浙江省湖州市长兴县龙山教育集团共同体2024-2025学年八年级上学期10月月考数学试题（解析版）-A4

这是一份浙江省湖州市长兴县龙山教育集团共同体2024-2025学年八年级上学期10月月考数学试题（解析版）-A4，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每题3分，共30分）
1. 如图，四个图标中是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此判断即可．
【详解】解：A．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C．是轴对称图形，故本选项符合题意；
D．不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，解题的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2. 下列长度的四根木棒，能与，长的两根木棒钉成一个三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角形的三边关系解答．
【详解】解：∵三角形的两边为3cm，7cm，
∴第三边长的取值范围为7-3＜x＜7+3，
即4＜x＜10，
只有D符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，要知道，三角形的两边之和大于第三边．
3. 如图，在和中，点B，C，E，F在同一直线上，，，只添加一个条件，能判定的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形判定，根据全等三角形的判定方法逐项判断即可，熟练掌握全等三角形的判定方法是解此题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，，
当时，不能判定，故选项A不符合题意；
当时，则，根据可证，故选项B符合题意；
当时，不能判定，故选项C不符合题意；
当时，不能判定，故选项A不符合题意；
故选：B．
4. 对假命题“若，则”举反例，正确的反例是（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根据有理数的大小比较法则、有理数的乘法法则计算，根据假命题的概念判断即可．
【详解】解：当，时，，，，
则，
∴若，则“”是假命题，
故选：D．
【点睛】本题考查的是命题的真假判断，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
5. 如图，数学课上，老师让学生尺规作图画∠MON的角平分线OB．小明的作法如图所示，连接BA、BC，你认为这种作法中判断△ABO≌△CBO的依据是（ ）
A. SSSB. SASC. ASAD. AAS
【答案】A
【解析】
【分析】根据作图的方法确定三角形全等的判定方法．
【详解】作法：①以O为圆心，任意长为半径画弧，交MO、NO于点A、G，
②再分别以A、G为圆心，大于AG长为半径画弧，两弧交于点B，
③画射线OB，射线OB即为所求，
由作图过程可得：OA=OG，AB=GB，而OB=OB，
则用到的三角形全等的判定方法是：SSS．
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定，作线段相等，理解三角形全等的判定是解题的关键．
6. 下列命题中，是真命题的有（ ）
①对顶角相等； ②不相交的两条直线一定平行；
③等角的补角相等； ④如果，那么
A. ①和②B. ①和③C. ②和③D. ③和④
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查命题的判断，对顶角性质，平行线定义，补角性质，绝对值性质等．根据题意利用对顶角性质，平行线定义，补角性质等逐一分析即可得到本题答案．
【详解】解：∵对顶角相等，故①是真命题，
∵在同一平面内不相交的两条直线一定平行，故②不是真命题，
∵如果这两个角相等，那么他们的补角也相等，即等角的补角相等，故③是真命题，
∵如果，那么，假设，即，但，故④不是真命题，
故选：B．
7. 如图，将纸片沿折叠，使点A落在四边形内点的位置，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形的内角和定理求出的度数，根据折叠的性质，得到，进而得到，即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
∵折叠，
∴，
∴．
故选B．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理，折叠的性质，熟练掌握折痕是角平分线，三角形的内角和是，是解题的关键．
8. 如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰三角形，满足条件的格点C的个数是（ ）
A. 5B. 6C. 8D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意并结合图形，分为等腰底边和为等腰△ABC的腰两种情况分别解答即可．
【详解】解：如图：分情况讨论：
①为等腰直角底边时，符合条件的C点有0个；
②为等腰直角的腰时，符合条件的C点有8个；
故共有8个点．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，根据题意、画出符合实际条件的图形以及掌握数形结合的思想是解答本题的关键．
9. 如图，为的中线，为的中线，为的中线，…，按此规律，为的中线，若的面积为1，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了三角形的面积公式，三角形的中线，找规律，根据三角形的中线把三角形的面积分成了相等的两部分进行解答即可得；理解题意，根据三角形的中线找出规律是解题的关键．
【详解】解：∵为的中线，的面积为1，
∴，
∵为的中线，，
∴，
∵为中线，，
∴，
…
按此规律，为的中线，则的面积为：，
故选：D．
10. 如图，在中，，点是上一点，交延长线于点，连接交于点，已知，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ）个．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理的应用，根据三角形内角和定理判定①；利用证明两个三角形全等，判定②；根据结合全等判定③；根据③中结论求出即可判定④．
【详解】解：，
，
，
，①故正确；
，
，
，即，
，
，故②正确；
，即，
，
，
，故③正确；
，
，
，
，故④错误，
正确的结论有①②③，共3个，
故选：C．
二、填空题（每题3分，共18分）
11. 请将命题“对顶角相等”改写为“如果……，那么……”的形式：_________________________________________．
【答案】如果两个角是对顶角，那么它们相等．
【解析】
【分析】本题考查了命题与定理的知识，将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单．命题中的条件是两个角相等，放在“如果”的后面，结论是这两个角的补角相等，应放在“那么”的后面．
【详解】解：题设：对顶角，结论为：相等，
故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是对顶角，那么它们相等；
故答案为：如果两个角是对顶角，那么它们相等．
12. 我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条，如图，有一个正五边形木框，要使五边形木架不变形，至少要钉_________根木条．

【答案】2
【解析】
【分析】根据三角形具有稳定性，五边形可以分成3个三角形，需要两根木条．
【详解】解：∵三角形具有稳定性，其它多边形都不具有稳定性，
∴要使五边形木架不变形，根据同一顶点出发的对角线把五边形分成3个三角形，需连两条对角线，每条对角线用一根木条，
∴至少要钉2根木条；
故答案为：2．
【点睛】本题考查三角形的稳定性．熟练掌握三角形具有稳定性，是解题的关键．
13. 已知的三个内角度数比为，则这个三角形是______三角形．
【答案】锐角
【解析】
【分析】本题考查三角形归类．利用内角度数比分别求出三个内角度数，继而得到本题答案．
【详解】解：∵的三个内角度数比为，
∴三个内角分别为：，
，
，
∵三个内角均小于，
∴这个三角形是锐角三角形，
故答案为：锐角．
14. 已知a，b是一个等腰三角形的两边长，且a，b满足，则此等腰三角形周长为__________．
【答案】7或8
【解析】
【分析】根据算术平方根和平方的非负性，求出a和b的值，再根据三角形三边之间的关系以及等腰三角形的定义，即可解答，
本题主要考查了算术平方根和平方的非负性，三角形三边之间的关系，等腰三角形的定义，解题的关键是掌握几个非负数相加和为0，则这几个非负数分别为0；三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
【详解】解：∵，
∴，，
解得：，，
当a为腰长时，该等腰三角形三边为3、3、2，
∵，
∴该等腰三角形存在，
∴此等腰三角形的周长；
当b为腰长时，该等腰三角形三边为3、2、2，
∵，
∴该等腰三角形存在，
∴此等腰三角形的周长；
综上：此等腰三角形的周长为7或8．
故答案为：7或8．
15. 如图，，垂足为，，，射线，垂足为，动点从点出发以的速度沿射线运动，点为射线上一动点，满足，随着点运动而运动，当点运动______秒时，与点、、为顶点的三角形全等（时间不等于）．
【答案】或或
【解析】
【分析】本题考查了三角形全等的判定，分两种情况：①当 P在线段 上，②当 P在射线 上，再分别分和 两种情况解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键．
【详解】解：①当在线段上，时，，
∵，
∴，
∴，
∴点的运动时间为秒；
②当在线段上，时，，
则，
∴，
即时间为秒，不合题意；
③当在射线上，时，，
∴，
∴，
∴点的运动时间为秒；
④当在射线上，时，，
则，
∴，
∴点的运动时间为秒；
综上，当点运动或或秒时，与点、、为顶点的三角形全等，
故答案为：或或．
16. 如图，的角平分线、交于点．延长至，与的延长线相交于点，且，，若的面积为6，，则线段的长度为__________．
【答案】
【解析】
【分析】设，，根据三角形的外角性质及角平分线的定义得出，，可得，由平分，即可得出；根据三角形的面积得，的面积为6可得出，再由即可求解．本题考查三角形的外角性质及角平分线的定义，三角形的面积，主要考查学生运用三角形的面积公式求解的能力．
【详解】解：设，，
平分，，
，，，
，，
，
平分，
，
；
过点作于，
，，，
∴
的面积为6，
，
，
，
，
．
故答案为：
三、解答题（17-21每题8分，22、23每题10分，24题12分）
17. 已知：如图，点A、D、B、E在同一直线上，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查的是全等三角形的判定，先证明，再利用证明即可．
【详解】证明：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴．
18. 如图，在中，的平分线交于点，过点作交于点，若，，求的度数.
【答案】30°##30度
【解析】
【分析】由三角形内角和可得，然后根据角平分线的定义可得，进而根据平行线的性质可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵的角平分线交于点，
∴，
∵，
∴，
故的度数为30°．
【点睛】本题主要考查角平分线的定义、三角形内角和及平行线的性质，熟练掌握三角形内角和是解题的关键．
19. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）在图中作出关于直线l对称的；（要求：A与，B与，C与相对应）
（2）若有一格点P到点A、B的距离相等（），则网格中满足条件的点P有 个；
（3）请在直线l上找一点Q，使的值最小．
【答案】（1）见解析 （2）4
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查了作轴对称图形，作线段垂直平分线，两点间线段最短等知识．
（1）分别作出三顶点A、B、C关于l的对称点、、，再依次连接即可；
（2）根据网格特点作出线段的垂直平分线后，即可确定点P的个数；
（3）连接交直线l于点Q，则点Q满足条件要求．
【小问1详解】
解：作图如下：
【小问2详解】
解：作出线段的垂直平分线，如图，
则满足条件的格点有4个；
【小问3详解】
解：如图，连接交直线l于点Q，则点Q满足的值最小．
20. 如图①，油纸伞是中国传统工艺品之一，起源于中国的一种纸制或布制伞．油纸伞的制作工艺十分巧妙，如图②，伞圈D沿着伞柄滑动时，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的，伞骨，的B，C点固定不动，且到点A的距离．
（1）当D点在伞柄上滑动时，处于同一平面的两条伞骨和相等吗？请说明理由．
（2）如图③，当油纸伞撑开时，伞的边缘M，N与点D在同一直线上，若，，求的度数．
【答案】（1）相等，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的外角定理，掌握全等三角形对应边相等，对应角相等是解题的关键．
（1）根据题意可得，即可根据证明，即可得出；
（2）先求出．再根据三角形的外角定理得出．最后根据全等三角形对应角相等，即可得出
．
【小问1详解】
解：相等．理由如下：
∵伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的，
∴．
在和中，
∵，
∴．
∴．
【小问2详解】
解：∵，
∴．
又∵，
∴．
∵，
∴．
21. 如图，和两个大小不同的等腰直角三角形，，， ，、、在同一条直线上，连接，交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的面积．
【答案】（1）见解析 （2）6
【解析】
【分析】本题考查全等三角形判定及性质，等腰直角三角形性质，三角形面积等．
（1）利用全等三角形判定证明即可；
（2）利用（1）中全等性质求出，再利用等腰直角三角形性质证明，继而利用面积公式求解即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∵，
∴，，
∵和两个大小不同的等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
22. 王强同学用10块高度都是2的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点和分别与木墙的顶端重合．

（1）求证：；
（2）求两堵木墙之间的距离．
【答案】（1）见解析 （2）20
【解析】
【分析】（1）根据题意可得，，，，进而得到，再根据等角的余角相等可得，再利用“”证明即可；
（2）利用全等三角形的性质进行解答即可；
熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
【小问1详解】
证明：由题意可得，，，，
∴，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴；
【小问2详解】
解：由题意可得（），（），
∵，
∴，，
∴（），
答：两堵木墙之间的距离为20．
23. 综合与探究：爱思考的小明在学习过程中，发现课本有一道习题，他在思考过程中，对习题做了一定变式，让我们来一起看一下吧．在中，与的平分线相交于点P．

（1）如图1，如果，那么___________°
（2）如图2，作的外角，的平分线交于点Q，试探究与的数量关系．
（3）如图3，在（2）的条件下，延长线段交于点E，在中，若，求的度数．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出，进而求出即可解决问题；
（2）根据三角形的外角性质分别表示出与，再根据角平分线的性质可求得，最后根据三角形内角和定理即可求解；
（3）在中，由于，求出，由，得出，求解即可．
【小问1详解】
，
，
与的平分线交于点，
，，
；
故答案为：；
【小问2详解】
的外角，的平分线交于点，
，．
，
，
；
【小问3详解】
如图，延长至，

为的外角的角平分线，
是的外角的平分线，
，
平分，
，
，
，
即，
又，
，即，
，
，
，
，
．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键．
24. （1）如图①，在四边形中，．E、F分别是上的点， 且，探究图中之间的数量关系．
小王同学探究此问题方法：延长到点G，使．连接． 先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是
（2）如图②，在四边形中，分别是上点，且，上述结论是否仍然成立？ 请说明理由．
（3）如图③，在四边形中，．若点E在的延长线上，点F在的延长线上，仍然满足，请写出与的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）；（2）上述结论仍然成立，理由见解析；（3），理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定：
（1）延长到点G，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，可得出，据此得出结论；
（2）延长到点G，使，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得出；
（3）在延长线上取一点G，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论．
【详解】解：（1）如图1，延长到点G，使，连接，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
，
，，
，，
，
在和中，
，
，
故答案为：；
（2）上述结论仍然成立，理由如下：
如图2，延长到点G，使，连接，
，，
，
在和中，
，
，
，，
在和中，
，
，
；
（3），理由如下：
图3，在延长线上取一点G，使得，连接，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
，
即，