北京交通大学附属中学2024-2025学年高一上学期期中练习数学试题

这是一份北京交通大学附属中学2024-2025学年高一上学期期中练习数学试题，共19页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
1．（4分）集合P＝{x∈Z|0≤x＜3}，M＝{x∈Z|x2＜9}，则P∩M＝（ ）
A．{1，2}B．{0，1，2}C．{x|0≤x＜3}D．{x|0≤x≤3}
2．（4分）下列函数中，是偶函数且不存在零点的是（ ）
A．y＝x2B．C．y＝x4（x＞0）D．y＝|x|+1
3．（4分）定义在R上的函数f（x），对任意x1，x2∈R（x1≠x2），有＜0，则（ ）
A．f（3）＜f（2）＜f（1）B．f（1）＜f（2）＜f（3）
C．f（2）＜f（1）＜f（3）D．f（3）＜f（1）＜f（2）
4．（4分）已知命题p：∃x0∈R，x+2x0+a≤0是假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，1]B．[1，+∞）C．（﹣∞，1）D．（1，+∞）
5．（4分）关于函数，下列说法不正确的是（ ）
A．（x）有且仅有一个零点
B．f（x）在（﹣∞，1），（1，+∞）上单调递减
C．f（x）的定义域为{x|x≠1}
D．f（x）的图象关于点（1，0）对称
6．（4分）若关于x的不等式ax﹣b＞0的解集为{x|x＞1}，则关于x的不等式的解集为（ ）
A．{x|x＜﹣2，或x＞1}B．{x|1＜x＜2}
C．{x|x＜﹣1，或x＞2}D．{x|﹣2＜x＜﹣1}
7．（4分）如果a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，那么下列选项中不一定成立的是（ ）
A．ab＞acB．c（b﹣a）＞0C．cb2＜ab2D．ac（a﹣c）＜0
8．（4分）已知a，b∈R，则“”是“a＞b”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
9．（4分）已知函数y＝f（x）是定义在R上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，若不等式f（a）≥f（x）对任意x∈[1，2]恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，1]B．[﹣1，1]C．（﹣∞，2]D．[﹣2，2]
10．（4分）函数，其中P，M为实数集R的两个非空子集．又规定f（P）＝{y|y＝f（x），x∈P），f（M）＝{y|y＝f（x），x∈M}．下列四个判断其中正确的是（ ）
①若P∩M＝∅，则f（P）∩f（M）＝∅；
②若P∩M≠∅，则f（P）∩f（M）≠∅；
③若P∪M＝R，则f（P）∪f（M）＝R；
④若P∪M≠R，则f（P）∪f（M）≠R．
A．①③B．②③C．②④D．①④
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上）
11．（5分）已知集合A＝{1，2}，B＝{a，a2+3}．若A∩B＝{1}，则实数a的值为 ．
12．（5分）函数f（x）＝的定义域为 ．
13．（5分）设x1，x2是方程3x2﹣2x﹣4＝0的两根，不解方程，求下列各式的值：
（1）＝ ；
（2）+＝ ．
14．（5分）设函数f（x）＝若f（x）存在最小值，则a的一个取值为 ；a的最大值为 ．
15．（5分）设A是非空数集，若对任意x，y∈A，都有x+y∈A、xy∈A，则称A具有性质P，给出以下命题：
①若A具有性质P，则A可以是有限集；
②若A具有性质P，且A≠R，则∁RA具有性质P；
③若A1、A2具有性质P，且A1∩A2≠∅，则A1∩A2具有性质P；
④若A1、A2具有性质P，则A1∪A2具有性质P．
其中所有真命题的序号是 ．
三、解答题（本大题共5小题，共55分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣4x+3≤0}，B＝{x|x﹣3|＜1}，C＝{x|2a≤x≤a+2，a∈R}．
（Ⅰ）集合A＝_____；B＝_____；A∩B＝_____；A∪（∁UB）＝_____；
（Ⅱ）若B∪C＝B，求a的取值范围；
（Ⅲ）若A∩C≠∅，求a的取值范围．
17．已知函数f（x）＝，f（x）为R上的奇函数且f（1）＝．
（1）求a，b；
（2）判断f（x）在[1，+∞）上的单调性并证明；
（3）当x∈[﹣4，﹣1]时，求f（x）的最大值和最小值．
18．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f（x）＝x2+2x．
（Ⅰ）求出当x＞0时，f（x）的解析式；
（Ⅱ）如图，请补出函数f（x）的完整图象，根据图象直接写出函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅲ）结合函数图象，讨论函数f（x）在[﹣3，a]上的值域．
19．近年来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力．某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格P（单位：元）与时间x（单位：天）的函数关系近似满足P（x）＝10+（k为常数，且k＞0，1≤x≤30，x∈N+），日销售量Q（单位：件）与时间x（单位：天）的部分数据如表所示：
已知第10天的日销售收入为505元．
给出以下三个函数模型：
①Q（x）＝ax+b；②Q（x）＝a|x﹣m|+b；③Q（x）＝a﹣bx．
（Ⅰ）请你根据表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量Q（x）与时间x的变化关系，并求出该函数的解析式；
（Ⅱ）设该工艺品的日销售收入为f（x）（单位：元），求f（x）的解析式．
（Ⅲ）该工艺品的日销售收入哪天最低？最低收入是多少？
20．对于正整数集合A＝{a1，a2，…，an}（n∈N*，n≥3），如果去掉其中任意一个元素ai（i＝1，2，…，n）之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A具有可分性．
（Ⅰ）分别判断集合{1，2，3，4}，{1，2，3，4，5}是否具有可分性，并说明理由；
（Ⅱ）判断是否存在五个元素的集合具有可分性，并说明理由．
（Ⅲ）若集合A具有可分性，求集合A中元素个数的最小值．
2024-2025学年北京交大附中高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
1．（4分）集合P＝{x∈Z|0≤x＜3}，M＝{x∈Z|x2＜9}，则P∩M＝（ ）
A．{1，2}B．{0，1，2}C．{x|0≤x＜3}D．{x|0≤x≤3}
【答案】B
【分析】由题意集合P＝{x∈Z|0≤x＜3}，M＝{x∈Z|x2＜9}，分别解出集合P，M，从而求出P∩M．
【解答】解：∵集合P＝{x∈Z|0≤x＜3}，
∴P＝{0，1，2}，
∵M＝{x∈Z|x2＜9}，
∴M＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，
∴P∩M＝{0，1，2}，
故选：B．
2．（4分）下列函数中，是偶函数且不存在零点的是（ ）
A．y＝x2B．C．y＝x4（x＞0）D．y＝|x|+1
【答案】D
【分析】判断函数的奇偶性以及函数的零点，判断选项即可．
【解答】解：y＝x2，函数是偶函数，存在零点，所以A不正确；
y＝，不是偶函数，所以B不正确；
y＝x4（x＞0），不是偶函数，所以C不正确；
y＝|x|+1是偶函数，没有零点，所以D正确．
故选：D．
3．（4分）定义在R上的函数f（x），对任意x1，x2∈R（x1≠x2），有＜0，则（ ）
A．f（3）＜f（2）＜f（1）B．f（1）＜f（2）＜f（3）
C．f（2）＜f（1）＜f（3）D．f（3）＜f（1）＜f（2）
【答案】A
【分析】由题意函数的单调性，得出结论．
【解答】解：定义在R上的函数f（x），对任意x1，x2∈R（x1≠x2），有＜0，则函数f（x）在R上单调递减，
∵1＜2＜3，∴f（3）＜f（2）＜f（1），
故选：A．
4．（4分）已知命题p：∃x0∈R，x+2x0+a≤0是假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，1]B．[1，+∞）C．（﹣∞，1）D．（1，+∞）
【答案】D
【分析】由题意得x2+2x+a＞0恒成立，然后结合二次函数的性质可求．
【解答】解：因为p：∃x0∈R，x+2x0+a≤0是假命题，
故x∈R，x2+2x+a＞0恒成立，
所以4﹣4a＜0，
所以a＞1．
故选：D．
5．（4分）关于函数，下列说法不正确的是（ ）
A．（x）有且仅有一个零点
B．f（x）在（﹣∞，1），（1，+∞）上单调递减
C．f（x）的定义域为{x|x≠1}
D．f（x）的图象关于点（1，0）对称
【答案】D
【分析】求解零点判断A；化简函数的解析式，判断函数的单调性，判断B；求解定义域判断C；判断对称性，判断D．
【解答】解：函数，令f（x）＝0，可知x＝﹣，函数值域一个零点，所以A正确；
函数＝3+，可知函数在（﹣∞，1），（1，+∞）上单调递减；所以B正确；
函数关于点（1，3）对称，所以D不正确．
f（x）的定义域为{x|x≠1}，所以C正确．
故选：D．
6．（4分）若关于x的不等式ax﹣b＞0的解集为{x|x＞1}，则关于x的不等式的解集为（ ）
A．{x|x＜﹣2，或x＞1}B．{x|1＜x＜2}
C．{x|x＜﹣1，或x＞2}D．{x|﹣2＜x＜﹣1}
【答案】C
【分析】由已知结合分式不等式的求法即可求解．
【解答】解：关于x的不等式ax﹣b＞0的解集为{x|x＞1}，则a＝b＞0，
关于x的不等式可化为＞0，
即＞0，
解得x＞2或x＜﹣1．
故选：C．
7．（4分）如果a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，那么下列选项中不一定成立的是（ ）
A．ab＞acB．c（b﹣a）＞0C．cb2＜ab2D．ac（a﹣c）＜0
【答案】C
【分析】本题根据c＜b＜a，可以得到b﹣a与a﹣c的符号，当a＞0时，则A成立，c＜0时，B成立，又根据ac＜0，得到D成立，当b＝0时，C不一定成立．
【解答】解：对于A，∵c＜b＜a且ac＜0，
∴则a＞0，c＜0，
必有ab＞ac，
故A一定成立，
对于B，∵c＜b＜a，
∴b﹣a＜0，
又由c＜0，则有c（b﹣a）＞0，故B一定成立，
对于C，当b＝0时，cb2＜ab2不成立，
当b≠0时，cb2＜ab2成立，
故C不一定成立，
对于D，∵c＜b＜a且ac＜0，
∴a﹣c＞0，
∴ac（a﹣c）＜0，故D一定成立，
故选：C．
8．（4分）已知a，b∈R，则“”是“a＞b”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】根据题意作差可得，由此结合充要条件的定义，判断出正确答案．
【解答】解：由，可得：
若，则，当ab＜0时，b＞a，故不能推出a＞b；
若a＞b，则当ab＜0时，＞0，可得，也不能推出．
综上所述，“”是“a＞b”的既不充分也不必要条件．
故选：D．
9．（4分）已知函数y＝f（x）是定义在R上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，若不等式f（a）≥f（x）对任意x∈[1，2]恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，1]B．[﹣1，1]C．（﹣∞，2]D．[﹣2，2]
【答案】B
【分析】偶函数f（x）在[0，+∞）上是减函数，则不等式f（a）≥f（x）对任意x∈[1，2]恒成立，即不等式f（|a|）≥f（|x|）对任意x∈[1，2]恒成立，即可得到答案．
【解答】解：由题意，偶函数f（x）在[0，+∞）上是减函数，
则不等式f（a）≥f（x）对任意x∈[1，2]恒成立，即不等式f（|a|）≥f（|x|）对任意x∈[1，2]恒成立，
∴|a|≤|x|对任意x∈[1，2]恒成立，
∴|a|≤1，则﹣1≤a≤1
故选：B．
10．（4分）函数，其中P，M为实数集R的两个非空子集．又规定f（P）＝{y|y＝f（x），x∈P），f（M）＝{y|y＝f（x），x∈M}．下列四个判断其中正确的是（ ）
①若P∩M＝∅，则f（P）∩f（M）＝∅；
②若P∩M≠∅，则f（P）∩f（M）≠∅；
③若P∪M＝R，则f（P）∪f（M）＝R；
④若P∪M≠R，则f（P）∪f（M）≠R．
A．①③B．②③C．②④D．①④
【答案】C
【分析】通过取特殊集合分析①③；先分析P∩M的结果，根据结果判断②；先考虑0∉（P∪M）的情况，然后分析0的唯一性，由此判断④．
【解答】解：对于①：若P＝{1}，M＝{﹣1}，满足P∩M＝∅，
此时f（P）＝{1}，f（M）＝{1}，f（P）∩f（M）＝{1}≠∅，故错误；
对于②：若P∩M≠∅，则由函数定义可知x＝﹣x，即x＝0，所以P∩M＝{0}，
则0∈[f（P）∩f（M）]，所以f（P）∩f（M）≠∅，故正确；
对于③：若P＝[0，+∞），M＝（﹣∞，0]，满足P∪M＝R，
此时f（P）＝[0，+∞），f（M）＝[0，+∞），f（P）∩f（M）≠∅，故错误；
对于④：若0∉（P∪M），则0∉[f（P）∪f（M）]，f（P）∪f（M）≠R；
若∃x0∉（P∪M），x0≠0，假设[f（P）∪f（M）]＝R，
则x0∉P，x0∉M，所以x0∉f（P），﹣x0∉f（M），
所以﹣x0∈f（P），x0∈f（M），所以﹣x0∈P，﹣x0∈M，﹣x0∈（M∩P），
这显然与P∩M＝{0}矛盾，所以假设不成立，
所以若P∪M≠R，则f（P）∪f（M）≠R，故正确．
故选：C．
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上）
11．（5分）已知集合A＝{1，2}，B＝{a，a2+3}．若A∩B＝{1}，则实数a的值为 1 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用交集定义直接求解．
【解答】解：∵集合A＝{1，2}，B＝{a，a2+3}．A∩B＝{1}，
∴a＝1或a2+3＝1，
当a＝1时，A＝{1，2}，B＝{1，4}，成立；
a2+3＝1无解．
综上，a＝1．
故答案为：1．
12．（5分）函数f（x）＝的定义域为 [3，4）∪（4，+∞） ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据函数的解析式有意义，可得，从而解出x的取值范围，得到函数的定义域．
【解答】解：由题意可知，，
解得：x≥3，且x≠4，
∴函数f（x）的定义域为[3，4）∪（4，+∞），
故答案为：[3，4）∪（4，+∞）．
13．（5分）设x1，x2是方程3x2﹣2x﹣4＝0的两根，不解方程，求下列各式的值：
（1）＝ ；
（2）+＝ ．
【答案】；．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可解．
【解答】解：设x1，x2是方程3x2﹣2x﹣4＝0的两根，
则x1+x2＝，x1x2＝，
（1）＝＝＝；
（2）+＝（x1+x2）[﹣3x1x2]＝（）＝．
故答案为：；．
14．（5分）设函数f（x）＝若f（x）存在最小值，则a的一个取值为 0 ；a的最大值为 1 ．
【答案】0，1．
【分析】对函数f（x）分段函数的分界点进行分类讨论，研究其不同图像时函数取最小值时a的范围即可．
【解答】解：当a＜0时，函数f（x）图像如图所示，不满足题意，
当a＝0时，函数f（x）图像如图所示，满足题意；
当0＜a＜2时，函数f（x）图像如图所示，要使得函数有最小值，需满足﹣a2+1≥0，解得：0＜a≤1；
当a＝2时，函数f（x）图像如图所示，不满足题意，
当a＞2时，函数f（x）图像如图所示，要使得函数f（x）有最小值，需（a﹣2）2≤﹣a2+1，无解，故不满足题意；
综上所述：a的取值范围是[0，1]，
故答案为：0，1．
15．（5分）设A是非空数集，若对任意x，y∈A，都有x+y∈A、xy∈A，则称A具有性质P，给出以下命题：
①若A具有性质P，则A可以是有限集；
②若A具有性质P，且A≠R，则∁RA具有性质P；
③若A1、A2具有性质P，且A1∩A2≠∅，则A1∩A2具有性质P；
④若A1、A2具有性质P，则A1∪A2具有性质P．
其中所有真命题的序号是 ①③ ．
【答案】①③．
【分析】举特例判断①；利用性质P的定义证明③即可；举反例说④错误；利用反证法判断②，元素0是关键．
【解答】解：设A是非空数集，若对任意x，y∈A，都有x+y∈A、xy∈A，则称A具有性质P，
对于①，取集合A＝{0，1}具有性质P，故A可以是有限集，故①正确；
对于③，取x，y∈A1∩A2，则x∈A1，x∈A2，y∈A1，y∈A2，又A1，A2具有性质P，∴x+y∈A1，xy∈A1，x+y∈A2，xy∈A2，∴x+y∈A1∩A2，xy∈A1∩A2，所以A1∩A2具有性质P，故③正确；
对于④，取A1＝{x|x＝2k，k∈Z}，A2＝{x|x＝3k，k∈Z}，2∈A1，3∈A2，但2+3∉A1∪A2，故④错误；
对于②，若A具有性质P，且A≠R，假设∁RA也具有性质P，
设0∈A，在∁RA中任取一个x，x≠0，此时可证得﹣x∈A，否则若﹣x∈∁RA，由于∁RA也具有性质P，则x+（﹣x）＝0∈∁RA，与0∈A矛盾，故﹣x∈A，
由于A具有性质P，∁RA也具有性质P，
所以（﹣x）2∈A，x2∈∁RA，
而（﹣x）2＝x2，这与A∩∁RA＝∅矛盾，
故当0∈A且A具有性质P时，则∁RA不具有性质P，
同理当0∈∁RA时，也可以类似推出矛盾，故②错误．
故答案为：①③．
三、解答题（本大题共5小题，共55分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣4x+3≤0}，B＝{x|x﹣3|＜1}，C＝{x|2a≤x≤a+2，a∈R}．
（Ⅰ）集合A＝_____；B＝_____；A∩B＝_____；A∪（∁UB）＝_____；
（Ⅱ）若B∪C＝B，求a的取值范围；
（Ⅲ）若A∩C≠∅，求a的取值范围．
【答案】（Ⅰ）A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2＜x＜4}，
A∩B＝{x|2＜x≤3}，A∪（∁UB）＝{x|x≤3或x≥4}；
（Ⅱ）（1，2）∪（2，+∞）；
（Ⅲ）[﹣1，]．
【分析】（Ⅰ）先求出集合A，B，再利用集合的基本运算求解；
（Ⅱ）由B∪C＝B可得C⊆B，分C＝∅和C≠∅两种情况讨论，分别求出a的取值范围，最后取并集即可；
（Ⅲ）先求出A∩C＝∅时a的取值范围，再取补集即可．
【解答】解：（Ⅰ）集合A＝{x|x2﹣4x+3≤0}＝{x|1≤x≤3}，B＝{x||x﹣3|＜1}＝{x|2＜x＜4}，
∴A∩B＝{x|2＜x≤3}，∁UB＝{x|x≤2或x≥4}，
∴A∪（∁UB）＝{x|x≤3或x≥4}；
（Ⅱ）∵B∪C＝B，∴C⊆B，
①当C＝∅时，2a＞a+2，∴a＞2，
②当C≠∅时，则，
解得1＜a＜2，
综上所述，a的取值范围为（1，2）∪（2，+∞）；
（Ⅲ）若A∩C＝∅，
①当C＝∅时，2a＞a+2，∴a＞2，
②当C≠∅时，或，
∴a＜﹣1或＜a≤2，
综上所述，若A∩C＝∅，则a的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（，+∞），
故A∩C≠∅，则a的取值范围[﹣1，]．
17．已知函数f（x）＝，f（x）为R上的奇函数且f（1）＝．
（1）求a，b；
（2）判断f（x）在[1，+∞）上的单调性并证明；
（3）当x∈[﹣4，﹣1]时，求f（x）的最大值和最小值．
【答案】（1）a＝1，b＝0；
（2）f（x）在[1，+∞）上为减函数，证明见解析；
（3）．
【分析】（1）根据题意，由奇函数的定义可得f（﹣x）＝﹣f（x），变形可得b＝0，又由f（1）＝，即可得a的值，
（2）根据题意，设1≤x1＜x2，由作差法利用函数单调性的定义分析可得结论．
（3）根据题意，由函数的单调性，分析可得f（x）在x∈[﹣4，﹣1]上的最小值为f（﹣1）、最大值为f（﹣4），结合解析式计算可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）＝，f（x）为R上的奇函数，
则f（﹣x）＝﹣f（x），即＝﹣，变形可得b＝0，
又由f（1）＝＝，则a＝1；
（2）由（1）的结论，f（x）＝，在区间[1，+∞）上单调递减，
证明如下：设1≤x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2）＝＝，
又由1≤x1＜x2，则（x2﹣x1）＞0，（x1x2﹣1）＞0，
则f（x1）﹣f（x2）＞0，
故f（x）在[1，+∞）上单调单调递减．
（3）根据题意，由（2）的结论以及函数是奇函数，可知f（x）＝在[﹣4，﹣1]上递减，
则f（x）在[﹣4，﹣1]上的最大值为f（﹣4）＝﹣，最小值为f（﹣1）＝﹣．
18．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f（x）＝x2+2x．
（Ⅰ）求出当x＞0时，f（x）的解析式；
（Ⅱ）如图，请补出函数f（x）的完整图象，根据图象直接写出函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅲ）结合函数图象，讨论函数f（x）在[﹣3，a]上的值域．
【答案】（Ⅰ）f（x）＝﹣x2+2x；
（Ⅱ）函数f（x）的图象如下：
观察图象，得函数f（x）的单调递减区间为：（﹣∞，﹣1]，[1，+∞）；
（Ⅲ）当﹣3＜a≤﹣1时，f（x）的值域为[a2+2a，3]；当﹣1≤a≤1时，f（x）的值域为[﹣1，3]；当a时，
f（x）的值域为[﹣a2+2a，3]．
【分析】（Ⅰ）由奇函数的定义求出解析式作答．
（Ⅱ）由奇函数的图象特征，补全函数f（x）的图象，并求出单调增区间作答．
（Ⅲ）利用图象，分类讨论，求解值域即可．
【解答】解：（Ⅰ）依题意，设x＞0，则﹣x＜0，
于是f（﹣x）＝（﹣x）2﹣2x＝x2﹣2x，
因为f（x）为R上的奇函数，因此f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣x2+2x，
所以当x＞0时，f（x）的解析式f（x）＝﹣x2+2x；
（Ⅱ）由已知及（1）得函数f（x）的图象如下：
观察图象，得函数f（x）的单调递减区间为：（﹣∞，﹣1]，[1，+∞）；
（Ⅲ）由（1）可知，f（x）＝，
显然当x＝﹣1时，f（x）＝﹣1，
当x＞0时，令f（x）＝﹣1得，﹣x2+2x＝﹣1，
解得x＝1+或1﹣（舍去），
当﹣3＜a≤﹣1时，f（x）在[﹣3，a]上单调递减，
所以f（x）max＝f（﹣3）＝3，f（x）min＝f（a）＝a2+2a，
所以f（x）的值域为[a2+2a，3]；
当﹣1≤a≤1时，
f（x）max＝f（﹣3）＝3，f（x）min＝﹣1，
所以f（x）的值域为[﹣1，3]；
当a时，
f（x）max＝f（﹣3）＝3，f（x）min＝f（a）＝﹣a2+2a，
所以f（x）的值域为[﹣a2+2a，3]，
综上所述，当﹣3＜a≤﹣1时，f（x）的值域为[a2+2a，3]；当﹣1≤a≤1时，f（x）的值域为[﹣1，3]；当a时，
f（x）的值域为[﹣a2+2a，3]．
19．近年来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力．某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格P（单位：元）与时间x（单位：天）的函数关系近似满足P（x）＝10+（k为常数，且k＞0，1≤x≤30，x∈N+），日销售量Q（单位：件）与时间x（单位：天）的部分数据如表所示：
已知第10天的日销售收入为505元．
给出以下三个函数模型：
①Q（x）＝ax+b；②Q（x）＝a|x﹣m|+b；③Q（x）＝a﹣bx．
（Ⅰ）请你根据表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量Q（x）与时间x的变化关系，并求出该函数的解析式；
（Ⅱ）设该工艺品的日销售收入为f（x）（单位：元），求f（x）的解析式．
（Ⅲ）该工艺品的日销售收入哪天最低？最低收入是多少？
【答案】（Ⅰ）Q（x）＝﹣|x﹣20|+60（1≤x≤30，x∈N*）；
（Ⅱ）f（x）＝，x∈N*；
（Ⅲ）该工艺品的日销售收入第2天最低，最低收入是441．
【分析】（Ⅰ）根据题意易得选择函数模型②，从而再根据题意建立方程，即可求解；
（Ⅱ）f（x）＝P（x）•Q（x），从而可求f（x）的解析式；
（Ⅲ）利用基本不等式及函数单调性，即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）由表格中的数据知，当时间x变长时，Q（x）先增后减，①③函数模型都描述的是单调函数，不符合该数据模型，
所以选择函数模型②：Q（x）＝a|x﹣m|+b，
由Q（15）＝Q（25），
可得|15﹣m|＝|25﹣m|，解得m＝20，
因为，解得，
则日销售量Q（x）与时间x的关系式为Q（x）＝﹣|x﹣20|+60（1≤x≤30，x∈N*）；
（Ⅱ）因为第10天的日销售收入为505元，
则，解得k＝1，所以，
由（1）知Q（x）＝﹣|x﹣20|+60＝，x∈N*，
则f（x）＝P（x）•Q（x）
＝，x∈N*；
（Ⅲ）当1≤x≤20，x∈N′时，，
当且仅当，即x＝2时，等号成立；
当20＜x≤30，x∈N时，单调递减，
所以函数的最小值为f（30）＝499+，
综上可得，当x＝2时，函数f（x）取得最小值441，
所以该工艺品的日销售收入第2天最低，最低收入是441．
20．对于正整数集合A＝{a1，a2，…，an}（n∈N*，n≥3），如果去掉其中任意一个元素ai（i＝1，2，…，n）之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A具有可分性．
（Ⅰ）分别判断集合{1，2，3，4}，{1，2，3，4，5}是否具有可分性，并说明理由；
（Ⅱ）判断是否存在五个元素的集合具有可分性，并说明理由．
（Ⅲ）若集合A具有可分性，求集合A中元素个数的最小值．
【答案】（1）集合{1，2，3，4}不具有可分性，集合{1，2，3，4，5}不具有可分性，理由见解析；（2）不存在，理由见解析；（3）7．
【分析】（1）若集合具有可分性，则去掉任意元素之后，剩余元素之和必为偶数，由此可以快速判断（1）中两个集合不具有可分性；
（2）存在性问题，可先假设存在满足要求的五元集合，再根据新定义进行检验；
（3）根据新定义，设，则容易发现M﹣ai为偶数，若n为偶数，则可进一步得到ai为偶数，ai为4的倍数，ai为8的倍数，……，从而得出矛盾，n必为奇数，易知n＝3不符合，由（2）知n＝5不符合要求，构造出符合要求的7元集合即可说明n的最小值为7．
【解答】解：（1）对于集合{1，2，3，4}，去掉1时，剩下三个元素之和为9，不是偶数，矛盾，故集合{1，2，3，4}不具有可分性，
对于集合{1，2，3，4，5}，去掉2时，剩下四个元素之和为13，不是偶数，矛盾，故集合{1，2，3，4，5}不具有可分性；
（2）不存在，理由如下：
假设存在满足要求的五元集A＝{a1，a2，a3，a4，a5}，其中a1＜a2＜a3＜a4＜a5，
则去掉a1时，可能的情况为a2+a3+a4＝a5或a2+a5＝a3+a4，
若a2+a3+a4＝a5，则去掉a2时，a1+a3+a4＜a5，不能分成两个集合，且两个集合的元素之和相等，
若a2+a5＝a3+a4，则去掉a2时，a1+a5＜a3+a4，a1+a3+a4＞a5，不能分成两个集合，且两个集合的元素之和相等，
故假设不成立，即不存在五元集合具有可分性；
（3）先证明若集合A具有可分性，则集合A的元素个数n为奇数，
否则n为偶数，记，则M﹣ai为偶数，所以为偶数，所以M为偶数，ai为偶数，
所以是一系列偶数的和，也为偶数，所以则M﹣ai为4的倍数，所以为4的倍数，所以M为4的倍数，ai为4的倍数，
所以是一系列4的倍数的和，也为4的倍数，所以则M﹣ai为8的倍数，所以为8的倍数，所以M为8的倍数，ai为8的倍数，
………，
依次类推下去，可得ai为2k（k∈N*）的倍数，显然矛盾，故假设不成立，n为奇数，证毕．
又容易检验n＝3时，集合A不可分，由（2）知n＝5时，集合A也不可分，所以n≥7，
当n＝7时，取A＝{1，3，5，7，9，11，13}，
划去1时，3+5+7+9＝11+13；
划去3时，1+9+13＝5+7+11；
划去5时，9+13＝1+3+7+11；
划去7时，3+5+13＝1+9+11；
划去9时，7+13＝1+3+5+11；
划去11时，3+7+9＝1+5+13；
划去13时，7+11＝1+3+5+9，
即A具有可分性，
综上可知，集合A中元素个数的最小值为7x
10
15
20
25
30
2（x）
50
55
60
55
50
x
10
15
20
25
30
2（x）
50
55
60
55
50