北京市房山区2024-2025学年高三(上)期中考试数学试题(解析版)

这是一份北京市房山区2024-2025学年高三(上)期中考试数学试题(解析版)，共20页。
1. 已知集合或，集合，则为（ ）
A B. 或x≥4
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用交集的运算求解.
【详解】因为集合或，集合，
所以，
故选:C.
2. 下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递减的是（ ）
A. y＝x﹣2B. y＝|lnx|C. y＝2﹣xD. y＝xsinx
【答案】A
【解析】
【分析】
根据基本函数的性质，分别判断函数的奇偶性和单调性即可.
【详解】A.f（x）是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，满足条件.
B.函数的定义域为（0，+∞），函数为非奇非偶函数，不满足条件.
C.函数为非奇非偶函数，不满足条件.
D.f（﹣x）＝﹣xsin（﹣x）＝xsinx＝f（x），f（x）为偶函数，在（0，+∞）不具备单调性，不满足条件.
故选：A.
【点睛】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，结合函数单调性和奇偶性的性质是解决本题的关键.属于基础题..
3. 函数的最小正周期为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据正切三角函数的周期公式求解即可
【详解】由题意得，利用函数最小正周期为，得出结论.
解：函数的最小正周期为，
故选：C.
4. 已知两条不同的直线，和两个不同的平面，，下列四个命题中正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
【答案】D
【解析】
【分析】根据直线与平面内直线平行，判断直线与平面的关系可判断A，由线面平行的性质可判断B，由平面垂直的性质可判断C，根据线面平行的性质及面面垂直的判定判断D.
【详解】若，，则或，故A错误；
若，，则或为异面直线，故B错误；
若，，则或或与斜交，故C错误；
若，则内必有一直线满足，又，所以，又，所以，故D正确.
故选：D
5. 设，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用正弦函数、指数函数、对数函数的性质判定即可.
【详解】易知.
故选：B
6. 已知函数的部分图象如图所示，将该函数的图象向左平移个单位长度，得到函数y=fx的图象.若函数y=fx为奇函数，则的最小值是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合函数图像求出函数的图像距离原点最近的点的坐标，即可确定的值.
【详解】如图设函数的部分图像与轴的交点为，

由图可知，所以，
所以点与点关于点对称，
设，则，解得，
因为将函数函数的图象向左平移（）个单位长度，得到函数y=fx的图象，且图象关于原点对称，
所以平移后的函数y=fx为奇函数，即相当于把的图象与轴最近的交点平移到坐标原点即可，由图可知此点为，
所以，
故选：B.
7. 已知，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
通过基本不等式可得充分性成立，举出反例说明必要性不成立.
【详解】当，时，，
则当时，有，解得，充分性成立；
当，时，满足，但此时，必要性不成立，
综上所述，“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
8. 已知函数，下列说法错误的是（ ）
A. 的定义域为B. 的图象关于轴对称
C. 的图象关于原点对称D. 在上单调递增
【答案】B
【解析】
【分析】根据对数函数的性质一一判断即可.
【详解】函数，则，即，解得，
所以函数定义域为，故A正确；
又，
所以的奇函数，则函数图象关于原点对称，故B错误，C正确；
因为，又在上单调递增，
在定义域上单调递增，所以在上单调递增，故D正确.
故选：B
9. 沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，利用细沙全部流到下部容器所需要的时间进行计时.如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成.这两个圆锥的底面直径和高分别相等，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度（h）的（细管长度忽略不计）.假设细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.这个沙堆的高与圆锥的高h的比值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
细沙全部在上部时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高为，设圆锥的底面半径为r，则细沙形成的圆锥的底面半径为，求出细沙的体积，再设细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的高为，求出细沙的体积，由体积相等求解，则答案可求.
【详解】解：细沙全部在上部时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高为，
设圆锥的底面半径为r，则细沙形成的圆锥的底面半径为，
∴细沙的体积为.
细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的底面半径r，设高为，
则，
得.
∴.
故选：A.
【点睛】此题考查圆锥体积公式的应用，属于中档题
10. 对于函数﹐若集合中恰有个元素，则称函数是“阶准偶函数”.若函数是“阶准偶函数”，则的取值范围是（ ）
A. -∞,0B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据“阶准偶函数”定义，分，，三种情况分析即可得答案.
【详解】解：根据题意，函数是“阶准偶函数”，
则集合中恰有个元素.
当时，函数有一段部分为，注意的函数本身具有偶函数性质，故集合中不止有两个元素，矛盾，
当时，根据“阶准偶函数”的定义得的可能取值为或，为，故当，该方程无解，当，解得或，故要使得集合中恰有个元素，则需要满足，即；
当时，函数，的取值为，为，根据题意得满足恰有两个元素，故满足条件.
综上，实数取值范围是.
故选：B
【点睛】本题解题的关键是根据新定义的“阶准偶函数”，将问题转化为研究函数，可能取何值，进而根据方程有两个解或求解.考查运算求解能力与综合分析能力，是中档题.
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 函数的定义域为________．
【答案】
【解析】
【分析】直接解不等式组得函数的定义域.
【详解】由题得，所以函数的定义域是.
故答案为
12. 已知角的顶点在坐标原点，始边在轴的正半轴上，终边与单位圆交于第二象限的点，且点的纵坐标为，则____________．
【答案】##
【解析】
【分析】由题设确定的坐标，再由三角函数的定义求.
【详解】由题设知：，故.
故答案为：
13. 已知命题：若，为第二象限角，且，则.能说明为假命题的一组，的值为__________，________.
【答案】 ①. （答案不唯一） ②. （答案不唯一）
【解析】
【分析】根据正切函数的性质举出反例即可.
【详解】如，，满足，为第二象限角，且，
但是，，即，即命题为假命题，
故，符合题意（答案不唯一）
故答案为：；（答案不唯一）
14. 已知函数，若关于的方程有两个不同的实根，则数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】分类讨论代入解析式，求出的两个根为，，由且可解得结果.
【详解】当时，即为，解得，
当时，即为，解得，
因为关于的方程有两个不同的实根，所以且，
解得且，
所以.
故答案为：.
【点睛】本题考查了分段函数的应用，考查了由方程根的个数求参数的取值范围，属于基础题.
15. 如图，在边长为1的正方体中，是棱上的一个动点，给出下列四个结论：
①三棱锥的体积为定值；
②存在点，使得平面；
③对每一个点，在棱上总存在一点，使得平面；
④是线段上的一个动点，过点的截面垂直于，则截面的面积的最小值为．
其中所有正确结论序号是____________．
【答案】①④
【解析】
【分析】根据题意作图，并尝试特殊位置，进行检验证明.
【详解】对于①，如下图所示：
在边长为1的正方体中，易知平面，
因为点是棱上的一个动点，可设点到平面的距离为，
且，则三棱锥的体积，
故①正确；
对于②，连接，，因为在平行四边形中，
，所以不垂直，所以使得不垂直平面，
所以②不正确.
对于③，当点与点重合时，无论点在何位置，直线与平面相交，
故③错误；
对于④，根据题意，作图如下：
因为正方体中，易知平面，所以，
设，则，，
在中，，
，
则该截面面积，
由，当时，，故④正确；
故答案为：①④.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 在中，，，.
（1）求，的值和的面积；
（2）求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由余弦定理结合已知可求得，结合三角形面积公式可得面积；
（2）由余弦定理、平方关系依次求得，结合两角差的正弦公式即可求解.
【小问1详解】
由余弦定理可得，
注意到，，，
所以，即，解得，
进一步；
【小问2详解】
由余弦定理可得，，因为，
所以，而，
从而.
17. 已知函数在点处取得极大值5，其导函数y=f'x的图象经过点1,0，2,0，如图所示.求：
（1）的值；
（2），，的值；
（3）函数在区间上的最大值和最小值.
【答案】（1）
（2），，
（3），
【解析】
【分析】（1）根据导函数图象可得原函数单调性，知在处取得极大值，求得；
（2）利用，，构造方程组可求得结果；
（3）根据函数的单调性，可知，，求出函数值即可得到结果.
【小问1详解】
由图象可知：在上，；在上，；在上，
在，上单调递增，在上单调递减，
在处取得极大值，；
【小问2详解】
因为且，，，
得：，解得：，，；
【小问3详解】
由（2）得，则，
可知：在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
，，
又，，，，
，.
18. 已知函数.从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数存在且唯一确定.
（1）求的解析式；
（2）设，求的单调递增区间以及在区间上的最大值.
条件①：；
条件②：为偶函数；
条件③：的最大值为1；
条件④：图象的相邻两条对称轴之间的距离为.
注：如果选择的条件不符合要求，此题得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）条件选择见解析，
（2）单调递增区间为，，
【解析】
【分析】（1）由二倍角公式易得，函数为奇函数，故②不能选，若①和③同时选，不满足函数存在且唯一；选择条件①④，由相邻两条对称轴之间的距离可得周期，即得的值，由代入即可得的值；选择条件③④，由最大值得的值，进而得解析式.
（2）通过公式化简可得，再根据正弦函数的性质计算可得.
【小问1详解】
因为，则为奇函数，故②不能选，
选择条件①③：
因为函数的最大值为1，所以，即，
因为，所以，的值不唯一，故不能选.
选择条件①④：
因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以，即，
所以，
因为，所以，即，
所以.
选择条件③④：
因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以，即，
因为函数的最大值为1，所以，即，
所以.
【小问2详解】
因为，
令，，解得，，
所以函数的单调递增区间为，，
当时，，所以，
所以当，即时取得最大值，且.
19. 如图，四棱柱的底面是边长为2的正方形，侧面底面，，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个条件作为已知，使二面角唯一确定，
（i）求二面角的余弦值；
（ii）判断直线是否在平面内，说明理由.
条件①：；
条件②：；
条件③：.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）证明过程见解析
（2）（i）答案见解析（ii）平面，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）利用线面平行的判定定理找到可证；
（2）（i）选①：说明条件不能确定棱柱特点即可求解；选②③：证明平面，建立空间坐标系，求得二面角；
（ii）只需证明直线与直线异面即可.
【小问1详解】
在四棱柱中，连结，设，
连结，在中，因为、分别为的中点，
所以，又因为平面，平面，
所以平面.
【小问2详解】
（i）
选择条件①：
因为底面是正方形，所以，
侧面平面，且侧面平面，平面，
故平面，又平面，则，
即四边形为矩形，因为，则，
与选择条件①：等价，故条件不能进一步确定的夹角大小，故二面角不能确定；
选择条件②：
连结，因为底面是正方形，所以，
又因为侧面平面，且侧面平面，平面，
所以平面，又平面，所以，
在中，因为，，所以，
在中，因为，，所以，
又平面，所以平面，又，
所以如图建立空间直角坐标系，其中，，，，
且，，易知为平面的一个法向量，
设为平面面的一个法向量，则即 .
不妨设，则，可得，所以，
因为二面角的平面角是钝角，设为 ，故，
所以二面角的余弦值为.
选择条件③：
因为底面是正方形，所以，
因为，且平面，
所以平面，因为平面，所以，
因为侧面平面，且侧面平面，平面，
所以平面，又，
所以如图建立空间直角坐标系，（下面同选择条件②）.
（ii）如图所示，
平面，理由如下：
，与相交，所以直线与直线异面，
这表明四点不共面，即平面.
20. 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）求的单调区间；
（3）当时，求证：时，成立.参考数据.
【答案】（1）
（2）答案见详解 （3）证明见详解
【解析】
【分析】（1）求出函数在处的导数值，即切线的斜率，从而可得出切线方程；
（2）求出函数的导函数，分，，，四种情况讨论，根据导函数的符号即可得出函数的单调区间；
（3）由（2）可得，构建，利用导数可得，对比分析即可.
【小问1详解】
解：当时，，，
则，，
所以曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为，即.
【小问2详解】
由题意可知：的定义域为，且，
（i）当时，，
当时，f'x