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    2024-2025学年上海市静安区风华中学九年级(上)月考数学试卷(10月份)(含解析)

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    2024-2025学年上海市静安区风华中学九年级(上)月考数学试卷(10月份)(含解析)

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    这是一份2024-2025学年上海市静安区风华中学九年级(上)月考数学试卷(10月份)(含解析),共24页。试卷主要包含了选择题.,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    1.(4分)下列各组图形中,一定相似的是
    A.两个矩形B.两个菱形C.两个正方形D.两个等腰梯形
    2.(4分)如果抛物线经过第一、二、三象限,那么常数、的符号是
    A.,B.,C.,D.,
    3.(4分)如果用线段、、,求作线段,使,那么下列作图正确的是
    A.B.
    C.D.
    4.(4分)若抛物线,、、是常数)经过、、、四点,则
    A.B.
    C.D.与的大小关系不能确定
    5.(4分)在△中,点、分别在边、的反向延长线上,且满足,联结,那么在下列结论中,不是仅仅利用比例的相关性质就可以得到的是
    A.B.
    C.D.
    6.(4分)四边形的两条对角线相交于点,下列条件中,不一定能推得△与△相似的是
    A.B.C.D.
    二、填空题(共12小题,每题4分)
    7.(4分)如果函数是常数)是二次函数,那么的取值范围是 .
    8.(4分)抛物线与轴的交点坐标是 .
    9.(4分)已知抛物线在直线的左侧部分是下降的,那么常数的取值范围是 .
    10.(4分)抛物线向左平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的新抛物线的表达式是 .
    11.(4分)在比例尺为的图上,图上距离为8厘米的实际距离约为 千米.(用科学记数法表示)
    12.(4分)已知点把线段分割成和两段,如果是和的比例中项,那么的值等于 .
    13.(4分)在中,点、分别在线段、的延长线上,,,,,那么 .
    14.(4分)已知直角三角形的两条直角边长分别为5和12,那么这个直角三角形的重心到直角顶点的距离是 .
    15.(4分)一个直角三角形的两直角边长分别为3和6,另一个直角三角形的两直角边长分别为2和4,那么这两个直角三角形 相似.(填“一定”、“不一定”或“一定不” .
    16.(4分)如图,是的中线,是的中点,的延长线交于点,那么 .
    17.(4分)如图,在矩形中,,,点是边上一点,若与相似,则满足条件的点有 个.
    18.(4分)对于一个二次函数、、是常数)中存在一点,,使得,则称为该抛物线的“开口大小”,那么抛物线的“开口大小”为 .
    三、解答题(共7小题,第19-22题每题10分,第23、24每题12分,第25题14分)
    19.(10分)已知:某个二次函数的一般式为:.
    (1)用配方法把一般式化为顶点式,并指出该函数图象的对称轴和顶点坐标;
    (2)求这个二次函数图象与轴的交点坐标.
    20.(10分)已知:如图,是400米跑道示意图,中间的足球场是矩形,两边是全等的半圆,如果问直道的长是多少?那你大概率是知道的.可你也许不知道,这不仅是为了田径比赛的需要,还有另一个原因,等你做完本题就明白了.设直道的长为米,足球场的面积为平方米.
    (1)求出关于的函数关系式(结果保留,并写出定义域;
    (2)当直道为 米时,足球场的面积最大.
    21.(10分)已知:在△中,点是边上任意一点(不与点、重合).
    (1)如图1,联结, ;(用图中已有线段表示)
    (2)如图2,是线段上任意一点(不与点、重合),联结、,试猜想与之比应该等于图中哪两条线段之比,并说明理由.
    22.(10分)已知:如图,在四边形中,点在边上,点在边上,且满足,.
    (1)联结,如果,求证:;
    (2)在(1)的条件下,如果,,那么 .(用含、的代数式表示)
    23.(12分)求证:三边成比例的两个三角形相似.
    如图:已知在△和△中,,求证:△△.
    24.(12分)回顾整个初中学习函数的过程,我们都是先经历了列表、描点、连线画出函数图象,再结合函数图象研究函数性质.现给出一个全新的函数,请沿用这种学习经验完成对它的一些研究.
    (1)请根据表中的数据在平面直角坐标系中画出该函数的大致图象;
    (2)观察图象,研究性质:
    ①该函数图象关于 对称;
    ②当随的增大而增大时,的取值范围是 ;
    ③请你再写出一条和①、②不同的函数性质: ;
    (3)深入思考,拓展探究:
    ④若函数的图象与直线有4个交点,则常数的取值范围是 ;
    ⑤不难发现,函数的图象可通过将函数图象的某一部分沿着某条直线翻折得到(其余未翻折的剩余图象不动);进而我们尝试将该发现推广为更一般的情况,即:函数的图象可通过将函数在 的图象(填“具体哪一部分” 沿着 (填“具体哪条直线” 翻折得到(其余未翻折的剩余图象不动).
    25.(14分)已知平面直角坐标系,抛物线与轴交于点和点,与轴交于点,把抛物线向下平移得到抛物线,设抛物线的顶点为,与轴交于点,直线与轴交于点.
    (1)求抛物线的表达式;
    (2)当点与点重合时,求平移的距离;
    (3)联结,如果与互补,求点的坐标.
    参考答案
    一、选择题(共6小题,每题4分)
    1.(4分)下列各组图形中,一定相似的是
    A.两个矩形B.两个菱形C.两个正方形D.两个等腰梯形
    【解答】、两个矩形四个角相等,但是各边不一定对应成比例,所以不一定相似,故本选项错误;
    、两个菱形,形状不一定相同,故本选项错误;
    、两个正方形,形状相同,大小不一定相同,符合相似性定义,故本选项正确;
    、两个等腰梯形不一定相似,故本选项错误.
    故选:.
    2.(4分)如果抛物线经过第一、二、三象限,那么常数、的符号是
    A.,B.,C.,D.,
    解:由题意得,,
    如图所示,函数图象经过第一,二,三象限,
    抛物线开口向上,故,
    对称轴在轴的负半轴,

    故选:.
    3.(4分)如果用线段、、,求作线段,使,那么下列作图正确的是
    A.B.
    C.D.
    解:、与已知不符合,故选项不正确;
    、与已知符合,故选项正确;
    、与已知不符合,故选项不正确;
    、与已知不符合,故选项不正确;
    故选:.
    4.(4分)若抛物线,、、是常数)经过、、、四点,则
    A.B.
    C.D.与的大小关系不能确定
    解:由条件可知:抛物线的对称轴为直线,

    抛物线开口向下,离对称轴越远,函数值越小,


    故选:.
    5.(4分)在△中,点、分别在边、的反向延长线上,且满足,联结,那么在下列结论中,不是仅仅利用比例的相关性质就可以得到的是
    A.B.
    C.D.
    解:,
    ,故选项不符合题意;
    证明,还需要证明△△,不是仅仅利用比例的相关性质就可以得到,
    选项符合题意;
    ,点、分别在边、的反向延长线上,
    ,选项不符合题意;

    ,选项不符合题意.
    故选:.
    6.(4分)四边形的两条对角线相交于点,下列条件中,不一定能推得△与△相似的是
    A.B.C.D.
    解:.,

    △△,


    又,
    △△,故选项不符合题意;
    .,,
    △△,故选项不符合题意;
    .,,
    △△,故选项不符合题意;
    .条件,,无法证明△△,故选项符合题意.
    故选:.
    二、填空题(共12小题,每题4分)
    7.(4分)如果函数是常数)是二次函数,那么的取值范围是 .
    解:函数是常数)是二次函数,

    解得.
    故答案为:.
    8.(4分)抛物线与轴的交点坐标是 .
    解:令,得,
    故与轴的交点坐标是:.
    故答案为:.
    9.(4分)已知抛物线在直线的左侧部分是下降的,那么常数的取值范围是 .
    解:该函数在的左侧是下降的,
    该函数的开口向上,


    10.(4分)抛物线向左平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的新抛物线的表达式是 .
    解:抛物线向左平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的新抛物线的表达式是,
    故答案为:.
    11.(4分)在比例尺为的图上,图上距离为8厘米的实际距离约为 千米.(用科学记数法表示)
    解:根据题意,比例尺为,
    图上距离为8厘米的实际距离为:,
    千米千米.
    故答案为:.
    12.(4分)已知点把线段分割成和两段,如果是和的比例中项,那么的值等于 .
    解:点把线段分割成和两段,其中是与的比例中项,
    点是线段的黄金分割点,


    故答案为:.
    13.(4分)在中,点、分别在线段、的延长线上,,,,,那么 8 .
    解:,

    ,,,



    故答案为:8.
    14.(4分)已知直角三角形的两条直角边长分别为5和12,那么这个直角三角形的重心到直角顶点的距离是 .
    解:直角三角形的两条直角边长分别为5和12,
    斜边的长度为,
    这个直角三角形的重心到直角顶点的距离是.
    故答案为:.
    15.(4分)一个直角三角形的两直角边长分别为3和6,另一个直角三角形的两直角边长分别为2和4,那么这两个直角三角形 一定 相似.(填“一定”、“不一定”或“一定不” .
    解:一个直角三角形的两边长分别为3和6,另一个直角三角形的两边长分别为2和4,

    这两个直角三角形一定相似.
    故答案为:一定.
    16.(4分)如图,是的中线,是的中点,的延长线交于点,那么 .
    解:作交于,
    ,是的中线,

    ,是中点,



    故答案为:.
    17.(4分)如图,在矩形中,,,点是边上一点,若与相似,则满足条件的点有 3 个.
    解:设为,


    ①和是对应边时,
    与相似,

    即,
    整理得,,
    解得,,
    ②和是对应边时,
    与相似,

    即,
    解得,
    所以,当、4、时,与相似,
    满足条件的点有3个.
    故答案为:3.
    18.(4分)对于一个二次函数、、是常数)中存在一点,,使得,则称为该抛物线的“开口大小”,那么抛物线的“开口大小”为 .
    解:将解析式化为顶点式:,

    设,,则,
    由可得:

    解得,或(不合题意,舍去),
    抛物线的“开口大小”为,
    故答案为:.
    三、解答题(共7小题,第19-22题每题10分,第23、24每题12分,第25题14分)
    19.(10分)已知:某个二次函数的一般式为:.
    (1)用配方法把一般式化为顶点式,并指出该函数图象的对称轴和顶点坐标;
    (2)求这个二次函数图象与轴的交点坐标.
    解:(1)把二次函数的一般式改写成顶点式,
    对称轴为直线,顶点坐标为;
    (2)令,即,
    ,,
    函数与轴的交点坐标为和.
    20.(10分)已知:如图,是400米跑道示意图,中间的足球场是矩形,两边是全等的半圆,如果问直道的长是多少?那你大概率是知道的.可你也许不知道,这不仅是为了田径比赛的需要,还有另一个原因,等你做完本题就明白了.设直道的长为米,足球场的面积为平方米.
    (1)求出关于的函数关系式(结果保留,并写出定义域;
    (2)当直道为 100 米时,足球场的面积最大.
    解:(1)由题意得:




    (2)由(1)可得:


    当直道为100米时,足球场的面积最大.
    21.(10分)已知:在△中,点是边上任意一点(不与点、重合).
    (1)如图1,联结, ;(用图中已有线段表示)
    (2)如图2,是线段上任意一点(不与点、重合),联结、,试猜想与之比应该等于图中哪两条线段之比,并说明理由.
    解:(1)如图所示,作于点,
    ,,

    故答案为:;
    (2),
    作于点,作于点,
    ,,

    由题意可得:,
    △△,


    22.(10分)已知:如图,在四边形中,点在边上,点在边上,且满足,.
    (1)联结,如果,求证:;
    (2)在(1)的条件下,如果,,那么 .(用含、的代数式表示)
    【解答】(1)证明:如图所示:延长,交于点,


    即:,
    ,,
    ,,

    即:,
    (2)解:,
    △△,

    即:,




    △△,

    即:,

    故答案为:.
    23.(12分)求证:三边成比例的两个三角形相似.
    如图:已知在△和△中,,求证:△△.
    【解答】证明:在线段(或它的延长线)上截取,过点作,交于点,如图:

    △△,

    ,,
    ,,
    ,,
    在△和△中

    △△,
    △△.
    24.(12分)回顾整个初中学习函数的过程,我们都是先经历了列表、描点、连线画出函数图象,再结合函数图象研究函数性质.现给出一个全新的函数,请沿用这种学习经验完成对它的一些研究.
    (1)请根据表中的数据在平面直角坐标系中画出该函数的大致图象;
    (2)观察图象,研究性质:
    ①该函数图象关于 直线 对称;
    ②当随的增大而增大时,的取值范围是 ;
    ③请你再写出一条和①、②不同的函数性质: ;
    (3)深入思考,拓展探究:
    ④若函数的图象与直线有4个交点,则常数的取值范围是 ;
    ⑤不难发现,函数的图象可通过将函数图象的某一部分沿着某条直线翻折得到(其余未翻折的剩余图象不动);进而我们尝试将该发现推广为更一般的情况,即:函数的图象可通过将函数在 的图象(填“具体哪一部分” 沿着 (填“具体哪条直线” 翻折得到(其余未翻折的剩余图象不动).
    解:(1)描点、连线、画图形如下:
    (2)由图象可知:
    ①该函数图象关于直线对称;
    ②满足条件的取值范围是:或;
    ③当或时,该函数有最小值,且最小值为0;
    故答案为:①直线;②或;③当或时,该函数有最小值,且最小值为0;
    (3)由图象可知:
    ④由表格数据可知:当时,;
    满足条件的常数的取值范围是:;
    ⑤函数的图象可通过将函数在轴下方的图象沿着轴翻折得到,
    故答案为:④;⑤轴下方,轴.
    25.(14分)已知平面直角坐标系,抛物线与轴交于点和点,与轴交于点,把抛物线向下平移得到抛物线,设抛物线的顶点为,与轴交于点,直线与轴交于点.
    (1)求抛物线的表达式;
    (2)当点与点重合时,求平移的距离;
    (3)联结,如果与互补,求点的坐标.
    解:(1)抛物线经过点和点,

    解得:,
    抛物线的表达式为;
    (2),
    抛物线的对称轴直线,顶点为,
    由题意,把抛物线向下平移得到抛物线,当点与点重合时,设平移的距离为,对称轴直线交轴于点,如图,
    抛物线的表达式为,
    抛物线的顶点为,,
    ,,
    当时,,

    ,,
    ,,

    ,即,
    解得:,
    当点与点重合时,平移的距离为3;
    (3)连接,过点作轴于点,交的延长线于点,过点作于,如图,
    ,,,对称轴为直线,
    ,,,,四边形是矩形,
    ,,,
    ,即,
    抛物线与轴交于点和点,
    当时,,
    解得:或,




    把抛物线向下平移得到抛物线,抛物线的顶点为,与轴交于点,

    抛物线的对称轴与轴平行,即,
    四边形是平行四边形,





    在中,,

    轴,
    轴,
    ,,

    与互补,即,





    0
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    8
    3.5
    0
    2.5
    4
    4.5
    4
    2.5
    0
    3.5
    8
    0
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    8
    3.5
    0
    2.5
    4
    4.5
    4
    2.5
    0
    3.5
    8

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