2024-2025学年浙江省金华市兰溪实验中学共同体九年级（上）期中数学试卷（含详解）

这是一份2024-2025学年浙江省金华市兰溪实验中学共同体九年级（上）期中数学试卷（含详解），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）已知3a＝2b（ab≠0），则下列比例式成立的是（ ）
A．＝B．C．＝D．
2．（3分）下列成语中，表示不可能事件的是（ ）
A．水中捞月B．守株待兔C．水涨船高D．水滴石穿
3．（3分）将抛物线y＝3x2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（ ）
A．y＝3（x﹣1）2+2B．y＝3（x+1）2﹣2
C．y＝3（x+1）2+2D．y＝3（x﹣1）2﹣2
4．（3分）如图是一架人字梯，已知AB＝AC＝2米，AC与地面BC的夹角为α，则两梯脚之间的距离BC为（ ）
A．4csα米B．4sinα米C．4tanα米D．米
5．（3分）若扇形的半径为3，圆心角为60°，则此扇形的弧长是（ ）
A．πB．2πC．3πD．4π
6．（3分）如图，点D是△ABC的边AB上的一点，连接DC，则下列条件中不能判定△ABC∽△ACD的是（ ）
A．∠B＝∠ACDB．∠ADC＝∠ACBC．D．
7．（3分）如图，正六边形与正方形有两个顶点重合，且中心都是点O，若∠AOB是某正n边形的一个外角，则n的值为（ ）
A．16B．12C．10D．8
8．（3分）如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠A＝45°，⊙O的半径为2，则BC的长为（ ）
A．2B．2C．4D．2
9．（3分）已知抛物线y＝﹣x2+bx+3的顶点坐标为（1，4），若关于x的一元二次方程﹣x2+bx+3﹣t＝0（为实数）在﹣1≤x≤5范围内有两个不同的实数根，则实数t的取值范围是（ ）
A．﹣12≤t＜4B．t＜4C．﹣12＜t≤0D．0≤t＜4
10．（3分）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形ABCD与四边形EFGH都是正方形．连结DG并延长，交BC于点P，点P为BC的中点．若EF＝2，则AE的长为（ ）
A．4B．C．D．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）在比例尺为1：100000的地图上，甲、乙两地图距是2cm，它的实际长度为 km．
12．（3分）一只自由飞行的小鸟，如果随意落在如图所示的方格地面上（每个小方格形状完全相同），那么小鸟落在阴影方格地面上的概率是 ．
13．（3分）黄金分割大量应用于艺术、大自然中，例如树叶的叶脉也蕴含着黄金分割．如图，B为AC的黄金分割点（AB＞BC），如果AB的长度为10cm，则BC的长度为 cm．（结果保留根号）
14．（3分）高速公路上行驶的汽车急刹车时的滑行距离s（m）与时间t（s）的函数关系式为s＝30t﹣5t2，遇到紧急情况时，司机急刹车，则汽车最多要滑行 m，才能停下来．
15．（3分）如图，在▱ABCD中，点E为AB的中点，点F为AD上一点，EF与AC相交于点H．若FH＝3，EH＝6，AH＝4，则CH的长为 ．
16．（3分）如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD．如果AD＝6，DB＝2，则AC的长为 ．
三、解答题（本题共8小题，17-21每题8分，22、23每题10分，24题12分）
17．（8分）已知线段a、b、c满足，且a+2b+c＝26．
（1）求a、b、c的值；
（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x．
18．（8分）计算：
（1）tan45°﹣sin60°•cs30°；
（2）若α是锐角，且sinα＝，求csα的值．
19．（8分）如图在5×5的网格中，△ABC的顶点都在格点上．（仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）
（1）在图1中，画出△ABC的中线AD；
（2）在图2中，画线段CE，点E在AB上，使得S△ACE：S△BCE＝2：3；
（3）在图3中，画出△ABC的外心点O．
20．（8分）我区某中学举行了“垃圾分类，绿色环保”知识竞赛活动，根据学生的成绩划分为A，B，C，D四个等级，并绘制了不完整的两种统计图：
根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）参加知识竞赛的学生共有 人，并把条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中，m＝ ，C等级对应的圆心角为 度；
（3）小明是四名获A等级的学生中的一位，学校将从获A等级的学生中任选取2人，参加区举办的知识竞赛，请用列表法或画树状图，求小明被选中参加区知识竞赛的概率．
21．（8分）如图，点D在边BC上，∠C＝∠E，∠BAD＝∠CAE．
（1）求证：△ABC∽△ADE；
（2）若S△ABC：S△ADE＝16：25，DE＝10，CD＝2，求BD的长．
22．（10分）如图，二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）用配方法将二次函数y＝x2﹣2x﹣3化为y＝a（x+h）2+k的形式；
（2）观察图象，当0＜x＜4时，直接写出y的取值范围；
（3）设二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象的顶点为M，求△ACM的面积．
23．（10分）利用以下素材解决问题．
24．（12分）等腰△ABD内接于⊙O，BA＝BD．点C是劣弧BD上的动点，连接AC，AC与BD相交于点E．
（1）如图1，若∠ABD＝50°，BE＝BC，
①求∠DBC的度数；
②若，求的值．
（2）如图2，当AC刚好过圆心O，且AB＝3BC，AD＝4时，求CD的长．
2024-2025学年浙江省金华市兰溪实验中学共同体九年级（上）期中数学试卷
参考答案
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．【解答】解：∵3a＝2b，
∴＝或＝或＝或＝，所以D选项符合题意，A、B、C选项不符合题意．
故选：D．
2．【解答】解：A、水中捞月，是不可能事件，符合题意；
B、守株待兔，是随机事件，不合题意；
C、水涨船高，是必然事件，不合题意；
D、水滴石穿，是必然事件，不合题意；
故选：A．
3．【解答】解：将抛物线y＝3x2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的表达式为：y＝3（x+1）2﹣2．
故选：B．
4．【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB＝AC＝2米，AD⊥BC，
∴BD＝DC，
∴csα＝＝，
∴DC＝2csα（米），
∴BC＝2DC＝2×2csα＝4csα（米）．
故选：A．
5．【解答】解：∵扇形的半径为3，圆心角为60°，
∴，
故选：A．
6．【解答】解：∵∠DAC＝∠CAB，
∴当∠ACD＝∠B或∠ADC＝∠ACB，可根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断△ACD∽△ABC；
当＝时，可根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断△ACD∽△ABC．
故选：C．
7．【解答】解：由题意，∠AOB＝90°﹣60°＝30°，
∴n＝＝12，
故选：B．
8．【解答】解：如图，连接OB，OC，
∵⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝90°，
∵OB＝OC＝2，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴BC＝＝OB＝2．
故选：B．
9．【解答】解：由题意，∵抛物线为y＝﹣x2+bx+3，
∴关于x的一元二次方程﹣x2+bx+3﹣t＝0的根可以看作是二次函数y＝﹣x2+bx+3与直线y＝t交点的横坐标的值．
又关于x的一元二次方程﹣x2+bx+3﹣t＝0（为实数）在﹣1≤x≤5范围内有两个不同的实数根，
∴二次函数y＝﹣x2+bx+3与直线y＝t在﹣1≤x≤5时有两个不同的交点．
∵抛物线顶点为（1，4），
∴对称轴直线x＝﹣＝＝1．
∴b＝2．
∴抛物线为y＝﹣x2+2x+3．
∵﹣1≤x≤5，
∴当x＝﹣1时，y＝0；当x＝5时，y＝﹣12．
此时对应图象如下，
∵在﹣1≤x≤5范围内有两个不同的实数根，
∴0≤t＜4．
故选：D．
10．【解答】解：由题意，EF＝HG＝FG＝2，AD∥BC，BG⊥HC，DH⊥HG，∠ADE＝∠GBP，
∴∠ADG＝∠GPC．
∵点P为BC的中点，
∴PB＝PG＝PC．
∴∠BGP＝∠GBP，∠GPC＝2∠GBP．
∴∠GPC﹣∠ADE＝2∠GBP﹣∠ADE，即∠GDH＝∠GBP．
∴△GDH∽△CBG．
∴＝，即＝．
设AE＝BF＝HD＝x，
∴＝．
∴x＝1+或x＝1﹣（舍去）．
故选：C．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．【解答】解：根据题意可知，它的实际长度为：2÷＝2×100000＝200000（cm），
200000cm＝2km，
故答案为：2．
12．【解答】解：∵正方形被等分成16份，其中黑色方格占4份，
∴小鸟落在阴影方格地面上的概率为：＝．
故答案为．
13．【解答】解：∵B为AC的黄金分割点（AB＞BC），AB的长度为10cm，
∴AB＝AC＝10（cm），
∴AC＝5（+1）（cm），
∴BC＝AC﹣AB＝5（+1）﹣10＝5+5﹣10＝（5﹣5）cm，
故答案为：（5﹣5）．
14．【解答】解：依题意，该函数关系式化简为s＝﹣5（t﹣3）2+45，
当t＝3时，汽车停下来，滑行了45m．
故滑行的时间为3秒，最大的滑行距离45m．
故答案为45．
15．【解答】解：如图，延长FE交CB的延长线于点G．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠EAF＝∠EBG，∠AFE＝∠G．
∵点E为边AB的中点，
∴AE＝BE．
在△AFE和△BGE中，，
∴△AFE≌△BGE（AAS），
∴EF＝EG．
∵FH＝3，EH＝6，
∴EF＝EH+FH＝9．
∴EG＝9，
∴GH＝EG+EH＝9+6＝15．
∵AD∥BC，
∴，即，
解得CH＝20．
16．【解答】解：如图，过C作CG⊥AB于G，连接OC、BC，设折叠前后点D的对应点为E，
∵∠AEC+∠B＝180°，∠ADC＝∠AEC，
∴∠ADC+∠B＝180°，
∴∠B＝∠BDC，
∴CD＝BC，
∴，
∵AB＝AD+BD＝8，且AB为直径，
∴OA＝OB＝OC＝4，
∴OD＝2，
∴OG＝3，
∴CG2＝OC2﹣OG2＝7，
∵AG＝AD+DG＝7，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本题共8小题，17-21每题8分，22、23每题10分，24题12分）
17．【解答】解：（1）设＝＝＝k，
则a＝3k，b＝2k，c＝6k，
所以，3k+2×2k+6k＝26，
解得k＝2，
所以，a＝3×2＝6，
b＝2×2＝4，
c＝6×2＝12；
（2）∵线段x是线段a、b的比例中项，
∴x2＝ab＝6×4＝24，
∴线段x＝2．
18．【解答】解：（1）原式＝1﹣×
＝1﹣
＝；
（2）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝∠α，
∵sinα＝＝，
∴令BC＝x，AB＝3x，
∴AC＝＝2x，
∴csα＝＝＝．
19．【解答】解：（1）如图，线段AD即为所求；
（2）如图，线段CE即为所求；
（3）如图点O即为所求．
20．【解答】解：（1）12÷30%＝40（人），
40×20%＝8（人），
补全条形统计图如图所示：
故答案为：40；
（2）4÷40＝10%，
．
故答案为：10；144；
（3）设除小明以外的三个人记作A、B、C，从中任意选取2人，所有可能出现的情况如下：
共有12中可能出现的情况，其中小明被选中的有6种，
所以小明被选中参加区知识竞赛的概率为．
21．【解答】（1）证明：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD，
∴∠BAC＝∠DAE，
又∠C＝∠E，
∴△ABC∽△ADE；
（2）解：∵△ABC∽△ADE，S△ABC：S△ADE＝16：25，
∴BC：DE＝4：5，
∵DE＝10，
∴BC＝8，
∵CD＝2，
∴BD＝BC﹣CD＝6．
22．【解答】解：（1）y＝x2﹣2x﹣3＝x2﹣2x+1﹣4＝（x﹣1）2﹣4，
∴y＝（x﹣1）2﹣4；
（2）∵二次函数的顶点坐标为（1，﹣4），
将x＝0代入y＝x2﹣2x﹣3，
得y＝﹣3，
将x＝4代入y＝x2﹣2x﹣3，
得y＝42﹣2×4﹣3＝5，
当0＜x＜4时，y的取值范围为﹣4≤y＜5；
（3）如图，设AM交y轴于点D，
由（1）知，二次函数y＝（x﹣1）2﹣4的顶点坐标为M（1，﹣4），
令y＝0，则0＝x2﹣2x﹣3，
∴x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴令x＝0，得y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
设直线AM的解析式为y＝kx+b，
，
解得：，
∴直线AM的解析式为y＝﹣2x﹣2，
令x＝0，则y＝0﹣2＝﹣2，
∴D（0，﹣2），
∴CD＝﹣2﹣（﹣3）＝1，
∴．
23．【解答】解：任务1：
设拱桥所在的圆的圆心为点O，连接OC、OA、OB，
∵AC＝BC，CD⊥AB，
∴AD＝BD，
∵OA＝OB，
∴OD⊥AB，
∵CD⊥AB，
∴点C、D、O三点共线，
设⊙O的半径为r m，则OD＝（r﹣5）m，
在Rt△ACD和Rt△AOD中，
∵AD2＝AC2﹣CD2，AD2＝OA2﹣OD2，
∴AC2﹣CD2＝OA2﹣OD2，
即102﹣52＝r2﹣（r﹣5）2，
解得r＝10，
∴圆形桥拱的半径为10m；
任务2：若EH是⊙O的弦，
由对称性可得EM＝MH＝5m，OC⊥EH，
在Rt△MOE中，
∵EM＝5m，OE＝10m，
∴OM＝＝m，
由任务1得OD＝5，
∴DM＝OM﹣OD＝m≈3.66m，
∵EF＝3.5m＜3.66m，
∴货船能通过圆形拱桥，
由，
解得x＝19.2，
∴货船最多还能卸载19.2吨货物；
任务3：以点D为坐标系原点，AB为x轴，CD为y轴建立平面直角坐标系，
设桥拱所在的抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
∵抛物线的对称轴为y轴，
∴b＝0，
∵CD＝5，
∴点C的坐标为（0，5），
∴c＝5，
即抛物线的解析式为y＝ax2+5，
在Rt△ACD中，
∵AC＝10m，CD＝5m，
∴AD＝＝m，
∴点A的坐标为，
把A代入y＝ax2+5，
得，
解得，
∴桥拱所在的抛物线的解析式为，
把x＝5代入，
得，
∵，
∴货船不能通过拱桥，
由，
解得x＝20，
∴货船至少要增加20吨货物才能通过拱桥．
24．【解答】解：（1）①∵∠ABD＝50°，BA＝BD，
∴∠BAD＝∠BDA＝＝65°，
∵，
∴∠BCA＝∠BDA＝65°，
∵BE＝BC，
∴∠BCA＝∠BEC＝65°，
∴∠DBC＝180°﹣∠BCA﹣∠BEC＝50°；
②方法1：
由，设AB＝BD＝4x，AD＝3x，
∵，
∴∠DBC＝∠DAE＝50°，
∵∠DAE＝∠DBA＝50°，∠ADE＝∠BDA＝65°，
∴△DAE∽△DBA，
∴，即，
∴DE＝，
∴BE＝BD﹣DE＝，
∵∠CBE＝∠DBA，∠BCE＝∠BDA，
∴△BCE∽△BDA，
∴，
∴，
∴CE＝，
∴＝＝；
（2）由AB＝3BC，设BC＝k，AB＝BD＝3k，
∵AC刚好过圆心O，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，
在Rt△ABC中，
∵BC＝k，AB＝3k，
∴AC＝＝，
∵∠CBD＝∠DAC，∠BEC＝∠AED，
∴△BEC∽△AED，
∴，即，
∴AE＝，DE＝，
∵∠CAB＝∠BDC，∠BEA＝∠CED，
∴△BEA∽△CED，
∴，
∴CD＝，
在Rt△ACD中，由勾股定理得AC2＝AD2+CD2，
∴，
∴CD＝．
方法2：
过点A作AM⊥BD，
∵∠ACB＝∠ADM，∠ABC＝∠AMD＝90°，
∴△ABC∽△AMD，
∵AB＝3BC，
∴AM＝3DM，
在Rt△AMD中，
∵AM2+DM2＝AD2，
∴DM＝，AM＝，
设AB＝BD＝x，则BM＝x﹣，
在Rt△ABM中，
∵AM2+BM2＝AB2，
∴，
∴AB＝BD＝，
∴BC＝，
∴AC＝＝，
∴CD＝＝．
探索货船通过拱桥的方案
素材1
图1中有一座对称石拱桥，图2是其桥拱的示意图，测得桥拱间水面宽AB端点到拱顶点C距离AC＝BC＝10m，拱顶离水面的距离CD＝5m．

素材2
如图3，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH，测得EF＝3.5m，EH＝10m．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度y（米）与货船增加的载重量x（吨）满足函数关系式．

素材3
本次探索成员对石桥桥拱的形状产生了争议，根据争论结果分成了两个小组，小组1认为桥拱为圆弧一部分，小组2认为桥拱为抛物线一部分．
问题解决
任务1
根据小组1的结论，求圆形桥拱的半径
任务2
根据小组1的结论探索方案
根据小组1的结论，根据图3状态，货船能否通过圆形拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？（最终结果四舍五入保留整数，参考数据：
任务3
根据小组2的结论探索方案
根据小组2的结论，根据图3状态，货船能否通过抛物线拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？