2024-2025学年北京市朝阳区对外经贸易大学附属中学高一（上）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年北京市朝阳区对外经贸易大学附属中学高一（上）期中数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x|x2f( 2)
C. f(−π)>f( 2)>f(−1)D. f(−1)>f( 2)>f(−π)
7.已知a=1.60.3，b=1.60.8，c=0.70.8，则( )
A. cc
8.设已知函数f(x)如下表所示：则不等式f[f(x)]≥0的解集为( )
A. {1,2,0}B. {−1,−2,0}C. {1,2}D. {−1,−2}
9.已知函数f(x)=−x2−ax−5,x≤1ax,x>1是R上的增函数，则a的取值范围是( )
A. (−∞,−2)B. (−∞,0)C. (−3,−2]D. [−3,−2]
10.已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足：∀x1，x2∈(0,+∞)，当x1≠x2时，有x1f(x1)−x2f(x2)x1−x2>0，则称函数f(x)为“理想函数”.根据此定义，下列函数为“理想函数”的是( )
A. f(x)=−1B. f(x)=1x2C. f(x)=x−1D. f(x)=x−1x
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.若命题p：∃x∈Q，x21，则x+3x−1的最小值为______，此时x的值为______．
14.已知函数f(x)=lg2x(x>0)(12)x(x≤0)，若f(a)=4，则a= ．
15.设A，B为两个非空有限集合，定义J(A,B)=1−|A∩B||A∪B|其中|S|表示集合S的元素个数.某学校甲、乙、丙、丁四名同学从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门高中学业水平等级性考试科目中自主选择3门参加考试，设这四名同学的选考科目组成的集合分别为S1，S2，S3，S4.已知S1={物理，化学，生物}，S2={地理，物理，化学}，S3={思想政治，历史，地理}，给出下列四个结论：
①若J(S2,S4)=1，则S4={思想政治，历史，生物}；
②若J(S1,S2)=J(S1,S4)，则S4={地理，物理，化学}；
③若S4={思想政治，物理，生物}，则J(S1,S4)J(S2,S4)=J(S3,S4)，则S4={思想政治，地理，化学}．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
已知集合A={x|x2−3x>0}，B={x|x−1x+20且a≠1)．
(1)求f(0)；
(2)判断f(x)的奇偶性，并用定义证明；
(3)02x+2m+1恒成立，试确定实数m的取值范围．
21.(本小题12分)
欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，例如，欧拉引入倒函数的定义：对于函数y=f(x)，如果对于其定义域D中任意给定的实数x，都有−x∈D，并且f(x)⋅f(−x)=1，就称函数y=f(x)为倒函数．
(1)已知f(x)=2x，g(x)=1+x1−x，判断y=f(x)和y=g(x)是不是倒函数，并说明理由；
(2)若y=f(x)是R上的倒函数，其函数值恒大于0，且在R上是严格增函数.记F(x)=[f(x)]2−1f(x)，证明：x1+x2>0是F(x1)+F(x2)>0的充要条件．
参考答案
1.D
2.C
3.B
4.D
5.B
6.D
7.A
8.A
9.D
10.D
11.∀x∈Q，x2≥3
12.(−∞,−1)
13.1+2 3 1+ 3
14.−2或16
15.①③
16.解：(1)A={x|x2−3x>0}={x|x>3或x0，f(x2)−f(−x1)>0，故F(x1)+F(x2)>0．
必要性：当F(x1)+F(x2)>0时，
有f(x1)−1f(x1)+f(x2)−1f(x2)=f(x1)+f(x2)−f(x1)+f(x2)f(x1)f(x2)
=[f(x1)+f(x2)]⋅f(x1)f(x2)−1f(x1)f(x2)>0，
又f(x)恒大于0，所以f(x1)f(x2)>1=f(x1)f(−x1)，
因为f(x1)>0，所以f(x2)>f(−x1)，
因为f(x)在R上是严格增函数．所以x2>−x1，即有x1+x2>0成立．
综上所述：x1+x2>0是F(x1)+F(x2)>0的充要条件． x
−2
−1
0
1
2
f(x)
2
1
0
−1
−2