么它的周长是
A. 9cmB. 12 cmC. 12 cm或15 cmD. 15 cm
【答案】D
【解析】
【详解】解：当腰为3cm时，3+3=6，不能构成三角形，因此这种情况不成立．
当腰为6cm时，6﹣3＜6＜6+3，能构成三角形；
此时等腰三角形的周长为6+6+3=15cm．
故选D．
4. 等腰三角形的一个外角是，则其底角是( )
A. B. C. D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角形的外角性质和等腰三角形的性质求解．
【详解】解：等腰三角形的一个外角为，
相邻角为，
三角形的底角不能为钝角，
角为顶角，
底角为： ．
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形性质，解题的关键是掌握三角形的内角和定理以及等腰三角形的性质．
5. 在中，、、的对边分别为、、，给出以下条件，不能判定其是等腰三角形的是（ ）
A. B.
C. ，D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定，以及三角形内角和定理是解题的关键．根据等腰三角形的判定，三角形内角和定理，进行计算逐一判断即可解答．
【详解】解：A、因为，，所以，则，所以是等腰三角形，故本选项不符合题意；
B、因为 ，所以设，则有两边相等的是等腰三角形，故本选项不符合题意；
C、因为 ，所以，则，则，所以是等腰三角形，故本选项不符合题意；
因为，，则，那么， ，不能判定是等腰三角形，故本选项符合题意．
故选：D．
6. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的长度是（ ）

A. 3cmB. 6cmC. 9cmD. 12cm
【答案】D
【解析】
【分析】先求出∠ACD＝30°，然后根据30°所对的直角边等于斜边的一半解答．
【详解】解：在Rt△ABC中，
∵CD是斜边AB上的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝∠B＝30°（同角的余角相等），
∵AD＝3cm，
在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm，
在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm．
∴AB的长度是12cm．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，同角的余角相等，熟知含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．
7. 如图，在中，，是角平分线，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据三角形内角和可知，结合等腰三角形的性质和角平分线的性质可知，，即可求得，从而求得．
【详解】解：，是的角平分线
，
又，
8. 如图，为内一点，平分，，垂足为，交于点，，，，则的长为（ ）
A. 4B. 4.5C. 5D. 5.5
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定及性质，熟悉相关性质是解题的关键．由得到，，由等角对等边判定，继而可求．
【详解】解：平分，，
则，，
又∵，
∴，
，，
∴
又，
，
∴，
故选：C．
9. 到三角形的三个顶点距离相等的点是（ ）
A. 三条角平分线的交点B. 三条中线的交点
C. 三条高的交点D. 三条边的垂直平分线的交点
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解题关键．根据线段垂直平分线的性质，可得到三角形的三个顶点距离相等的点是三条边的垂直平分线的交点．
【详解】解：到三角形的三个顶点距离相等的点是三条边的垂直平分线的交点，
故选：D．
10. 下列说法中，正确的有（ ）个．
①两个全等的三角形一定关于某直线对称；
②关于某条直线对称的两个图形，对称点所连线段被对称轴垂直平分；
③等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；
④等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半．
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查轴对称的性质，等腰三角形的性质．利用轴对称的性质、等腰三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：①两个全等的三角形不一定关于某直线对称，原说法错误；
②关于某条直线对称的两个图形，对称点所连线段被对称轴垂直平分，原说法正确；
③等腰三角形底边的高和中线、顶角的角平分线互相重合，原说法错误；
④等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半，原说法正确；
正确的有2个，
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11. 如果，关于轴对称，则____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数．根据两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数即可得出结果．
【详解】解：∵，关于轴对称，
∴，
故答案为：．
12. 小强从穿衣镜中看到挂在墙上电子表的读数是 ，则电子表的实际读数是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据镜面成像原理，所成的像为反像，可判断电子表的实际读数．
【详解】解：依题意，电子表的实际读数是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了镜面对称，熟练掌握镜面对称是解题的关键．
13. 如图，中，，的垂直平分线交于，交于，且，则____________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．由是的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，即可得，然后由等边对等角，求得，由，可设，，然后根据三角形内角和定理，可得方程，解方程即可求得答案．
【详解】解：∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴设，，
∴，
∵，，
∴，
解得：．
∴．
故答案为：．
14. 如图，长方形，沿对角线折叠，使点落在点处，交于点，若长方形的周长为16，则的周长为____________．
【答案】8
【解析】
【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定，平行线的性质，证明出是解决本题的关键．
根据平行线＋角平分线得到，则即可求解．
【详解】解：由折叠知，
∵四边形是长方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵长方形的周长为16，
∴，
∴，
故答案为：8．
15. 中，，的垂直平分线交直线于点，若，则是_______度．
【答案】61或29##29或61
【解析】
【分析】本题考查等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，注意不能漏解．分两种情况：为锐角，为钝角，根据线段垂直平分线的性质可求出，然后根据三角形内角和定理即可解答．
【详解】解：如图1，∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
如图2，∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故是61或29度．
故答案为：61或29．
16. 如图，锐角的高，相交于，若，，，则的长为______．

【答案】
【解析】
【分析】根据直角三角形的性质可得，可证，由此可求出，，根据线段的和差即可求解．
【详解】解：∵，，
∴都是直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，线段的和差运算的知识，掌握以上知识是解题的关键．
17. 如图，点关于、的对称点是、，直线交、于点、，若，则____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了轴对称的性质和全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，解题关键是构造全等三角形，转化角的关系．
本题应构造，，进而可以得到，再利用三角形内角和是求解．
【详解】解：如图，连接，
∵点关于、的对称点是、，
∴，，
又∵，
∴，
同理可证，
∴，，
∴
故答案为： ．
18. 如图，是等边三角形，点、分别在、的延长线上，，交于点，于点，若，，求的长为____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的概念与性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质，解题关键是发现全等三角形．本题应先得出，求出和即可求解．
【详解】解：∵等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴
故答案为： ．
三、解答题（19题10分，20~21题各8分，22~25题各10分）
19. （1）解方程组：；
（2）解不等式组：．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组以及解一元一次不等式组的知识．
（1）按照加减消元法解二元一次方程组即可．
（2）先分别解出每个不等式的解集，然后求公共部分的解集即可．
【详解】解：（1）
方程组整理得
①②得：
∴
把代入①得
解得：
∴这个方程组的解是
（2）
解不等式③得：
解不等式④得：
∴不等式组的解集是
20. 如图，在正方形网格中，直线与网格线重合，点均在网格点上．

（1）已知和关于直线l对称，请在图上把和补充完整：
（2）在以直线为y轴的坐标系中，若点的坐标为，则点的坐标为________；
（3）在直线上画出点，使得最短．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据轴对称的性质找到的对称点，的对称点即可求解．
（2）根据关于轴对称的点的纵坐标不变，横坐标互为相反数，即可求解；
（3）连接交于点，则点即为所求．
【小问1详解】
解：如图所示，、即为所求；
【小问2详解】
根据关于轴对称的点的纵坐标不变，横坐标互为相反数，可得点的坐标为，
故答案为：．
【小问3详解】
解：如图所示，连接交于点，则点即为所求，

如图所示，∵，，
∴点使得最短，则点即为所求．
【点睛】本题考查了轴对称作图，关于轴对称的点的坐标特征，根据轴对称的性质求线段和的最值问题，掌握轴对称的性质是解题的关键．
21. 若关于二元一次方程组的解的值大于0．
（1）求的取值范围；
（2）若的值恰好是一个等腰三角形的腰和底边的长，且这个等腰三角形的周长为15，求的值．
【答案】（1）；
（2）5或4
【解析】
【分析】主要考查了等腰三角形的性质，方程组的解的定义和不等式组的解法．理解方程组解的意义用含a的代数式表示出x，y，找到关于x，y的不等式并用a表示出来是解题的关键．
（1）先解方程组，用含a的代数式表示x，y的值，再代入有关x，y的不等关系的式子中，得到关于a的不等式组求解即可；
（2）首先用含a的式子表示x和y，由于x、y的值是一个等腰三角形两边的长，所以x、y可能是腰也可能是底，分情况列方程即可解决，注意应根据三角形三边关系验证是否能组成三角形．
【小问1详解】
解：解，得，
∵的值大于0
∴，
解这个不等式组，得；
【小问2详解】
∵的值恰好是一个等腰三角形的腰和底边的长，这个等腰三角形的周长为15，
∴，或，
由
解得：，
∴，
∴4，4，7能组成三角形，
由，
解得：，
∴，
∴3，6，6能组成等腰三角形，
∴a的值是5或4．
22. 已知在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且．
（1）【特殊情况，探索结论】
如图①，当点E为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：______（填“＞”“＜”或“＝”）．
（2）【特例启发，解答题目】
如图②，当点E为AB边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论，______（填“＞”“＜”或“＝”）．
理由如下，过点E作，交于点F（请你完成以下解答过程）．
（3）【拓展结论，设计新题】
在等边三角形中，点E在直线上，点D在的延长线上，且，若的边长为1，，求的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．
【答案】（1）＝ （2）＝，见解析
（3），画图见解析．
【解析】
【分析】（1）根据等边三角形性质得到，，结合E是中点，得到，根据等腰三角形性质得到，由三角形外角性质得到，得到 ，即得；
（2）以下解答为：，根据等边三角形性质得到．得到，得到 为等边三角形，推出．根据等腰三角形性质得到．结合三角形外角性质得到 ．得到．得到．即得；
（3）证明，根据，得到，根据，得到，结合，得到，得到，即得．
【小问1详解】
∵在等边三角形中，，且E是中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：＝；
【小问2详解】
以下解答过程为：
∴，
∵为等边三角形，
∴．
∴，
∴ 为等边三角形，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，，
∴．
在和中，
，
∴．
∴．
∴．
故答案：＝；
【小问3详解】
如图．
∵等边的边长为1，，
∴,
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了等边三角形．熟练掌握等边三角形的判定和性质 ，等腰三角形的判定和性质，含的直角三角形性质，三角形外角性质，全等三角形的判定和性质，是解决问题的关键．
23. 北京时间2024年5月3月17时27分，嫦蛾六号探测器由长征五号遥八运载火箭在中国文昌航天发射场发射，之后准确进入地月转移轨道，发射任务取得圆满成功．某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进A、B两种型号运载火箭模型进行销售，据了解，2件A种型号运载火箭模型和4件B种型号运载飞船模型的进价共计140元；3件A种型号运载火箭模型和2件B种型号运载火箭模型的进价共计130元．
（1）求A、B两种型号运载火箭模型每件的进价分别为多少元?
（2）若该超市计划用不超过800元的资金购进这两种型号运载火箭模型共30件，求A种型号运载火箭模型最多能购买多少件?
【答案】（1）A种型号运载火箭模型每件进价为30元，B种型号运载火箭模型每件进价为20元
（2）A种型号运载火箭模型最多购进20件
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式解决实际问题，根据题意准确列出方程组以及不等式是解题关键．
（1）设A种型号运载火箭模型每件进价为x元，B种型号运载火箭模型每件进价为y元，根据题意列出方程组进行求解即可；
（2）设A种型号运载火箭模型购进m件，则B种型号运载火箭模型购进为件，根据超市计划用不超过800元的资金购进这两种型号运载火箭模型共30件，列出不等式进行求解即可．
【小问1详解】
解：设A种型号运载火箭模型每件进价为x元，B种型号运载火箭模型每件进价为y元，
根据题意，得：，
解得，，
答：A种型号运载火箭模型每件进价为30元，B种型号运载火箭模型每件进价为20元；
【小问2详解】
设A种型号运载火箭模型购进m件，则B种型号运载火箭模型购进为件，
根据题意可得：，
解得：．
答：A种型号运载火箭模型最多购进20件．
24. 如图1，平面直角坐标系中，为坐标原点，，，为轴正半轴上一点，的面积为36．
（1）求点的坐标：
（2）如图2，为线段上一点，不与、重合，过点作轴交于点，设，请用含的式子表示的面积；（不要求写出m的取值范围）
（3）如图3，在（2）的条件下，当面积为18时，过点作并延长交轴于点，连接，请判断与的数量关系并说明理由．
【答案】（1）
（2）的面积为
（3）
【解析】
【分析】（1）设点C的坐标为，得出，根据的面积为36，得出，求出，即可得出答案；
（2）证明为等腰直角三角形，得出，根据勾股定理得出，求出，，得出，最后根据三角形面积公式求出结果即可；
（3）连接，先求出，根据等腰三角形的性质得出，，证明，得出，证明，得出，根据，，即可证明结论．
【小问1详解】
解：设点C的坐标为，
∵，，
∴，
∵的面积为36，
∴，
解得：，
∴点C的坐标为；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，
∴
．
【小问3详解】
解：；理由如下：
连接，如图所示：
∵面积为18，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，坐标与图形，三角形全等的判定和性质，余角的性质，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定和性质．
25. 已知，在中，，点在的延长线上，点在边上，连接，．
（1）如图1，求的度数：
（2）如图2，当时，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接，，取的中点，连接，点在上，连接，若，，求的长．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）2
【解析】
【分析】（1）设，则，在中，由三角形内角和定理表示出，再由外角即可求解；
（2）延长至点H，连接，使得，证明即可得出；
（3）在延长线上取点，使得，连接， 先证明，再角度推导证明为等边三角形，则，，在上取，连接，则，再角度推导证明，则，故，即可求得．
【小问1详解】
解：∵，
设，则，
在中，，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
证明：延长至点H，连接，使得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：在延长线上取点，使得，连接，
∴，
∴，
∴，
∴设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∴在中，，
∴，
∵点为中点，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
在上取，连接，
∴，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形判定与性质，难度很大，涉及三角形的内角和和外角定理，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的相关性质，对角度推导要求非常高，难点在于添加辅助线构造全等三角形．