2023~2024学年山东省烟台市龙口市(五四制)九年级(上)期中 数学试卷(解析版)

这是一份2023~2024学年山东省烟台市龙口市(五四制)九年级(上)期中 数学试卷(解析版)，共14页。试卷主要包含了书写与卷面，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、书写与卷面（3分）
书写规范 卷面整洁
二、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题有且只有一个正确答案，请把正确答案的字母代号涂在答题卡上．
1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，那么下列各式中，正确的是( )
A. sin B＝B. csB＝
C. tanB＝D. tanB＝
【答案】C
【解析】∵∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，∴AB= ，
∴sinB=，csB=，tanB=，
故选C.
2. 若函数是二次函数，则常数m的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】函数是二次函数，
，
，故选D．
3. 若只增大物体与投影面之间的距离，则其正投影（ ）
A. 变大B. 变小C. 不变D. 无法确定
【答案】C
【解析】只增大物体与投影面之间的距离，则其正投影不变，故选C．
4. 如下图所示，是一个用于防震的L形的包装用泡沫塑料，它的俯视图是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】俯视图是在物体正面从上向下观察到的图形,
故选：A.
5. 下列投影中，是平行投影的是（ ）
A. 路灯下行人的影子B. 太阳光下楼房的影子
C. 台灯下书本的影子D. 在手电筒照射下纸片的影子
【答案】B
【解析】A、路灯下行人的影子为中心投影，故此选项不合题意；
B、太阳光下楼房的影子为平行投影，符合题意；
C、台灯下书本的影子为中心投影，故此选项不合题意；
D、在手电筒照射下纸片的影子为中心投影，故此选项不合题意．
故选：B．
6. 对于二次函数y=﹣2（x﹣1）（x+3），下列说法正确的是（ ）
A. 图象的开口向上
B. 图象与y轴交点坐标是（0，6）
C. 当x＞﹣1时，y随x的增大而增大
D. 图象的对称轴是直线x=1
【答案】B
【解析】A.∵a=﹣2＜0，∴函数图象的开口向下，故本选项错误；
B.y=﹣2（x﹣1）（x+3）=﹣2x2﹣4x+6，
当x=0时，y=6，即函数图象与y轴的交点坐标是（0，6），故本选项正确；
C.y=﹣2（x﹣1）（x+3）=﹣2（x+1）2+8，
即当x＞﹣1，y随x的增大而减少，故本选项错误；
D.y=﹣2（x﹣1）（x+3）=﹣2（x+1）2+8，
即函数图象的对称轴是直线x=﹣1，故本选项错误．故选B．
7. 如图是我们数学课本上采用的科学计算器面板,利用该型号计算器按此顺序输入：，显示屏显示的结果为.将这个数据精确到后，下列说法正确的是（ ）
A. 的正切函数值约为
B. 正切函数值为的角约是
C. 的正切函数值约为
D. 正切函数值为的角约是
【答案】B
【解析】已知锐角三角函数值求锐角的方法是：已知，一般先按键“2ndF”，再按键“tan”，输入“”，再按键“＝”即可得到结果．故选：B．
8. 如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则的值是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图，

在中，，故选：D．
9. 如图，梯子跟地面的夹角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是( )
A. 的值越小，梯子越陡B. 的值越小，梯子越陡
C. 的值越小，梯子越陡D. 陡缓程度与的函数值无关
【答案】B
【解析】sinA的值越小，∠A越小，梯子越平缓；
csA的值越小，∠A就越大，梯子越陡；
tanA的值越小，∠A越小，梯子越平缓，
所以B正确．
故选B．
10. 二次函数的图象如图所示，其中不正确的结论是（ ）

A. B.
C. D. （m为实数）
【答案】C
【解析】由图象可得：，
图象与y轴正半轴有交点，∴，
对称轴在左侧，左同右异，，
∴，A正确；
由图象可得：，
∴，B正确；
时，，
∵，
∴，C错误；
由图象可得：时，抛物线有最大值，
时，，
∵，∴，则，④正确；
故选：C．
三、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
11. 写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的解析式________________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】根据题意，
故符合题意
故答案为：（答案不唯一）
12. 当为锐角，且时，的取值范围是_____________．
【答案】
【解析】，且，，为锐角，
，
故答案为：
13. 如图，二次函数的图象过点且对称轴为直线，则关于的一元二次方程的解为________．
【答案】，
【解析】由图像可知：抛物线与x轴交于，对称轴为直线，
∴抛物线与x轴的另一交点为：，
∴的解为，，
故答案为：，．
14. 如图是拦水坝的横断面，斜坡的水平宽度为6米，斜面坡度为，则斜坡的长为_________米．

【答案】
【解析】过点B作于E，如图：

在中，，米，
则：米，
米，
故答案为：．
15. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的表达式为________________．
【答案】
【解析】抛物线向左平移2个单位长度，得到，再向上平移1个单位长度，得到即，
故答案为：．
16. 如图，某农场要盖一排三间长方形的羊圈，打算一面利用旧墙，其余各面用木材围成栅栏，该计划用木材围成总长24m的栅栏，设面积为s（m2），垂直于墙的一边长为x（m）米．则s关于x的函数关系式：___（并写出自变量的取值范围）
【答案】s＝﹣4x2+24x（0＜x＜6）
【解析】根据题意可知，三间羊圈与旧墙平行的一边的总长为（24﹣4x），
则：s＝（24﹣4x）x＝﹣4x2+24x 由图可知：24﹣4x＞0，x＞0，
所以x的取值范围是0＜x＜6．
故答案为：s＝﹣4x2+24x（0＜x＜6）．
四、解答题（本大题共9个小题，满分69分）
17. 计算：
解：原式
18. 中，，，解这个直角三角形．
解：在中，
，，
，，
∵，∴，．
19. 如图，是小亮晚上在广场散步的示意图，图中线段AB表示站立在广场上的小亮，线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯的位置，
（1）在小亮由B处沿BO所在的方向行走到达O处的过程中，他在地面上的影子长度的变化情况为 ．
（2）请你在图中画出小亮站立AB处的影子．
解：（1）在小亮由B处沿BO所在的方向行走到达O处的过程取点D，
通过灯光在B处小亮的影长为BE，当小亮走到D处时，小亮的影长为FD，BE＞FD，
∴小亮由B处沿BO所在的方向行走到达O处的过程中，他在地面上的影子长度的变化情况为变短，故答案为：变短；
（2）如图所示，连结PA，并延长交底面于E，则线段BD为求作小亮的影长．
20. 已知二次函数y=x2+mx+m2−3（m为常数，m>0）的图象经过点P(2，4)．
（1）求m的值；
（2）判断二次函数y=x2+mx+m2−3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．
解：（1）∵二次函数y= x2+mx+m2−3图象经过点P(2，4) ，
∴4=4+2m+m2−3，即m2+2m−3=0，解得：m1=1，m2=−3，又∵m>0，∴m=1；
（2）由（1）知二次函数y=x2+x−2，
∵Δ=b2−4ac=12+8=9>0，∴二次函数y=x2+x−2的图象与x轴有两个交点．
21. 如图，为了测量某建筑物CD高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前进了100m，此时自B处测得建筑物顶部的仰角是45°．已知测角仪的高度是1.5m，请你计算出该建筑物的高度．（取＝1.732，结果精确到1m）
解：设CE＝xm，则由题意可知BE＝xm，AE＝(x＋100)m．
在Rt△AEC中，tan∠CAE＝，即tan30°＝
∴，3x＝(x＋100)，解得x＝50＋50＝136.6
∴CD＝CE＋ED＝(136.6＋1.5)＝138.1≈138(m)
答：该建筑物的高度约为138m．
22. 已知二次函数经过点，，且最大值为4．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象；
（3）当时，结合函数图象，直接写出y的取值范围．
解：（1）设，则，则，解得：；
即，化为一般式为：；
（2）由（1）知，抛物线的对称轴为直线，
列表如下：
描点并连线，得到的函数图象如下：
（3）当时，，观察图象知，当时，．
23. 2022年举世瞩目的北京冬奥会的成功举办掀起了全民冰雪运动的热潮．图1、图2分别是一名滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的实物图与示意图，已知运动员的小腿与斜坡垂直，大腿与斜坡平行，G为头部，假设G，E，D三点共线且头部到斜坡的距离为，上身与大腿夹角，膝盖与滑雪板后端的距离长为，
（1）求此滑雪运动员的小腿的长度；
（2）求此运动员的身高．（运动员身高由三条线段构成；参考数据：，，）
解：（1）在中，，
解得，
∴此滑雪运动员的小腿ED的长度为．
（2）由（1）得，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
，
∴，
∴运动员的身高为．
24. 某商品现在的售价为每件元，每星期可卖出件，市场调查反映：如调整价格，每涨价元，每星期要少卖出件；每降价元，每星期可多卖出件，已知商品的进价为每件元，如何定价才能使利润最大．
解：设涨价元，利润为，
则
因此当时，有最大值．
元
每件定价为元时利润最大．
设每件降价元，总利润为，
则
因此当时，有最大值．
每件定价为元时利润最大．
综上所知每件定价为元时利润最大．
25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点B在轴上，且，直线与抛物线在第一象限交于点，连接．

（1）求抛物线的表达式及线段的长；
（2）若过点O的直线交线段于点P，将的面积分成两部分，请求出点P的坐标；
（3）在坐标平面内是否存在点N，使以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）将，代入得：
，解得，
抛物线的解析式为，
过点作轴于点D，

，
∴，，．
，，．
在中，．
在中，．
∴．
（2），，，，，
设直线的函数解析式解析式为，将、代入得：
，解得，
直线的函数解析式解析式为，
过点的直线交线段于点，将三角形的面积分成的两部分，
过作轴于，过作轴于，分两种情况：
①当时，如图：

，
，而，即，
，即，在中，令得，
，；
②当时，如图：

，
，
，
，即，
在中，令得，
，
；
综上所述，点坐标为或；
（3）点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，设，分三种情况：
①以、为对角线，此时中点与中点重合，
、，，
的中点为，，中点为，，
，解得，
，
②以、为对角线，此时中点与中点重合，
同理可得：，
解得，
，
③以、为对角线，此时中点与中点重合，
同理可得：，
解得，
，
综上所述，的坐标为：或或．


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