2023~2024学年山东省烟台市栖霞市(五四制)九年级(上)期中考试数学试卷(解析版)

这是一份2023~2024学年山东省烟台市栖霞市(五四制)九年级(上)期中考试数学试卷(解析版)，共16页。试卷主要包含了选择题，四象限，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1. 已知反比例函数，下列说法中错误的是（ ）
A. 图像经过点B. 图像位于第二、四象限
C. 图像关于直线对称D. 随的增大而增大
【答案】D
【解析】∵反比例函数，
当时，，
∴图像必经过，故A选项说法正确，不符合题意；
∵反比例函数的比例系数，
∴图像的两支分别位于第二、第四象限，且在每一象限内随的增大而增大，
故选项B说法正确，不符合题意；选项D说法不正确，符合题意，
∴图像关于直线对称，故选项C说法正确，不符合题意．
故选：D．
2. 在平面直角坐标系中，已知点与原点O的连线与x轴的正半轴的夹角为α，那么的值等于（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】C
【解析】过点作轴于点，如图所示：
由题意得：，∵，
∴，，则，
∴；故选：C．
3. 已知二次函数的解析式为，下列选项中，正确的是（ ）
A. 函数的最小值为1B. 函数图象的对称轴为直线
C. 函数图象的开口向下D. 当时，随的增大而增大
【答案】A
【解析】，
函数图象的开口向上，故C错误；
二次函数的解析式为，
该函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线，函数的最小值为1，
当时，随的增大而减小，故A正确，其它选项错误，故选：A．
4. 当长方形的面积S是常数时，长方形的长a与宽b之间关系的函数图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由长方形面积公式得，，且，故C选项符合题意，故选：C．
5. 如图，是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧与墙平行且距离为a米，一辆小汽车车门宽为b米，当车门打开角度为时，车门边缘的点A处与墙的距离为（ ）
A 米B. 米
C. 米D. 米
【答案】A
【解析】过点A作于点C，
在中，
∴车门边缘的点A处与墙的距离为米．
故选：A
6. 将抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】将抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是，即．
故选：C．
7. 如图，若反比例函数的图象经过点A，轴于点B，C点是y轴上一点，且的面积4，则k的值为（ ）
A. B. C. 4D. 8
【答案】D
【解析】如图所示，连接，
∵轴，
∴，
∴，
∵反比例函数的图象经过点A，
∴，
又∵反比例函数图象经过第三象限，
∴，
故选D．
8. 在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为，由此可知小宇此次训练实心球落地时的水平距离为（ ）
A. 85米B. 8米C. 10米D. 2米
【答案】B
【解析】当y＝0时，即，
解得：＝﹣2（舍去），＝8，
所以小宇此次实心球训练的成绩为8米．故选：B．
9. 若用我们数学课本上采用的科学计算器计算，按键顺序正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin42°16′，按键顺序正确的是
.故选：C．
10. 已知抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标，其部分图象如图所示，下列结论：
①抛物线过原点；②；
③；④抛物线的顶点坐标为；
⑤当时，y随x增大而增大．
其中结论正确的是（ ）
A. ①②③B. ①②④
C. ①③④D. ①③④⑤
【答案】C
【解析】∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为，结论①正确；
∵抛物线的对称轴为直线，
∴当和时，y值相同，且均为正，
∴，结论②错误；
∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线过原点，
∴，，
∴，，
∴，结论③正确；
当时，，
∴抛物线的顶点坐标为，结论④正确；
观察函数图象可知：当时，y随x增大而减小，结论⑤错误．
综上所述，正确的结论有：①③④．
故选：C．
二、填空题
11. 伟大的古希腊哲学家、数学家、物理学家阿基米德有句名言：“给我一个支点，我可以撬动地球！”这句名言道出了“杠杆原理”的意义和价值，“杠杆原理”在实际生产和生活中，有着广泛地运用，比如：小明用撬棍挑动一块大石头，运用的就是“杠杆原理”，即阻力×阻力臂＝动力×动力臂．已知阻力和阻力臂的函数图象如图所示，若小明想使动力不超过，则动力臂至少需要______m．

【答案】4
【解析】由题意得，设和阻力臂函数解析式为
将代入，
得
∵阻力×阻力臂＝动力×动力臂,
动力臂
∴动力臂的长为，
故答案为：4．
12. 如图，某河堤迎水坡的坡比，河堤高，则河堤的坡面的长为______m．
【答案】
【解析】，坡的坡比，
，
，
故答案为：．
13. 如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2 m时，水面宽度为4 m；那么当水位下降1m后，水面的宽度为_________m.
【答案】2
【解析】如图，建立平面直角坐标系，
设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），到抛物线解析式得出：a=﹣0.5，所以抛物线解析式为，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当y=﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出：，解得：x=，所以水面宽度增加到米，故答案为米．
14. 已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于M，N两点，它们的横坐标分别为，如图，则关于x的不等式的解为______．
【答案】或
【解析】两点的横坐标分别为，
故观察图象，可知的解集为或，
的解集为：或
故答案为：或．
15. 一艘轮船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔30海里的处，它沿北偏东方向航行一段时间后，到达位于灯塔的北偏东方向上的处，此时与灯塔的距离约为________海里．（参考数据：，，）
【答案】50
【解析】如图所示标注字母，
根据题意得，∠CAP=∠EPA=60°，∠CAB=30°，PA=30，
∴∠PAB=90°，∠APB=180°-67°-60°=53°，
∴∠B=37°，∆PAB为直角三角形，
∴，
∴BP=，
故答案为：50．
16. 如图，抛物线：与x轴只有一个公共点，与y轴交于点，虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移4个单位长度得抛物线，则图中两个阴影部分的面积和为______．
【答案】8
【解析】过抛物线的顶点D作轴，与y轴交于点C，如图所示，
因为
则四边形是矩形，
∵抛物线：与x轴只有一个公共点，与y轴交于点，
∴，，
将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线，则，
根据平移的性质及抛物线的对称性得到阴影部分的面积等于矩形的面积，
∴．
故答案为：8
三、解答题
17. 研究发现：初中生在数学课上的注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生注意力直线上升，中间一段时间，学生的注意力保持平稳状态，随后开始分散，注意力与时间呈反比例关系降回开始时的水平．学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示．
（1）求反比例函数的关系式，并求点A对应的指标值；
（2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由．
解：（1）设反比例函数的关系式为，
由图知，反比例函数过点，
代入解析式得，
解得，
∴反比例函数的关系式为，
当时，，
则A点对应的指标值为；
（2）不能，理由如下：
由图知学生的注意力指标最高为15，
故注意力指标达不到36．
18. 已知是锐角,且.求的值．
解：∵且是锐角，
∴，
∴
．
19. 已知抛物线（为常数）．
（1）当抛物线的顶点在第二象限时，求的取值范围．
（2）当时，先随的增大而增大，后随的增大而减小，且当时有最小值，求整数的值．
解：（1）∵
∴抛物线的顶点为
∵抛物线的顶点在第二象限
∴
解得：
（2）∵抛物线的对称轴为直线，且当时，先随的增大而增大，后随的增大而减小
∴
当时，；当时，
∵当时有最小值
∴
解得：
综上：
∴整数的值为
20. 如图,中,,点D在上,.若,,求的长．

解：∵在中，，
，
，
，
，
，
∴的长度为．
21. 如图,抛物线与x轴交于两点,与y轴交于点C．点P为抛物线第二象限上一动点，连接，求面积的最大值，并求出此时点P的坐标．

解：令，则，
∴，
设直线的解析式为，
把点B坐标代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
设P的横坐标是，则P的坐标是，
过点P作y轴的平行线交于M，则，

∴，
∴
∵，∴当时，有最大值，最大值是，
当时，，∴点P坐标为．
22. 如图，有一宽为米的旗子，小明在点处测得点的仰角为，随后小明沿坡度为的斜坡走到点处，又测得点的仰角为．已知米，米，求旗子的长度（测角器的高度忽略不计，结果保留整数．参考数据：）

解：过点作于，作，交的延长线于，

在中，，
∴，
米，米，
米
在中，米
在中，米，
米，
米），
答：旗子的宽度约为米．
23. 如图，点的坐标是，过点作轴的平行线交轴于点A，交双曲线（）于点，作交双曲线（）于点，连接．已知．

（1）求的值；
（2）求的面积．
解：（1）∵点的坐标为，
∴，．
∵，∴，
∴点的坐标为．
把代入中，得．
（2）∵，∴．
当时，．
∴．
∴．
24. 如图，抛物线的图象与x轴正半轴交于点A（3，0），与y轴交于点B（0，3）直线l的函数表达式为，
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）动点P在抛物线AB段上运动，经过点P作y轴的平行线交直线l于点Q，求线段PQ的取值范围．
解：（1）将点A、B坐标分别代入函数解析式可得：
，
解得：，
∴函数解析式：；
（2）设P（x，），（）
∵轴，
∴Q（x，），
∴根据图象可得：
PQ＝
当时，PQ取得最小值为；
当或3时，PQ取得最大值为；
∴线段PQ的取值范围为：．