2024--2025学年人教版九年级数学上册期末真题重组卷 （解析版）-A4

这是一份2024--2025学年人教版九年级数学上册期末真题重组卷 （解析版）-A4，共23页。试卷主要包含了 下列事件是必然事件的是等内容，欢迎下载使用。
（2023秋•上城区期末）
1. 下列事件是必然事件的是（ ）
A. 圆内接四边形对角和是
B. 九年级开展篮球赛，901班获得冠军
C. 抛掷一枚硬币，正面朝上
D. 打开电视，正好播放神舟十七号载人飞船发射实况
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【详解】A. 圆内接四边形对角和是，是必然事件，故此选项符合题意；
B. 九年级开展篮球赛，901班获得冠军，是随机事件，故此选项不符合题意；
C. 抛掷一枚硬币，正面朝上, 是随机事件，故此选项不符合题意；
D. 打开电视，正好播放神舟十七号载人飞船发射实况，是随机事件，故此选项不符合题意；
故选：A．
（2023秋•宁波期末）
2. 已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】D
【解析】
【详解】设点与圆心的距离d，已知点P在圆外，则d>r.
解：当点P是⊙O外一点时，OP>5cm，A、B、C均不符.
故选D.
“点睛”本题考查了点与圆的位置关系，确定点与圆的位置关系，就是比较点与圆心的距离化为半径的大小关系.
（2023秋•江岸区期末）
3. 将一元二次方程配方后所得的方程是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】严格按照配方法的一般步骤即可得到结果．
【详解】∵，
∴
，
∴，
故选B.
【点睛】解答本题的关键是掌握配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
（2023秋•上城区期末）
4. 某商场进行抽奖活动，每名顾客购物满元可以获得一次抽奖机会．抽奖箱中只有两种卡片：“中奖”和“谢谢惠顾”（两种卡片形状大小相同、质地均匀）．下表是活动进行中的一组统计数据：
根据频率的稳定性，估计抽奖一次就中奖的概率约是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了利用频率估计概率；
利用频率估计概率求解即可．
【详解】解：根据频率的稳定性，估计抽奖一次就中奖的概率约是，
故选：C．
（2023秋•澧县期末）
5. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律即可得出答案．
【详解】由抛物线向右平移2个单位，得：；再向上平移2个单位，得：，所以A、C、D错误；
故选B．
【点睛】本题主要考查二次函数图像的平移，熟练掌握平移方法是解题的关键．
（2023秋•上城区期末）
6. 如图，内接于，CD是的直径，连接BD，，则的度数是( )

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查同弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角等于90°；由CD是的直径，得，而，则，于是得到问题的答案．
【详解】解：是的直径，
，
，
，
故选：D．
（2023秋•上城区期末）
7. 如图，中，，将绕点A逆时针旋转α（）得到，交于点F．当时，点D恰好落在上，则（ ）
A. 80°B. 90°C. 85°D. 95°
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和等知识，掌握旋转的性质、等腰三角形的性质是解题的关键；由旋转的性质及等腰三角形的性质求得，由三角形内角和求得的度数，再由三角形内角和即可求解．
【详解】解：∵将逆时针旋转α（），得到，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
（2023秋•上城区期末）
8. 如图，是的直径，弦垂直平分，点E在上，连接．若平分，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，圆周角定理，同弧或等弧所对的圆周角相等等知识；掌握这些知识并添加必要辅助线是解题的关键；设垂直平分于点F，连接，由垂直平分线的性质得是等边三角形，由圆周角定理、同弧或等弧所对的圆周角相等可分别求得的度数，再由平分，可求得的度数，求得，最后即可求解．
【详解】解：设垂直平分于点F，连接，
∵是的直径，弦垂直平分，
∴
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴；
∵，，
∴，
∴；
∵平分，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
（2022秋•丰都县期末）
9. 二次函数图象如图所示，下列结论
①②；③m为任意实数，则；④；⑤若，且，则
其中正确的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】①根据开口方向，对称轴，与轴的交点位置，进行判断；②利用对称轴进行判断；③利用最值进行判断；④根据对称性和图象上的点，进行判断；⑤利用对称性进行判断．
【详解】解：∵抛物线开口向上，则，
∵对称轴为直线，则，
∴，故②正确
抛物线与轴交于负半轴，则，
∴，故①错误；
∵当时，取得小值，
∴，
即m为任意实数，则故③正确，
④∵抛物线关于对称，
∴和的函数值相同，
即：，
由图象知，当时，函数值大于0，
∴；故④正确；
⑤当关于对称时：即：时，
对应的函数值相同，
即：，
∴
∴若，且，则；故⑤正确；
综上所述，正确的是②③④⑤，共4个，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数之间的关系．根据图象正确的获取信息，利用二次函数的性质进行判断，是解题的关键．
二．填空题（共8小题）
（2023秋•龙马潭区期末）
10. 若点与点B关于原点对称，则点B的坐标为______________．
【答案】
【解析】
【分析】根据关于原点的对称点，横、纵坐标都变成相反数解答．
【详解】解：∵点，点A与点B关于原点对称，
∴点．
故答案为：．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟记“关于原点的对称点，横、纵坐标都变成相反数”是解题的关键．
（2023秋•上城区期末）
11. 有10张卡片，每张卡片上分别写有不同的自然数．任意抽取一张卡片，卡片上的数是的倍数的概率是______．
【答案】##
【解析】
【分析】此题考查了概率公式的应用．由有10张卡片，每张卡片上分别写有不同的从1到10的一个自然数，从中任意抽出一张卡片，卡片上的数是3的倍数的有3，6，9，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：∵有10张卡片，每张卡片上分别写有不同的从1到10的一个自然数，从中任意抽出一张卡片，卡片上的数是3的倍数的有3，6，9，
∴卡片上的数是3的倍数的概率是：，
故答案为：．
（2023秋•盘山县期末）
12. 若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了判别式与一元二次方程根的情况，熟知一元二次方程没有实数根的条件是是解题的关键．
根据一元二次方程没有实数根的条件是，代入求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程没有实数根，
∴，即，
解得．
故答案为：．
（2023秋•上城区期末）
13. 已知二次函数，则此函数的顶点坐标是______；若，当时，函数有最小值，则______．
【答案】 ①. ②. -23
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，把解析式配方解答即可求得顶点坐标；根据题意，当时，函数有最小值，得到关于的方程，解方程求得的值．
【详解】解：，
此函数的顶点坐标是，
若，当时，函数有最小值，
时，，
，
故答案为：，-23．
（2019秋•汶上县期末）
14. 如图，是的直径，弦交于点P，，则的长为___．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理，含30度直角三角形的性质，勾股定理等知识，构造辅助线利用垂径定理是解题的关键；作于H，连接，；在中，由含30度直角三角形的性质，可求得，在中，由勾股定理求得，从而可求得的长．
【详解】解：作于H，连接，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴．
故答案为：．
（2024•海淀区）
15. “青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图为该竹筒水容器的截面．已知截面的半径为，开口宽为，这个水容器所能装水的最大深度是________．
【答案】
【解析】
【分析】连接，过点O作于点D，交于点C，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，进而可得出的长．本题考查的是垂径定理的应用和勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
【详解】解：连接，过点O作于点D，交于点C，如图所示：
∵，
∴，
由题意得：，
在中，
，
∴，
即水的最大深度为，
故答案为：．
（2023秋•北流市期末）
16. 如图，在边长为2的正方形中，点E是线段上异于A，C的动点，将线段绕着点B顺时针旋转得到，连接，则的最大面积为________．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用．利用正方形的性质、旋转的性质和证明，设，则，证明，利用三角形面积公式列出二次函数，利用二次函数的性质即可求解．
【详解】解：∵四边形正方形，且边长为2，
∴，，，，
设，则，
由旋转的性质知，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴有最小值，最小值为1．
故答案为：1．
（2021秋•聊城期末）
17. 如图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2，已知其底部宽度为80米，高度为200米，则离地面150米处的水平宽度（即的长）为_____米．
【答案】40
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是明确题意，数形结合．先建立直角坐标系，再根据题意设抛物线的解析式，然后根据点在抛物线上，可求出抛物线的解析式，最后将代入求出的值，即可得到的值．
【详解】解：以底部所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面直角坐标系，
，E0,200，
设内侧抛物线解析式为，
将代入，
得：，
解得： ，
内侧抛物线的解析式为，
将代入得：，
解得：，
，，
（米），
故答案为：．
三．解答题（共9小题）
（2022秋•环江县期末）
18. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可求解．
【详解】解：，
，
解得．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
（2023秋•齐河县期末）
19. 2023年9月23日，第19届亚运会在杭州开幕，电子竞技首次成为亚运会正式比赛项目．张琪和李荷是电竞游戏的爱好者，她们相约一起去现场为中国队加油，现场的观赛区分为、、、四个区域，购票以后系统随机分配观赛区域．
（1）张琪购买门票在区观赛的概率为___________；
（2）求张琪和李荷在同一区域观看比赛的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由）
【答案】（1）
（2），见解析
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）画树状图得出所有等可能的结果数以及小明和小张在同一区域观看比赛的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【小问1详解】
由题意得，小明购买门票在区观赛的概率为．
故答案为：．
【小问2详解】
画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中小明和小张在同一区域观看比赛的结果有4种，
小明和小张在同一区域观看比赛的概率为．
（2024•海淀区）
20. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，使点在的延长线上．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角；由旋转的性质得，由等边对等角得，则有，从而得证．
【详解】解：∵绕点A逆时针旋转得到，
∴，
而点在的延长线上，，
∴，
∴，
∴．
（2023秋•江都区期末）
21. 已知关于的一元二次方程．
（1）求证：方程有两个实数根；
（2）若方程的两个根都是负根，求k的取值范围．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式及求根公式，熟练掌握一元二次方程的求根公式是解题的关键．
（）利用一元二次方程根的判别式判断即可得解；
（）先求解一元二次方程，再根据方程两个根都是负根判断的取值范围即可．
【小问1详解】
解：∵关于的一元二次方程，
∴，，，
∴，
∵不论为何值，
∴方程有两个实数根．
【小问2详解】
解：∵关于的一元二次方程中，，
∴，
∴，，
∵方程的两个根都是负根，
∴，
∴．
（2023秋•东城区期末）
22. 在平面直角坐标系中，点在抛物线上，设该抛物线的对称轴为直线．
（1）求t的值；
（2）已知，是该抛物线上的任意两点，对于，，都有，求m的取值范围．
【答案】（1）1 （2）
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题关键．
（1）根据二次函数的性质求得对称轴即可，
（2）根据题意判断出当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小；从而分为①当时，②当时，③当时，④当时，⑤当时，⑥当时，六种情况解答即可；
【小问1详解】
解：点在抛物线上，
∴对称轴为．
【小问2详解】
∵，
当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小；
①当时，
∵．
∴．
∴，符合题意；
②当时，．
当时，
∵．
∴．
∴．
当时，设关于抛物线对称轴的对称点为，
则．
∴．
∵，
∴．
∵，
当时，符合题意；
③当时，，
令，则，不符合题意；
④当时，，
令，则，
，不符合题意；
⑤当时，．
令，则．
，不符合题意；
⑥当时，，
∴，不符合题意；
综上所述，m的取值范围是
（2023秋•荔城区校级期末）
23. 如图，为的直径，点C在外，的平分线与交于点D，．
（1）与有怎样的位置关系？请说明理由；
（2）若，求的长．
【答案】（1）相切，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，只需证明即可；
（2）由（1）中的结论可得，可求得弧的圆心角度数，再利用弧长公式求得结果即可．
【小问1详解】
相切．理由如下：
连接，
∵是的平分线，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴与相切；
【小问2详解】
若，可得，
∴，
又∵，
∴，
∴的长．
【点睛】此题主要考查圆的切线的判定、等腰三角形的性质及圆周角定理的运用．一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．
（2023秋•岳阳县期末）
24. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）为求该品牌头盔销售量的月增长率，设增长率为a，依题意列方程为____________；
（2）若此种头盔的进价为30元个，测算在市场中，当售价为40元个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每涨价1元个，则月销售量将减少10个，若该品牌头盔涨价x元个，销售总利润为y，列出y与x的函数关系式．
①当x为多少时？销售总利润达到10000元．
②当x为多少时？销售总利润达到最大，求最大总利润．
【答案】（1）；
（2）①，；②当时，销售总利润达到最大，最大总利润．
【解析】
【分析】（1）设增长率为a ，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量,即可得出关于a的一元二次方程；
（2）根据月销售利润每个头盔利润月销售量,即可得出关于y的二次函数；
①令，解之取其正值即可；
②利用二次函数的最值求解即可.
【详解】解：（1）；
（2）①由题意可得：，
令，即 ，
解得，.
∴当x为10或者40时，销售总利润达到10000元；
②，
∴当时，取得最大总利润，
此时
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程、得到二次函数关系式是解题的关键.
（2023秋•楚雄市校级期末）
25. 如图，为直径，为上一点，为的中点，点在的延长线上，且．
（1）求证：为的切线；
（2）若，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、扇形的面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
（1）连接，先根据圆周角定理得出，再证明，从而得出，即可得证；
（2）连接，先利用圆心角、弧、弦的关系，得出，由圆周角定理得出，证明为等边三角形，再根据图中阴影部分的面积，计算即可得出答案．
【小问1详解】
证明：如图，连接，
，
为的直径，
，即，
，
，
，
，
，即，
，
为的半径，
为的切线；
【小问2详解】
解：如图，连接，
，
为的中点，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
图中阴影部分的面积．
（2023秋•石景山区期末）
26. 投掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一．实心球被投掷后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，实心球从出手（点处）到落地的过程中，其竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足二次函数关系．
小石进行了三次训练，每次实心球的出手点的竖直高度为．记实心球运动路线的最高点为，训练成绩（实心球落地点的水平距离）为（单位：）．训练情况如下：
根据以上信息，
（1）求第二次训练时满足的函数关系式；
（2）小石第二次训练的成绩为______；
（3）直接写出训练成绩，，的大小关系．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】（）利用待定系数法求解即可；
（）令，求出的值即可；
（）根据函数解析式分别求出三个距离，根据大小即可比较；
此题考查了二次函数的图象及性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及性质的应用．
【小问1详解】
由题意得：，
∵当时，，
∴，解得：，
∴第二次训练时满足的函数关系式为；
【小问2详解】
当时，，
解得：，（不符合题意，舍去），
小石第二次训练的成绩为，
故答案为：；
【小问3详解】
根据表格可知：，
由（）得：，
当时，，
解得：，（不符合题意，舍去）
∴，
∴．
抽奖次数
1000
抽到“中奖”卡片的次数
中奖的频率
第一次训练
第二次训练
第三次训练
训练成绩
最高点
满足的函数关系式