天津市静海区2019-2020学年高二上学期期末学生学业能力调研 数学试题

这是一份天津市静海区2019-2020学年高二上学期期末学生学业能力调研 数学试题，共20页。试卷主要包含了已知数列，满足，若，则＝，下列命题的说法错误的是，为双曲线等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
本试卷分第Ⅰ卷基础题（132分）和第Ⅱ卷提高题（18分）两部分，共150分。
第Ⅰ卷 基础题（共132分）
选择题: (每小题5分，共30分)
1．已知数列，满足，若，则＝（ ）
A．B．2C．﹣1D．1
2．下列命题的说法错误的是（ ）
A．对于命题p：∀x∈R，x2+x+1＞0，则¬p：∃x0∈R，x02+x0+1≤0．
B．“x=1“是“x2﹣3x+2=0“的充分不必要条件．
C．“ac2＜bc2“是“a＜b“的必要不充分条件．
D．是等比数列，则是为单调递减数列的充分条件
3．设等差数列的前项和为，若，则等于
A．18B．36C．45D．60
4．已知椭圆的两个焦点分别为，弦过点，若的周长为20，则的值为（ ）
A．5B．－25C．25D．5或－5
5．若函数在内单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．为双曲线：的右焦点，圆：与在第一象限、第三象限的交点分别为，，若的面积为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
二、填空题：(每小题5分，共40分)
7.已知第一象限内的点在直线上，则的最小值为______．
8．抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，其准线与双曲线 -- =1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p=___________.
9．双曲线离心率,与椭圆有相同的焦点,则该双曲线渐近线方程是_________
10．已知函数，其中，R，若函数仅在处有极值，则实数的取值范围是_______.
11．已知是等差数列，是等比数列，且，，，．则
的通项公式是______.；
12．设点为函数上任意一点，点为直线上任意一点，则，两点距离的最小值为______.
13．已知函数，，若，对任意的，总存在，使得，则b的取值范围是_______．
14．已知函数， ，若对任意，存在，使，则实数的取值范围是________.
三、解答题：(本大题共5小题，共80分)
15.（16分）各项均为正数的数列的前n项和为，且满足．各项均为正数的等比数列满足．
（1）（4分）求证为等差数列并求数列、的通项公式；
（2）若,数列的前n项和．
①（6分）求；
②（6分）若对任意,均有恒成立，求实数m的取值范围．
16．（16分）如图所示的几何体中，垂直于梯形所在的平面， 为的中点，，四边形为矩形，线段交于点.
（1）（4分）求证：平面；
（2）（6分）求二面角的正弦值；
（3）（6分）在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.
17.（15分）已知函数
(1)(7分)讨论函数的单调性
（2）（8分）设，证明：对任意，
（15分）求导研究函数的性质是高考的热点，而求导后正负号的确定是一个重要的环节，请判断下列导函数的正负号。
（3分）
（3分）=
（3分）=
（3分）
（3分）请结合题目的解答过程，总结求导后判断正负号的方法。
（18分）如图，在平面直角坐标系中，焦点在轴上的鞘园C:经过点，且经过点作斜率为的直线交椭圆C与A、B两点(A在轴下方).
(1)（5分）求椭圆C的方程；
(2)（6分）过点且平行于的直线交椭圆于点M、N，求的值；
(3)（7分）记直线与轴的交点为P，若，求直线的斜率的值.
2019-2020第一学期高三数学（12月）
学生学业能力调研试卷答题纸
第Ⅰ卷 基础题（共135分）
二、填空题（每题4分，共32分）
7._________ 8. 9._________ 12._________ 13._________ 14._________
三、解答题（本大题共4题，共88分）
15.（15分）
16.(15分）
E
FE
PE
DE
CDE
BACDE
ACDE
17.（13分）
18.（15分）
第Ⅱ卷 提高题（共15分）
19.（15分）
2019-2020第一学期高二数学期末
学生学业能力调研试卷
考生注意：
本试卷分第Ⅰ卷基础题（132分）和第Ⅱ卷提高题（18分）两部分，共150分。
第Ⅰ卷 基础题（共132分）
选择题: (每小题5分，共30分)
1．已知数列，满足，若，则＝（ ）
A．B．2C．﹣1D．1
【答案】A
【解析】数列满足，，
，，故选A．
2．下列命题的说法错误的是（ ）
A．对于命题p：∀x∈R，x2+x+1＞0，则¬p：∃x0∈R，x02+x0+1≤0．
B．“x=1“是“x2﹣3x+2=0“的充分不必要条件．
C．“ac2＜bc2“是“a＜b“的必要不充分条件．
D．是等比数列，则是为单调递减数列的充分条件
【答案】D
3．设等差数列的前项和为，若，则等于
A．18B．36C．45D．60
【答案】C
4．已知椭圆的两个焦点分别为，弦过点，若的周长为20，则的值为（ ）
A．5B．－25C．25D．5或－5
【答案】D
5．若函数在内单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
若函数在内单调递减，即当时，，,如图所示，

函数是一个开口向上的二次函
数，设其两个零点分别为，0）、（，0），其中,
则有且，易见有，既有解得，故选A。
6．为双曲线：的右焦点，圆：与在第一象限、第三象限的交点分别为，，若的面积为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【解析】
解：不妨设双曲线的左焦点为，由双曲线的对称性可得：四边形为矩形，
则为直角三角形，设，，则，解得，即，即，则，则，得，故选：A.
二、填空题：(每小题5分，共40分)
7.已知第一象限内的点在直线上，则的最小值为_9__．
8．抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，其准线与双曲线 -- =1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p=___6___.
因为抛物线x2=2py的准线和双曲线-=1相交交点横坐标为
9．双曲线离心率,与椭圆有相同的焦点,则该双曲线渐近线方程是
10．已知函数，其中，R，若函数仅在处有极值，则实数的取值范围是_______.
【解】，如果仅在处有极值，那么的,∴.
11．已知是等差数列，是等比数列，且，，，．则
的通项公式是______.；
设点为函数上任意一点，点为直线上任意一点，则，两点距离的最小值为______.
【答案】
【解析】解：设为函数上一点，且以点为切点的直线与直线平行，由，则 ，由已知有，化简得, 解得：，则，两点距离的最小值为点到直线的距离，由点到直线的距离公式，故答案为：.
13．已知函数，，若，对任意的，总存在，使得，则b的取值范围是_______．
【答案】
【解析】函数在上单调递增，
所以的值域为集合，函数，开口向下，对称轴为，
所以在上单调递减，所以的值域为集合
因为任意的，总存在，使得，所以可得，
所以，解得故答案为：
14．已知函数， ，若对任意，存在，使，则实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】试题分析：函数的导函数,，若,,为增函数;若,或,为减函数；在上有极值,在处取极小值也是最小值；,对称轴,,当时,在处取最小值；当时,在处取最小值；当时,在上是减函数,；对任意,存在,使,只要的最小值大于等于的最小值即可,当时,,计算得出,故无解;当时,,计算得出,综上:,因此，本题正确答案是:.

三、解答题：(本大题共5小题，共80分)
15.（16分）各项均为正数的数列的前n项和为，且满足．各项均为正数的等比数列满足．
（1）（4分）求证为等差数列并求数列、的通项公式；
（2）若,数列的前n项和．
①（6分）求；
②（6分）若对任意,均有恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）,（2）①; ②
【解析】(1)∵,∴.
∴,∴,又各项为正,
∴,∴开始成等差,又, ∴,
∴ ∴为公差为3的等差数列,∴,,
∴．(2),①,
,
∴,
,,
​∴．
②恒成立,
∴,
即恒成立,设,,
当时,;当时,∴,
∴．
16．（16分）如图所示的几何体中，垂直于梯形所在的平面，为的中点，，四边形为矩形，线段交于点.

（1）（4分）求证：平面；
（2）（6分）求二面角的正弦值；
（3）（6分）在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）见解析（2）（3）在线段上存在一点满足题意，且
【解析】
（1）因为四边形为矩形，所以为的中点.连接，
在中，分别为的中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面.
（2）易知两两垂直，如图以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系.

则，所以.
设平面的法向量为，
则即解得
令，得
所以平面的一个法向量为.
设平面的法向量为，
，据此可得 ，
则平面的一个法向量为，
，于是.
故二面角的正弦值为.
（3）设存在点满足条件.
由，
设，整理得，
则.
因为直线与平面所成角的大小为，
所以
解得，
由知，即点与重合.
故在线段上存在一点，且.
17.（15分）已知函数
(1)(7分)讨论函数的单调性
（2）（8分）设，证明：对任意，
【解析】
试题分析：（Ⅰ）借助题设条件运用导数和单调性的关系分类求解；（Ⅱ）借助题设条件构造函数运用导数的知识推证.
试题解析：
（Ⅰ）解：的定义域为，。
当时，，故在单调递增；
当时，，故在单调递减；
当时，令，解得。由于在上单调递减，故当时，，故在单调递增；当时，，故在单调递减。
（Ⅱ）证明：不妨假设．由于，故在单调递减。
∴等价于。
即。
令，则。
于是。
从而在单调递减，故，
即，故对任意。
考点：导数在研究函数的单调性和极值等方面的综合运用。

（15分）求导研究函数的性质是高考的热点，而求导后正负号的确定是一个重要的环节，请判断下列导函数的正负号。
（3分）
（3分）=
（3分）=
（3分）
（3分）请结合题目的解答过程，总结求导后判断正负号的方法。

（18分）如图，在平面直角坐标系中，焦点在轴上的鞘园C:经过点，且经过点作斜率为的直线交椭圆C与A、B两点(A在轴下方).
(1)（5分）求椭圆C的方程；
(2)（6分）过点且平行于的直线交椭圆于点M、N，求的值；
(3)（7分）记直线与轴的交点为P，若，求直线的斜率的值.





【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）由题意得e2，．又a2＝b2+c2，，解得b2；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．设直线l的方程为y＝k（x﹣1）．
联立直线l与椭圆方程，消去y，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣8＝0，可设直线MN方程为y＝kx，联立直线MN与椭圆方程，消去y得（2k2+1）x2＝8，由MN∥l，得由（1﹣x1）•（x2﹣1）＝﹣[x1x2﹣（x1+x2）+1]．得（xM﹣xN）2＝4x2即可；
（3）在y＝k（x﹣1）中，令x＝0，则y＝﹣k，所以P（0，﹣k），从而 ，由得
即 ①，由（2）知②，由①②得⇒50k4﹣83k2﹣34＝0，解得k2.
【详解】
（1）因为椭圆C：1经过点所以．
又∵a2＝b2+c2，，解得b2＝4或b2＝8（舍去）．
所以椭圆C的方程为．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．
因为T（1，0），则直线l的方程为y＝k（x﹣1）．
联立直线l与椭圆方程，消去y，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣8＝0，
所以x1+x2，x1x2．
因为MN∥l，所以直线MN方程为y＝kx，
联立直线MN与椭圆方程
消去y得（2k2+1）x2＝8，
解得x2
因为MN∥l，所以
因为（1﹣x1）•（x2﹣1）＝﹣[x1x2﹣（x1+x2）+1]．
（xM﹣xN）2＝4x2．
所以．
（3）在y＝k（x﹣1）中，令x＝0，则y＝﹣k，所以P（0，﹣k），
从而 ，
∵，①
由（2）知②
由①②得
代入x1x2⇒50k4﹣83k2﹣34＝0，解得k2＝2或k2（舍）．
又因为k＞0，所以k．






知 识 与 技 能
学习能力
总分
内容
解析几何
逻辑
不等式
数列
导数
立体
关键环节
150
分数
35
5
5
30
65
10
24
得分框
知识与技能
学习能力
（学法）
习惯养成
（卷面整洁）
总分
（备课组长阅）
知 识 与 技 能
学习能力
总分
内容
解析几何
逻辑
不等式
数列
导数
立体
关键环节
150
分数
35
5
5
30
65
10
24