浙江省金华兰溪市实验中学共同体2024-2025学年上学期九年级期中测试数学试卷（解析版）-A4

这是一份浙江省金华兰溪市实验中学共同体2024-2025学年上学期九年级期中测试数学试卷（解析版）-A4，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 已知，则下列比例式成立是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了比例的性质，根据两内项之积等于两外项之积即可得出正确选项，熟记比例的性质是解题的关键．．
【详解】解：依题意得：
，
故选D．
2. 下列成语中，表示不可能事件的是（ ）
A. 水中捞月B. 守株待兔C. 水涨船高D. 水滴石穿
【答案】A
【解析】
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型．
【详解】解：A，水中捞月是不可能事件；
B、守株待兔是随机事件；
C、水涨船高是必然事件；
D、水滴石穿是必然事件；
故选：A．
【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3. 将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线的表达式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象的平移变化，熟练掌握平移的规则：左加右减，上加下减，是解题的关键．
【详解】解：将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线的表达式为：．
故选：B．
4. 如图是一架人字梯，已知米，AC与地面BC的夹角为，则两梯脚之间的距离BC为（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】A
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质得到，根据余弦的定义即可，得到答案．
【详解】过点A作，如图所示：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，明确等腰三角形的性质是解题的关键．
5. 若扇形的半径为3，圆心角为，则此扇形的弧长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查考查扇形的弧长公式，根据直接求解即可得到答案；
【详解】解：∵扇形的半径为3，圆心角为，
∴，
故选：A．
6. 如图，点D是的边上的一点，连接，则下列条件中不能判定的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定：两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．和有公共角，然后根据相似三角形的判定方法对各选项进行判断．
【详解】解：∵，
∴当或，可根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断，故A，B不符合题意；
当时，可根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断，故D不符合题意．
当时，不能判定，故C符合题意．
故选：C．
7. 如图，正六边形与正方形有两个顶点重合，且中心都是点O．若是某正n边形的一个外角，则n的值为（ ）
A. 16B. 12C. 10D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】根据正六边形与正方形的性质判断出的度数，可得结论．
【详解】解：如图，标注顶点，连接，，，

∵由正六边形与正方形的性质可得，所在的直线是该图形的对称轴，
∴，
∵是某正n边形的一个外角，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查正多边形与圆，解题的关键是理解正多边形的外角为．
8. 如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠A＝45°，⊙O的半径为2，则BC的长为（ ）
A. 2B. 2C. 4D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】由是的外接圆，，易得是等腰直角三角形，继而求得答案．
【详解】解：如图，连接，，
是的外接圆，，
，
，
是等腰直角三角形，
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查圆周角定理，勾股定理，掌握圆周角定理以及勾股定理是解决问题的关键．
9. 已知抛物线的顶点坐标为，若关于的一元二次方程（为实数）在范围内有两个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了抛物线与一元二方程的综合应用、二次函数的图像与性质等知识，运用数形结合的思想分析问题是解题关键．先把顶点坐标代入中求出函数解析式，再根据关于的一元二次方程（为实数）在范围内有两个不同的实数根，则与有两个交点，根据二次函数的性质结合函数图像得出结论．
【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为，且其对称轴为，
把代入得：，
解得：，，
抛物线与x轴的交点为：，，
把代入得：，
关于的一元二次方程（为实数）在范围内有两个不同的实数根，
则与有两个交点，
如图所示，

由图像可得：实数的取值范围是．
故选：D．
10. 如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形EFGH都是正方形．连结并延长，交于点，点为的中点．若，则的长为（ ）
A. 4B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据正方形的性质，全等三角形的性质，得到，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得，进而得到，由，得到，代入，即可求解，
本题考查了，直角三角形斜边中线等于斜边一半，正方形的性质，相似三角形的性质与判定，解题的关键是：找到相似三角形．
详解】解：由题意可知：，，，，，
∴，
∵点为BC的中点，
∴，
∴，，
∴，即：，
∴，
∴，即：，
设，
∴，解得：或（舍），
故选：C．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 在比例尺为的地图上，甲、乙两地图距是，它的实际长度为______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了比例线段，掌握图上距离、实际距离和比例尺的关系是解题的关键，注意单位的换算．根据实际距离图上距离比例尺列出算式，再进行计算即可．
【详解】解：比例尺为，甲、乙两地图距是，
它的实际长度为，
，
故答案为：．
12. 一只自由飞行的小鸟，如果随意落在如图所示的方格地面上（每个小方格形状完全相同），那么小鸟落在阴影方格地面上的概率是________．
【答案】
【解析】
【详解】∵由题意和图可知，阴影部分的面积占整个方格地面的比值为：，
∴小鸟落在阴影方格地面上的概率为：．
13. 黄金分割大量应用于艺术、大自然中，例如树叶的叶脉也蕴含着黄金分割．如图，B为的黄金分割点（），如果的长度为，则的长度为______ ．（结果保留根号）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了黄金分割．熟练掌握黄金分割是解题的关键．
由题意知，，计算求出满足要求的解即可．
【详解】解：由题意知，.，
∴，即，
∴，
故答案为：．
14. 高速公路上行驶的汽车急刹车时的滑行距离与时间的函数关系式为，遇到紧急情况时，司机急刹车，则汽车最多要滑行 _____，才能停下来．
【答案】
【解析】
【分析】由题意得，此题实际是求从开始刹车到停止所走的路程，即的最大值．把抛物线解析式化成顶点式后，即可解答．
【详解】解：依题意，该函数关系式化简为，
当时，汽车停下来，滑行了，
故滑行的时间为3秒，最大的滑行距离，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，即考查二次函数的最值问题，解答关键是弄懂题意，熟练对函数式变形，从而取得最值．
15. 如图，在中，点E为的中点，点F为上一点，与相交于点H．若，，，则的长为____．
【答案】20
【解析】
【分析】延长交的延长线于点G．证明，得出，求出，根据平行线分线段成比例定理，得出，代入求出结果即可．
【详解】如图，延长交的延长线于点G．
四边形为平行四边形，
．
，．
点E为边的中点，
．
在和中，，
，
．
，，
．
，
．
，
，即，
解得．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是作出辅助线，证明．
16. 如图，在中，为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点D，连接．如果，，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，圆的基本性质，如图，过作于，连接、，设折叠前后点D的对应点为，先证明，进而证明，得到，由三线合一求出，再求出的长，进而求出，进一步求出的长，即可利用勾股定理求出答案．
【详解】解：如图，过作于，连接、，设折叠前后点D的对应点为，
由折叠的性质可得，
∵，

∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，且为直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本题共8小题，17-21每题8分，22、23每题10分，24题12分）
17. 已知线段a、b、c满足，且．
（1）求a、b、c的值；
（2）若线段x是线段a、b比例中项，求x的值．
【答案】（1），，
（2）
【解析】
【分析】（1）设，则，，，代入，求得k的值，即可求出a、b、c的值；
（2）由线段x是线段a、b的比例中项，可得，计算即可．
【小问1详解】
解：设，则，，
∵，所以，解得，
∴，，．
【小问2详解】
∵线段x是线段a、b的比例中项，
∴，所以（舍负）．
【点睛】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解决问题的关键，同时利用“设k法”用k表示出a、b、c可以使计算更加简便．
18. 计算：
（1）；
（2）若α是锐角，且，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查特殊角三角函数值混合运算：
（1）原式代入特殊角的三角函数值，即可计算；
（2）由，令，，由勾股定理求出，即可求出的值．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：如图，中，，，
∵，
∴令，
∴，
∴．
19. 如图在5×5的网格中，△ABC的顶点都在格点上．（仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）
（1）在图1中画出△ABC的中线AD；
（2）在图2中画线段CE，点E在AB上，使得：＝2：3；
（3）在图3中画出△ABC的外心点O．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）由题知BO=CO，取两个格点F、G构造，即可得中点D．
（2）由：＝2：3得AE：BE=2∶3，取格点H、J，构造，且相似比为2∶3，即可得到E点．
（3）由O为△ABC的外心知O为AB、AC的中垂线的交点，作出两条中垂线，交点即为O．
小问1详解】
如图1中，取格点F、G，连接FG交BC于点D，线段AD即为所求．
【小问2详解】
如图2中，取格点H、J，连接HJ交AB于点E，线段CE即为所求．
【小问3详解】
如图3中，取格点K、L、M、N，连接KL、MN交于点O，则点O为所求．
【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，三角形的面积，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
20. 我区某中学举行了“垃圾分类，绿色环保”知识竞赛活动，根据学生的成绩划分为A，B，C，D四个等级，并绘制了不完整的两种统计图：
根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）参加知识竞赛的学生共有______人，并把条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中，______，C等级对应的圆心角为______度；
（3）小明是四名获A等级的学生中的一位，学校将从获A等级的学生中任选取2人，参加区举办的知识竞赛，请用列表法或画树状图，求小明被选中参加区知识竞赛的概率．
【答案】（1）40，图见解析
（2）10， 144 （3）
【解析】
【分析】（1）根据D等级的频数及所占的百分比即可得出总的人数，然后乘以B等级所占的百分比即可得出B等级的人数，然后补全统计图即可；
（2）用A等级的频数除以总人数即可得出m的值；用360度乘以C等级所占的比例即可；
（3）用列表法表示出所有等可能的结果，然后用概率公式求解即可．
【小问1详解】
解： 人，人，
补全条形统计图如图所示：
故答案为：40，
【小问2详解】
， ．
故答案为：10， 144；
【小问3详解】
设除小明以外的三个人记作A、B、C，从中任意选取2人，所有可能出现的情况如下：
共有12中可能出现的情况，其中小明被选中的有6种，
所以小明被选中参加区知识竞赛的概率为．
【点睛】题目主要考查条形统计图与扇形统计图综合，用列表法或树状图法求概率等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
21. 如图，点D在边BC上，，．
（1）求证：；
（2）若，，，求BD的长．
【答案】（1）见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）证出∠BAC=∠DAE，根据相似三角形的判定可得出结论；
（2）由相似三角形的性质得出BC：DE=4：5，求出BC=8，则可求出答案．
【小问1详解】
证明：∵∠BAD＝∠CAE
∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD
∴∠BAC＝∠DAE
又∠C＝∠E
∴△ABC∽△ADE
【小问2详解】
∵△ABC∽△ADE，
∴BC：DE＝4：5
∵DE＝10
∴BC＝8
∵CD＝2
∴BD＝BC－CD＝6
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明△ABC∽△ADE是解题的关键．
22. 如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点；
（1）用配方法将二次函数化为的形式；
（2）观察图象，当时，直接写出的取值范围；
（3）设二次函数的图象的顶点为，求的面积．
【答案】（1）
（2）
（3）的面积为
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）将抛物线利用配方法转化为顶点式，即可求解．
（2）由（1）知，顶点坐标为，计算出和时对应的值，即可求解；
（3）设交轴于点，先根据二次函数的解析式求出点、的坐标，由（1）知，设直线的解析式为，利用待定系数法求的解析式，进而求出点的坐标，根据，即可求解．
【小问1详解】
解：，
；
【小问2详解】
由（1）知，二次函数的顶点坐标为，
将代入，
得，
将代入，
得，
当时，的取值范围为；
【小问3详解】
如图，设交轴于点，
由（1）知，二次函数的顶点坐标为，
二次函数的图象与轴交于、两点，
令，则，
解得：，，
，，
二次函数的图象与轴交于点，
令，得，
C0,−3，
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为，
令，则，
，
，
．
23. 利用以下素材解决问题．
【答案】任务1：；任务2：货船能通过圆形拱桥，最多还能卸载19吨货物；任务3：货船不能通过抛物线拱桥，至少要增加20吨货物才能通过
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，垂径定理的实际应用，勾股定理：
任务1：设拱桥所在圆的圆心为O，连接，先证明垂直平分，设圆O的半径为，则，利用勾股定理得到，解方程即可得到答案；
任务2：当恰好为圆O的弦时，由垂径定理得到，则，可得，则货船能通过圆形拱桥，进而得到，则，则货船能通过圆形拱桥，最多还能卸载19吨货物．
任务3：如图所示，以D为原点，所在的直线为x轴，y轴建立坐标系，设桥拱所在的抛物线解析式为，由勾股定理得，则，利用待定系数法求出桥拱所在的抛物线解析式为，在中，当时，，由于，则货船不能通过抛物线拱桥，根据，得到，则货船不能通过抛物线拱桥，至少要增加20吨货物才能通过．
【详解】解：任务1：设拱桥所在圆的圆心为O，连接，
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∴O、C、D三点共线，
设圆O的半径为，则，
由勾股定理得 ，
∴，
解得，
∴圆形桥拱的半径为
任务2：当恰好为圆O的弦时，
∵，，
∴（垂足为M），
∴，
∴，
∴，
∴货船能通过圆形拱桥，
∵，
∴，
∴最多还能卸载19吨货物，
∴货船能通过圆形拱桥，最多还能卸载19吨货物．
任务3：如图所示，以D为原点，所在的直线为x轴，y轴建立坐标系，
设桥拱所在的抛物线解析式为，
由勾股定理得，
∴，
把代入中得：，
∴，
∴桥拱所在的抛物线解析式为，
在中，当时，，
∵，
∴货船不能通过抛物线拱桥，
∵，
∴，
∴至少要增加20吨货物才能通过
∴货船不能通过抛物线拱桥，至少要增加20吨货物才能通过．
24. 如图，等腰内接于，．点是劣弧上的动点，连接，与相交于点．
（1）如图1，若，，
①求的度数；
②若，求的值．
（2）如图2，当刚好过圆心，且，时，求的长．
【答案】（1）①；②
（2）
【解析】
【分析】（1）①利用圆周角定理，三角形内角和定理即可得到各个角之间的关系，再由等腰三角形性质即可得到答案；②由①中的结论得到，，推出，由可设，，证明，得到，再证明，得到，最后根据，即可求解；
（2）延长至点，使，连接，设，则，根据勾股定理得到，利用圆周角定理，得到，根据相似三角形的性质得到，在中，应用勾股定理求出，进而表示出，在中，根据勾股定理列出等量关系式，求出的值，即可求解．
【小问1详解】
解：①，，
，
，
，
，
；
②由①可知，，，
，
，
，
，
设，，
，
，
，即，
，
，
，
，
，即，
，
；
【小问2详解】
延长至点，使，连接，
，，
设，则，
刚好过圆心，
，
在中，，
，，，
，
，即，
，
在中，，
，
在中，，
即，
解得：，
．
【点睛】本题考查圆综合，涉及圆周角定理、三角形内角和定理、等腰三角形性质、三角形相似的判定与性质、勾股定理、解方程等知识，熟练掌握圆的性质，灵活运用三角形相似的判定与性质是解决问题的关键．
探索货船通过拱桥的方案
素材1
图1中有一座对称石拱桥，图2是其桥拱的示意图，测得桥拱间水面宽AB端点到拱顶点C距离，拱顶离水面的距离
素材2
如图3，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得，．因水深足够，货船可以根据需要运载货物，据调查，船身下降的高度y（米）与货船增加的载重量x（吨）满足函数关系式
素材3
本次探索成员对石桥桥拱的形状产生了争议，根据争论结果分成了两个小组，小组1认为桥拱为圆弧一部分，小组2认为桥拱为抛物线一部分
问题解决
任务1
根据小组1的结论，求圆形桥拱的半径．
任务2
根据小组1的结论探索方案
根据小组1的结论，根据图3状态，货船能否通过圆形拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？（最终结果四舍五入保留整数，参考数据：）
任务3
根据小组2的结论探索方案
据小组2的结论，根据图3状态，货船能否通过抛物线拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？