四川省仁寿第一中学校（北校区）2025届高三上学期期中考试数学试题

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1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若是虚数单位，复数（ ）
A. B. C. D.
3．当阳光射入海水后，海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用表示其总衰减规律，其中是消光系数，（单位：米）是海水深度，（单位：坎德拉）和（单位：坎德拉）分别表示在深度处和海面的光强．已知某海域6米深处的光强是海面光强的，则该海域消光系数的值约为（ ）（参考数据：，）
A．0.2 B．0.18 C．0.15 D．0.14
4. 若向量，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知圆锥的母线长为13，侧面积为，则该圆锥的内切球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
6. 在直角坐标系中，已知直线与圆相交于两点，则的面积的最大值为（ ）
A. 1B. C. 2D.
7. 在中，已知，点是BC的中点，点是线段AD上一点，且，连接CE并延长交边AB于点，则线段CP的长度为（ ）
A. B. C. D.
8. 魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中一题是测海岛的高.如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，若，，，，则海岛的高为（ ）
A. 16B. 24C. 32D. 40
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 比亚迪将在2024年发布第二代刀片电池，能量密度更高，带来更长的续航里程，更耐低温，除此之外还将发布高压平台，实现充电分钟续航500公里．已知在每款新能源电车正式发布前要对每辆车进行续航､抗压等相关系数的测验，现随机抽取将要上市发布的8台新能源电车进行续航系数测评，得到下列一组样本数据：，则（ ）
A.这组数据的众数为1 B.这组数据的极差为3
C.这组数据的平均数为2.5 D.这组数据的分位数为2
10. 已知正方体的棱长为2，点分别是棱的中点，则（ ）
A. 直线与直线的夹角为
B. 直线与平面所成角的正弦值为
C. 点到平面的距离为
D. 三棱锥的外接球的半径为
11. 如图，由函数与的部分图象可得一条封闭曲线，则（ ）
A. 有对称轴
B. 的弦长的最大值为
C. 直线被截得弦长的最大值为
D. 的面积大于
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 展开式中的常数项为______．
13. 记为等差数列的前n项和．已知，则的最小值为________．
14. 已知正四棱台的上底面与下底面的边长之比为，其内切球的半径为1，则该正四棱台的体积为______.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．如图，在三棱锥中，平面，．

(1)求证：平面PAB；(2)求二面角的大小．
16．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求A的大小；（2）若外接圆半径为4，且，求的面积．
17．甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
(1)求第2次投篮的人是乙的概率；(2)求第次投篮的人是甲的概率；
(3)已知：若随机变量服从两点分布，且，则．
记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求．
18.已知，，平面上有动点，且直线的斜率与直线的斜率之积为1，
（Ⅰ）求动点的轨迹的方程.
（Ⅱ）过点的直线与交于点（在第一象限），过点的直线与交于点（在第三象限），记直线，的斜率分别为，，且.试判断与的面积之比是否为定值，若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由．
19．对于一个给定的数列，令，则数列称为数列的一阶和数列，再令，则数列是数列的二阶和数列，以此类推，可得数列的p阶和数列．
（1）若的二阶和数列是等比数列，且，，，，求；
（2）若，求的二阶和数列的前n项和；
（3）若是首项为1的等差数列，是的一阶和数列，且，，求正整数k的最大值，以及k取最大值时的公差．