天津市静海区第六中学2024-2025学年高二上学期11月期中数学试题

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说明：本试卷分为第Ⅰ卷(选择题) 和第二卷(非选择题) 两部分。总分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共45分)
一、选择题(每题5分，共45分)
1. 直线 x−3y+1=0的倾斜角为( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
2. 已知向量：a=(−3,2,5), b=(1,5,−1),则 a−2b=
A. (−4,−3, 4) B. (−1,−3, 6)
C. (−5,−8 ,3) D. (−5,−8, 7)
3. 已知空间向量a=(1,1,1),b=(1,0,-2), 则下列结论正确的是( )
A. 向量a在向量b上的投影向量是 −15 0 25 B.a−b=0 −1 −3
C.a⊥b D.csab=1515
4. 已知直线 l 的方程是(3a−1)x−(a−2)y−1=0, 则对任意的实数a、直线 l 一定经过( ).
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
5. 如图, 平行六面体ABCD−A'B'C'D', 其中AB=4, AD=3, AA'=3,∠BAD=90°, ∠BAA'=60°, ∠DAA'=60°, 则AC'的长为( )
A.65 B.55
C.85 D.95
试卷第1页，共4页
6. 过点P(1,0)作圆 x−2²+y−2²=1的切线，则切线方程为( )
A. x=1或3x+4y−3=0 B. x=1或3x−4y−3=0
C. y=1或4x−3y+4=0 D. y=1或3x−4y−3=0
7. 圆 x²+y²−2x−5=0与圆 x²+y²+2x−4y−4=0的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程是( )
A. x−2y+1=0 B. 2x−y+1=0
C. x+y−1=0 D. x−y+1=0
8. 圆 x²+y²−4x−4y−10=0上的点到直线 x+y−14=0的最大距离与最小距离的差是( )
A 36 B.18 C.52 D、62
9. 已知点A(2,-3), B(-3,-2), 若点P(x,y)在线段AB上, 则 y−1x−1的取值范围为( )
A.−4 34 B.34 4
C.−∞ −4∪34 +∞ D.−∞ −14∪34 +∞
第II卷(非选择题)
二、填空题(每题5分，共30分)
10. 过点A(3，−1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是 .
11. 在四面体OABC中, M是棱OA上靠近A的三等分点, N,P分别是BC,MN的中点,
设 OA=a,OB=b,OC=c, 若 OP=xOA+yOB+zOC,则x+y+z= .
试卷第2页，共4页
12. 设两直线l₁:(3+m)x+4y=5−3m与l₂:2x+(5+m)y=8.若l₁//l₂,则m= ,若l₁⊥l₂,则m= .
13. 已知直线. x−3y+8=0和圆 x²+y²=r²r0)相交于A,B两点. 若|AB|=6,则r的值为 .
14. 已知圆 x²+y²=4上有且仅有四个点到直线12x−5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是
15. 已知点A(−1,0), B(0,3), 点P是圆 x−3²+y²=1上任意一点，则△PAB面积的最小值为 .
三、解答题(每题15分, 共75分).
16. 已知空间三点A(−2,0,2),B(−1,1,2),C(−3,0,4), 设 a=AB,b=AC.
(1) 若 |c|=3,c// BC,求 c;
(2) 求a与b的夹角的余弦值；
(3)若 ka+b与 ka−2b互相垂直，求k.
17. 已知A(1,1), B(2,3), C(4,0). 求(均写成一般式方程);
(1) BC边上的中线所在的直线方程l₁；
(2) AB边垂直平分线方程l₂及点C关于l₂对称点 D；
(3) 过点A 且倾斜角为直线AB倾斜角2倍的直线方程：
18. 已知圆C过点A(8, - 1), 且与直线 l₁:2x−3y+6=0相切于点 B(3, 4).
(1) 求圆C的方程;
试卷第3页，共4页(2) 过点 P(−3, 0)的直线l₂与圆C交于M, N两点, 若 △CMN为直角三角形，求l₂的
19. 在四棱锥P-ABCD中, PA⊥底面ABCD, 且. PA=2,，四边形ABCD是直角梯形,且AB⊥AD, BC∥AD, AD=AB=2, BC=4, M为PC中点, E在线段BC上,且BE=1.
(1) 求证: DM∥平面PAB;
(2) 求直线PB与平面PDE所成角的正弦值.
(3) 求点C到平面PDE的距离.
20. 圆 C:x²+y−3²=1,点P(t，0)为x轴上一动点，过点 P 引圆C的两条切线，
切点分别为M, N.
(1) 若t=1, 求切线方程;
(2) 直线MN是否过定点? 若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由；
(3) 若两条切线 PM, PN 与直线. y=1分别交于A，B两点，求VABC面积的最小值.
试卷第4页，共4页