北京市房山区2024-2025学年高三上入学考试数学试题（解析版）

这是一份北京市房山区2024-2025学年高三上入学考试数学试题（解析版），共18页。

第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用交集的定义直接求解并判断即可.
【详解】集合，所以.
故选：A
2. 若复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数的乘法即可得到答案.
【详解】由题意得.
故选：C.
3. 双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定双曲线方程直接求出其渐近线方程即可.
【详解】双曲线的渐近线方程为：.
故选：C
4. 已知圆与直线相切，则（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用点到直线的距离公式，结合圆的切线性质求解即得.
【详解】圆的圆心为，半径为，
依题意，.
故选：D
5. 的展开式中的常数项为
A. B. C. 6D. 24
【答案】D
【解析】
【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令的指数为求出，将的值代入通项求出展开式的常数项．
【详解】解：二项式展开式的通项为，
令，解得，
所以展开式的常数项为.
故选：D
6. 设向量，则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用垂直关系的坐标表示，结合充分条件、必要条件判断即得.
【详解】向量，则，解得或，
所以“”是“”的充分而不必要条件.
故选：A
7. 已知函数的图象与直线的相邻两个交点间的距离等于，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】化简函数解析式，由条件确定函数的周期，结合周期公式求.
【详解】由已知，
因为函数的图象与直线的相邻两个交点间的距离等于，
所以函数的最小正周期为，又，
所以，故.
故选：B.
8. 已知正四棱锥的八条棱长均为4，是底面上一个动点，，则点所形成区域的面积为（）
A. 1B. C. 4D.
【答案】B
【解析】
【分析】由，可知的轨迹为以为圆心，1为半径的圆以及圆内的点，利用圆的面积求解即可.
【详解】设顶点在底面上的射影为，连接，则为正方形的中心，如图.

易知,故.
因为当时,,
所以的轨迹为以为圆心，1为半径的圆以及圆内的点，
而正方形内切圆的圆心为，半径为，
故的轨迹在正方形内部，因此表示的区域面积为.
故选：B
9. 近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口，于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式：，其中为常数.为测算某蓄电池的常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间.若计算时取，，则该蓄电池的常数大约为（ ）
A. 1.25B. 1.75C. 2.25D. 2.55
【答案】C
【解析】
【分析】利用经验公式将数据代入构造方程组，再由对数运算法则可解得常数.
【详解】根据题意由可得，
两式相除可得，即可得，
两边同时取对数可得，即可得；
即.
故选：C
10. 已知集合，是集合表示的平面图形的面积，则（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】由集合，的元素满足的条件，找出所对应的图形，再借助图形的对称性即可求出面积．
【详解】集合表示平行直线与围成的正方形，
集合，
因此集合表示的平面图形为图中阴影部分，
由图形的对称性知：正方形内阴影部分的面积与空白部分的面积相等，
所以．
故选：B
【点睛】关键点点睛：正确找出可行域和利用对称性求出面积是解题关键.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 抛物线的准线方程是_______
【答案】
【解析】
【分析】先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及，再直接代入即可求出其准线方程.
【详解】因为抛物线的标准方程为，焦点在y轴上，
所以：，即，所以，
所以准线方程为：，
故答案是：.
【点睛】该题考查的是有关抛物线的几何性质，涉及到的知识点是已知抛物线的标准方程求其准线方程，属于简单题目.
12. 在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称．若，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】根据角关于轴对称的特点即可得到答案.
【详解】因为角与角的终边关于轴对称，所以，
所以.
故答案为：.
13. 已知函数若，则______；若在上单调递增，则的一个值为______．
【答案】 ①. 0 ②. （答案不唯一）
【解析】
【分析】根据分段函数，代入求值即可；根据增函数的概念列不等式即可.
【详解】若,则时，,所以;
当x<1时，在上单调递增；
当时，在上单调递增；
若在上单调递增，只需,
解得a≥1，
所以满足条件的的一个值为1.
故答案为：（答案不唯一）.
14. 如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点．如果将容器倒置，水面也恰好经过点（图2），设正四棱柱的高为，正四棱锥的高为，则______．
【答案】
【解析】
【分析】设棱柱的底面面积为，根据题意，结合锥体和柱体的体积公式，分别求得的表达式，即可求解.
【详解】设棱柱的底面面积为，
在图1中，可得，所以，
在图2中，可得，所以，则，
所以.
故答案为：.
15. 古希腊毕达开拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数.他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类.如图，第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列an，正方形数构成数列bn，给出下列四个结论：
①数列an的一个通项公式是；
②2025既是三角形数，又是正方形数；
③；
④，总存在．使得成立．
其中所有证确结论序号是______．
【答案】①③④
【解析】
【分析】根据给定信息,求出数列的通项,再逐一分析各个选项即可.
【详解】对于①，依题意,数列中,,
于是得,满足上式,
故,故①正确；
对于②，数列中,,
于是得,满足上式,
,令，此方程无整数解；令，解得,
所以2025不是三角形数，是正方形数,故②错误；
对于③，当时，,
当时，
则，故③正确;
对于④, , 取 ，
则，故④正确.
故答案为：①③④.
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 在锐角中，角的对边分别为，且．
（1）求角的大小；
（2）再从下面条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的面积．
条件①：；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理边化角，求出即可得解.
（2）选①，选②，利用正弦定理、和角的正弦公式、三角形面积公式计算即得.
【小问1详解】
在锐角中，由及正弦定理，得，
而，则，又，
所以.
【小问2详解】
选①，，由（1）知，由正弦定理得，
而，
所以的面积为.
选②，，由（1）知，
由正弦定理得，而为锐角，则，
，
所以的面积为.
17. 已知四棱锥中，平面，四边形为菱形，，为的中点．
（1）若为的中点，求证：平面；
（2）若．求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取的中点,连接，证四边形为平行四边形,得所以,进而得证；
（2）建立空间直角坐标系，求平面与平面的法向量，然后利用空间向量求夹角即可.
【小问1详解】
取的中点,连接,
因为点为的中点,
所以,
又,
所以,
所以四边形为平行四边形,
所以,
又平面平面,
所以平面;
【小问2详解】
因为四边形为菱形，，，
，，
两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系,
，
设平面的一个法向量为n=x,y,z
则
令则，
平面平面
，平面，
所以平面
所以是平面的一个法向量，
假设平面与平面夹角为，
则.
18. 某企业产品利润依据产品等级来确定：其中一等品、二等品、三等品的每一件产品的利润分别为100元、50元、50元．为了解产品各等级的比例，检测员从流水线上随机抽取了100件产品进行等级检测、检测结果如下表：
（1）从流水线上随机抽取1件产品，估计这件产品是一等品的概率；
（2）若从流水线上随机抽取3件产品，这3件产品的利润总额为．求的分布列和数学期望；
（3）为了使每件产品的平均利润不低于80元，产品中的一等品率至少是多少？
【答案】（1）
（2）分布列见解析，
（3）
【解析】
【分析】（1）利用古典概型求解概率即可.
（2）将非一等品视为整体，利用二项分布求出概率，得到分布列和期望即可.
（3）依据题意结合整体法得到不等式，求解概率即可.
【小问1详解】
设概率为，由题意得.
【小问2详解】
首先，我们把二等品和三等品视为一个整体，
则单次抽到一等品的概率为，抽到二等品和三等品这个整体的概率为，
当时，抽到的一定在二等品和三等品这个整体里，
所以，
当时，，
当时，，
当时，，
故分布列见下表，
所以数学期望为，
【小问3详解】
设产品中的一等品率为，故非一等品率为，
所以，解得，
产品中的一等品率至少是.
19. 已知椭圆的一个顶点为．焦距为．过点且斜率不为零的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为．
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）若直线与轴垂直，求的值．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用椭圆的基本性质求解方程即可.
（2）结合给定条件转化为向量共线问题，得到方程求解即可.
【小问1详解】
因为椭圆的一个顶点为2,0．焦距为，
所以，，所以，
故椭圆的方程为，故离心率为.
【小问2详解】
如图，设的方程为，，
联立方程组，可得，
而，
所以，，
因为，过点和的直线与椭圆的另一个交点为，
所以三点共线，所以，共线，
因为与轴垂直，所以，故，
，故得，
所以，
化简得，
所以
而，所以，
，解得，故的值为.
20. 已知函数，直线为曲线在点处的切线．
（1）当时，求出直线的方程；
（2）若，求的最小值；
（3）若直线与曲线相交于点，且，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）的最小值为
（3）的取值范围是
【解析】
【分析】（1）根据导数的几何意义确定切线斜率，再求切点坐标，从而得切线方程；
（2）求导数，确定函数的单调性即可确定最小值点，从而可得函数最小值；
（3）求出原函数的导函数，得到，再求出，即可得到曲线在,处的切线方程．令，利用三次求导可得时，在上存在零点，即可得到的取值范围．
【小问1详解】
，则斜率，
又，则线在点处的切线的方程为；
【小问2详解】
，
则，令得，
则当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
所以的最小值为；
【小问3详解】
由，得，则，
可得曲线在,处的切线方程为，
即．
令，显然，，
令，则，得，
在上单调递减，在上单调递增．
若，时，，，
则在上单调递增，且，在上无零点，舍去；
若，，时，，
则在上单调递增，在,上单调递减，而时，，
在上存在零点．
故的取值范围是．
【点睛】方法点睛：当一阶导数无法求得函数的单调区间时，可考虑利用二阶导数来进行求解，通过二阶导数的符号来确定一阶导数的单调性、符号，从而确定原函数的单调性.
21. 已知数列的各项均为正整数，设集合，记的元素个数为．
（1）若数列，求集合，并写出的值；
（2）若是递减数列，求证：“为等差数列”的充要条件是“”；
（3）已知数列，求证：．
【答案】（1），；
（2）证明见解析； （3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据题意，结合集合的新定义，即可求解；
（2）若为等差数列，且是递减数列，得到，结合，证得必要性成立；
再由是递减数列，，得到，由此证明为等差数列，得到充分性成立，即可得证；
（3）根据题意，得到，得出，设存在， ，推出矛盾，进而得证.
【小问1详解】
由题意，数列，
可得，
所以集合，所以.
【小问2详解】
必要性：若为等差数列，且是递减数列，设的公差为，
当时，，所以，
则，故必要性成立.
充分性：若是递减数列，，则为等差数列，
因为是递减数列，所以，
所以，且互不相等，
所以，
又因为，
所以且互不相等，
所以，
所以，
所以为等差数列，充分性成立.
所以若是递减数列，“为等差数列”的充要条件是“”.
【小问3详解】
由题意集合中的元素个数最多为个，
即，
对于数列，此时，
若存在，则，其中，
故，
若，不妨设，则，而，
故为偶数，为奇数，矛盾，
故，故，故由得到的彼此相异，所以.
【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
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