2024-2025学年上海市静安区风华中学九年级(上)月考数学试卷(10月份)(含解析)
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这是一份2024-2025学年上海市静安区风华中学九年级(上)月考数学试卷(10月份)(含解析),共24页。试卷主要包含了选择题.,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
1.(4分)下列各组图形中,一定相似的是
A.两个矩形B.两个菱形C.两个正方形D.两个等腰梯形
2.(4分)如果抛物线经过第一、二、三象限,那么常数、的符号是
A.,B.,C.,D.,
3.(4分)如果用线段、、,求作线段,使,那么下列作图正确的是
A.B.
C.D.
4.(4分)若抛物线,、、是常数)经过、、、四点,则
A.B.
C.D.与的大小关系不能确定
5.(4分)在△中,点、分别在边、的反向延长线上,且满足,联结,那么在下列结论中,不是仅仅利用比例的相关性质就可以得到的是
A.B.
C.D.
6.(4分)四边形的两条对角线相交于点,下列条件中,不一定能推得△与△相似的是
A.B.C.D.
二、填空题(共12小题,每题4分)
7.(4分)如果函数是常数)是二次函数,那么的取值范围是 .
8.(4分)抛物线与轴的交点坐标是 .
9.(4分)已知抛物线在直线的左侧部分是下降的,那么常数的取值范围是 .
10.(4分)抛物线向左平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的新抛物线的表达式是 .
11.(4分)在比例尺为的图上,图上距离为8厘米的实际距离约为 千米.(用科学记数法表示)
12.(4分)已知点把线段分割成和两段,如果是和的比例中项,那么的值等于 .
13.(4分)在中,点、分别在线段、的延长线上,,,,,那么 .
14.(4分)已知直角三角形的两条直角边长分别为5和12,那么这个直角三角形的重心到直角顶点的距离是 .
15.(4分)一个直角三角形的两直角边长分别为3和6,另一个直角三角形的两直角边长分别为2和4,那么这两个直角三角形 相似.(填“一定”、“不一定”或“一定不” .
16.(4分)如图,是的中线,是的中点,的延长线交于点,那么 .
17.(4分)如图,在矩形中,,,点是边上一点,若与相似,则满足条件的点有 个.
18.(4分)对于一个二次函数、、是常数)中存在一点,,使得,则称为该抛物线的“开口大小”,那么抛物线的“开口大小”为 .
三、解答题(共7小题,第19-22题每题10分,第23、24每题12分,第25题14分)
19.(10分)已知:某个二次函数的一般式为:.
(1)用配方法把一般式化为顶点式,并指出该函数图象的对称轴和顶点坐标;
(2)求这个二次函数图象与轴的交点坐标.
20.(10分)已知:如图,是400米跑道示意图,中间的足球场是矩形,两边是全等的半圆,如果问直道的长是多少?那你大概率是知道的.可你也许不知道,这不仅是为了田径比赛的需要,还有另一个原因,等你做完本题就明白了.设直道的长为米,足球场的面积为平方米.
(1)求出关于的函数关系式(结果保留,并写出定义域;
(2)当直道为 米时,足球场的面积最大.
21.(10分)已知:在△中,点是边上任意一点(不与点、重合).
(1)如图1,联结, ;(用图中已有线段表示)
(2)如图2,是线段上任意一点(不与点、重合),联结、,试猜想与之比应该等于图中哪两条线段之比,并说明理由.
22.(10分)已知:如图,在四边形中,点在边上,点在边上,且满足,.
(1)联结,如果,求证:;
(2)在(1)的条件下,如果,,那么 .(用含、的代数式表示)
23.(12分)求证:三边成比例的两个三角形相似.
如图:已知在△和△中,,求证:△△.
24.(12分)回顾整个初中学习函数的过程,我们都是先经历了列表、描点、连线画出函数图象,再结合函数图象研究函数性质.现给出一个全新的函数,请沿用这种学习经验完成对它的一些研究.
(1)请根据表中的数据在平面直角坐标系中画出该函数的大致图象;
(2)观察图象,研究性质:
①该函数图象关于 对称;
②当随的增大而增大时,的取值范围是 ;
③请你再写出一条和①、②不同的函数性质: ;
(3)深入思考,拓展探究:
④若函数的图象与直线有4个交点,则常数的取值范围是 ;
⑤不难发现,函数的图象可通过将函数图象的某一部分沿着某条直线翻折得到(其余未翻折的剩余图象不动);进而我们尝试将该发现推广为更一般的情况,即:函数的图象可通过将函数在 的图象(填“具体哪一部分” 沿着 (填“具体哪条直线” 翻折得到(其余未翻折的剩余图象不动).
25.(14分)已知平面直角坐标系,抛物线与轴交于点和点,与轴交于点,把抛物线向下平移得到抛物线,设抛物线的顶点为,与轴交于点,直线与轴交于点.
(1)求抛物线的表达式;
(2)当点与点重合时,求平移的距离;
(3)联结,如果与互补,求点的坐标.
参考答案
一、选择题(共6小题,每题4分)
1.(4分)下列各组图形中,一定相似的是
A.两个矩形B.两个菱形C.两个正方形D.两个等腰梯形
【解答】、两个矩形四个角相等,但是各边不一定对应成比例,所以不一定相似,故本选项错误;
、两个菱形,形状不一定相同,故本选项错误;
、两个正方形,形状相同,大小不一定相同,符合相似性定义,故本选项正确;
、两个等腰梯形不一定相似,故本选项错误.
故选:.
2.(4分)如果抛物线经过第一、二、三象限,那么常数、的符号是
A.,B.,C.,D.,
解:由题意得,,
如图所示,函数图象经过第一,二,三象限,
抛物线开口向上,故,
对称轴在轴的负半轴,
.
故选:.
3.(4分)如果用线段、、,求作线段,使,那么下列作图正确的是
A.B.
C.D.
解:、与已知不符合,故选项不正确;
、与已知符合,故选项正确;
、与已知不符合,故选项不正确;
、与已知不符合,故选项不正确;
故选:.
4.(4分)若抛物线,、、是常数)经过、、、四点,则
A.B.
C.D.与的大小关系不能确定
解:由条件可知:抛物线的对称轴为直线,
,
抛物线开口向下,离对称轴越远,函数值越小,
,
,
故选:.
5.(4分)在△中,点、分别在边、的反向延长线上,且满足,联结,那么在下列结论中,不是仅仅利用比例的相关性质就可以得到的是
A.B.
C.D.
解:,
,故选项不符合题意;
证明,还需要证明△△,不是仅仅利用比例的相关性质就可以得到,
选项符合题意;
,点、分别在边、的反向延长线上,
,选项不符合题意;
,
,选项不符合题意.
故选:.
6.(4分)四边形的两条对角线相交于点,下列条件中,不一定能推得△与△相似的是
A.B.C.D.
解:.,
,
△△,
,
,
又,
△△,故选项不符合题意;
.,,
△△,故选项不符合题意;
.,,
△△,故选项不符合题意;
.条件,,无法证明△△,故选项符合题意.
故选:.
二、填空题(共12小题,每题4分)
7.(4分)如果函数是常数)是二次函数,那么的取值范围是 .
解:函数是常数)是二次函数,
,
解得.
故答案为:.
8.(4分)抛物线与轴的交点坐标是 .
解:令,得,
故与轴的交点坐标是:.
故答案为:.
9.(4分)已知抛物线在直线的左侧部分是下降的,那么常数的取值范围是 .
解:该函数在的左侧是下降的,
该函数的开口向上,
,
.
10.(4分)抛物线向左平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的新抛物线的表达式是 .
解:抛物线向左平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的新抛物线的表达式是,
故答案为:.
11.(4分)在比例尺为的图上,图上距离为8厘米的实际距离约为 千米.(用科学记数法表示)
解:根据题意,比例尺为,
图上距离为8厘米的实际距离为:,
千米千米.
故答案为:.
12.(4分)已知点把线段分割成和两段,如果是和的比例中项,那么的值等于 .
解:点把线段分割成和两段,其中是与的比例中项,
点是线段的黄金分割点,
,
,
故答案为:.
13.(4分)在中,点、分别在线段、的延长线上,,,,,那么 8 .
解:,
,
,,,
,
,
.
故答案为:8.
14.(4分)已知直角三角形的两条直角边长分别为5和12,那么这个直角三角形的重心到直角顶点的距离是 .
解:直角三角形的两条直角边长分别为5和12,
斜边的长度为,
这个直角三角形的重心到直角顶点的距离是.
故答案为:.
15.(4分)一个直角三角形的两直角边长分别为3和6,另一个直角三角形的两直角边长分别为2和4,那么这两个直角三角形 一定 相似.(填“一定”、“不一定”或“一定不” .
解:一个直角三角形的两边长分别为3和6,另一个直角三角形的两边长分别为2和4,
,
这两个直角三角形一定相似.
故答案为:一定.
16.(4分)如图,是的中线,是的中点,的延长线交于点,那么 .
解:作交于,
,是的中线,
,
,是中点,
,
,
,
故答案为:.
17.(4分)如图,在矩形中,,,点是边上一点,若与相似,则满足条件的点有 3 个.
解:设为,
,
,
①和是对应边时,
与相似,
,
即,
整理得,,
解得,,
②和是对应边时,
与相似,
,
即,
解得,
所以,当、4、时,与相似,
满足条件的点有3个.
故答案为:3.
18.(4分)对于一个二次函数、、是常数)中存在一点,,使得,则称为该抛物线的“开口大小”,那么抛物线的“开口大小”为 .
解:将解析式化为顶点式:,
,
设,,则,
由可得:
,
解得,或(不合题意,舍去),
抛物线的“开口大小”为,
故答案为:.
三、解答题(共7小题,第19-22题每题10分,第23、24每题12分,第25题14分)
19.(10分)已知:某个二次函数的一般式为:.
(1)用配方法把一般式化为顶点式,并指出该函数图象的对称轴和顶点坐标;
(2)求这个二次函数图象与轴的交点坐标.
解:(1)把二次函数的一般式改写成顶点式,
对称轴为直线,顶点坐标为;
(2)令,即,
,,
函数与轴的交点坐标为和.
20.(10分)已知:如图,是400米跑道示意图,中间的足球场是矩形,两边是全等的半圆,如果问直道的长是多少?那你大概率是知道的.可你也许不知道,这不仅是为了田径比赛的需要,还有另一个原因,等你做完本题就明白了.设直道的长为米,足球场的面积为平方米.
(1)求出关于的函数关系式(结果保留,并写出定义域;
(2)当直道为 100 米时,足球场的面积最大.
解:(1)由题意得:
;
,
;
;
(2)由(1)可得:
,
,
当直道为100米时,足球场的面积最大.
21.(10分)已知:在△中,点是边上任意一点(不与点、重合).
(1)如图1,联结, ;(用图中已有线段表示)
(2)如图2,是线段上任意一点(不与点、重合),联结、,试猜想与之比应该等于图中哪两条线段之比,并说明理由.
解:(1)如图所示,作于点,
,,
,
故答案为:;
(2),
作于点,作于点,
,,
,
由题意可得:,
△△,
,
.
22.(10分)已知:如图,在四边形中,点在边上,点在边上,且满足,.
(1)联结,如果,求证:;
(2)在(1)的条件下,如果,,那么 .(用含、的代数式表示)
【解答】(1)证明:如图所示:延长,交于点,
,
,
即:,
,,
,,
,
即:,
(2)解:,
△△,
,
即:,
,
,
,
,
△△,
,
即:,
,
故答案为:.
23.(12分)求证:三边成比例的两个三角形相似.
如图:已知在△和△中,,求证:△△.
【解答】证明:在线段(或它的延长线)上截取,过点作,交于点,如图:
,
△△,
,
,,
,,
,,
在△和△中
,
△△,
△△.
24.(12分)回顾整个初中学习函数的过程,我们都是先经历了列表、描点、连线画出函数图象,再结合函数图象研究函数性质.现给出一个全新的函数,请沿用这种学习经验完成对它的一些研究.
(1)请根据表中的数据在平面直角坐标系中画出该函数的大致图象;
(2)观察图象,研究性质:
①该函数图象关于 直线 对称;
②当随的增大而增大时,的取值范围是 ;
③请你再写出一条和①、②不同的函数性质: ;
(3)深入思考,拓展探究:
④若函数的图象与直线有4个交点,则常数的取值范围是 ;
⑤不难发现,函数的图象可通过将函数图象的某一部分沿着某条直线翻折得到(其余未翻折的剩余图象不动);进而我们尝试将该发现推广为更一般的情况,即:函数的图象可通过将函数在 的图象(填“具体哪一部分” 沿着 (填“具体哪条直线” 翻折得到(其余未翻折的剩余图象不动).
解:(1)描点、连线、画图形如下:
(2)由图象可知:
①该函数图象关于直线对称;
②满足条件的取值范围是:或;
③当或时,该函数有最小值,且最小值为0;
故答案为:①直线;②或;③当或时,该函数有最小值,且最小值为0;
(3)由图象可知:
④由表格数据可知:当时,;
满足条件的常数的取值范围是:;
⑤函数的图象可通过将函数在轴下方的图象沿着轴翻折得到,
故答案为:④;⑤轴下方,轴.
25.(14分)已知平面直角坐标系,抛物线与轴交于点和点,与轴交于点,把抛物线向下平移得到抛物线,设抛物线的顶点为,与轴交于点,直线与轴交于点.
(1)求抛物线的表达式;
(2)当点与点重合时,求平移的距离;
(3)联结,如果与互补,求点的坐标.
解:(1)抛物线经过点和点,
,
解得:,
抛物线的表达式为;
(2),
抛物线的对称轴直线,顶点为,
由题意,把抛物线向下平移得到抛物线,当点与点重合时,设平移的距离为,对称轴直线交轴于点,如图,
抛物线的表达式为,
抛物线的顶点为,,
,,
当时,,
,
,,
,,
,
,即,
解得:,
当点与点重合时,平移的距离为3;
(3)连接,过点作轴于点,交的延长线于点,过点作于,如图,
,,,对称轴为直线,
,,,,四边形是矩形,
,,,
,即,
抛物线与轴交于点和点,
当时,,
解得:或,
,
,
,
,
把抛物线向下平移得到抛物线,抛物线的顶点为,与轴交于点,
,
抛物线的对称轴与轴平行,即,
四边形是平行四边形,
,
,
,
,
,
在中,,
,
轴,
轴,
,,
,
与互补,即,
,
,
,
,
.
0
1
2
3
4
5
6
8
3.5
0
2.5
4
4.5
4
2.5
0
3.5
8
0
1
2
3
4
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2.5
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