重庆市礼嘉中学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份重庆市礼嘉中学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷(含答案)，共12页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,,则图中阴影部分表示的集合为( )
A.B.C.D.
2．不等式的解集是( )
A.B.C.D.
3．如果函数在区间上单调递增,那么实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
4．已知,,,则a,b,c的大小关系为( )
A.B.C.D.
5．已知函数的定义域为,则函数的定义域为( )
A.B.
C.D.
6．已知函数是奇函数,且当时,,那么当时,的解析式为( )
A.B.C.D.
7．若函数是幂函数,且在上单调递增,则( )
A.B.C.2D.4
8．设,若是的最小值,则a的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．中文“函数”一词,最早是由清代数学家李善兰翻译而得,之所以这么翻译,他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者,则此为彼之函数”,也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化,下列选项中是同一个函数的是( )
A.与B.与
C.与D.与
10．已知实数a,b,c,d满足:,则下列不等式正确的是( )
A.B.C.D.
11．意大利画家达·芬奇提出:固定项链的两端,使其在重力的作用下自然下垂,那么项链所形成的曲线是什么?这就是著名的“悬链线问题”,其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数,其函数表达式为,相应的双曲正弦函数的表达式为.设函数,则( )
A.
B.函数在其定义域上是增函数
C.若实数x满足不等式,则x的取值范围是
D.函数的值域为
三、填空题
12．已知集合,则___________.
13．已知函数是偶函数,则________.
14．已知不等式对任意恒成立,则实数m的取值范围为________.
四、解答题
15．已知,集合,.
（1）若,求;
（2）若“”是“”的充分条件,求实数a的取值范围.
16．已知函数.
（1）求函数的解析式.
（2）求关于x的不等式,的解集.
17．已知函数.
（1）用定义法证明函数在区间上单调递增;
（2）若,求实数的取值范围.
18．在经济学中，函数的边际函数定义为，某公司每月最多生产10台光刻机的某种设备，生产x台（，）这种设备的收入函数为（单位千万元），其成本函数为（单位千万元）.（以下问题请注意定义域）
（1）求收入函数的最小值；
（2）求成本函数的边际函数的最大值；
（3）求生产x台光刻机这种设备的的利润的最小值.
19．对于函数,若其定义域内存在实数x满足,则称为“伪奇函数”.
（1）已知函数,试问是否为“伪奇函数”?说明理由;
（2）若幂函数使得为定义在上的“伪奇函数”,试求实数m的取值范围;
（3）是否存在实数m,使得是定义在R上的“伪奇函数”,若存在,试求实数m的取值范围;若不存在,请说明理由.
参考答案
1．答案：C
解析：由Venn图可知:阴影部分表示的集合为,
因为集合,,,可得,
所以.
故选:C.
2．答案：A
解析：对于不等式,
因为,可得,解得,
所以不等式的解集是.
故选:A.
3．答案：A
解析：开口向上,对称轴为,
要想函数在区间上单调递增,则需,解得,
故实数a的取值范围是
故选:A
4．答案：D
解析：根据指数函数性质知,即,
又因为,则.
故选:D.
5．答案：C
解析：根据题意可得,解得且.
故选：C.
6．答案：B
解析：当时,,,
因为为奇函数,所以,
故,所以.
故选:B
7．答案：D
解析：因为函数是幂函数,
所以,解得或.
又因为在上单调递增,所以,
所以,
即,
从而,
故选:D.
8．答案：A
解析：由于,则当,.由于是的最小值,
则为减区间,即有.则,恒成立.
由,当且仅当取最值,则,解得.
则a的取值范围为.
故选：A.
9．答案：BD
解析：对于选项A:因为的定义域为,的定义域为R,
两者定义域不相同,所以不是同一函数,故A错误;
对于选项B:因为,且两个函数的定义域均为R,
所以是同一个函数,故B正确;
对于选项C:因为的定义域为,的定义域为R,
两者定义域不相同,所以不是同一函数,故C错误;
对于选项D:因为,且两个函数的定义域均为R,
所以是同一个函数,故D正确;
故选:BD.
10．答案：CD
解析：对A:由,得:,故A错误;
对B:取,,,,则,且,,所以,此时B不成立;
对C:因为,,所以,故C正确;
对D:因为,所以即,故D正确.
故选:CD
11．答案：BC
解析：依题意,,
对于A,,A错误;
对于B,函数的定义域为R,显然函数在R上单调递增,
函数在R上单调递减,因此函数在R上单调递增,B正确;
对于C,显然,则不等式,
由选项B知,,解得,因此x的取值范围是,C正确;
对于D,,则,即有,因此函数的值域为,D错误.
故选:BC
12．答案：1
解析：因为,可知,
可得,则,解得,
若,则,不合题意;
若,则,符合题意;
综上所述:,.
所以.
故答案为:1.
13．答案：
解析：因为函数为偶函数,所以对,恒成立.
所以,
两边同乘以得:,
所以.
故答案为:
14．答案：
解析：因为,
令,则,
可得,
若,则,
当且仅当,即时,等号成立;
若,则;
若,则;
综上所述:,当且仅当时,等号成立,
因为不等式对任意恒成立,
可得,即,解得,
所以实数m的取值范围为.
故答案为:.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）当时,,又.
所以或.
（2）由“”是“”的充分条件,所以.
若即,则,此时;
若即,由.
综上可知:.所以实数a的取值范围为:.
16．答案：（1）
（2）答案见详解
解析：（1）因为,
所以.
（2）因为,即,
整理可得,
令,解得或,
若,不等式解集为;
若,不等式解集为;
若,不等式解集为.
17．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）设,
则
,
因为,所以,,,
所以,故
即.
所以函数在区间上单调递增.
（2）因为函数在区间上单调递增.
所以.
所以实数a的取值范围是:.
18．答案：（1）48千万元；
（2）；
（3）（千万元）
解析：（1），，.
，当且仅当，即时等号成立.
当时，（千万元）.
（2），，.
，，.
由函数单调性可知：在，单调递增，
当时，.
（3），
，，.
当时，即，解得或，
当或时，（千万元）.
19．答案：（1）不是;
（2）;
（3）.
解析：（1）假设为“伪奇函数”,存在x满足,
有解,化为,无解,
不是“伪奇函数”;
（2）为幂函数,,,
,
为定义在的“伪奇函数”,
在上有解,
在上有解,
令,在上有解,
又对勾函数在上单调递减,在上单调递增,
且时,,时,,
,,的值域为,
,;
（3）设存在m满足,即在R上有解,
在R上有解,
在R上有解,
令,取等号时,
在上有解,
在上有解（*）,
,解得,
记,且对称轴,
当时,在上递增,
若（*）有解,则,,
当时,在上递减,在上递增,
若（*）有解,则,即,此式恒成立,,
综上可知,.