四川省仁寿第一中学校（北校区）2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题

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第I卷（选择题部分，共58分）
一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合则（ ）
A. B. C. D.
2. 平面向量，，若，则实数（ ）
A. B. 9C. D. 7
3. 已知二项式的展开式中的系数是，则实数a的值为（ ）
A. B. 4C. D. 2
4.某班举行了由甲、乙、丙、丁、戊5名学生参加的“弘扬中华文化”的演讲比赛，决出第1名到第5名的名次.甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说，“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说，“你当然不会是最差的”从这个回答分析，5人的名次排列情况可能有（ ）
A. 36种B. 54种C. 58种D. 72种
5.已知等腰直角△ABC，AB=AC=,为边上一个动点，则的值为（ ）
A．1B．2C．D．
6. 若曲线在处的切线的倾斜角为，则（ ）
A. B. C. D.
7.已知数列是等差数列，若，，且数列的前项和有最大值，那么取得最小正值时等于（ ）
A．20B．17C．19D．21
8.设且,则下列结论正确的个数为（ ）.
A.1B.2C.3D. 4
二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数，把的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（ ）
A. 是奇函数 B. 的图象关于直线对称
C. 在上单调递增 D. 不等式的解集为
10.甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以和表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.事件与事件 相互独立 C. D.
11.已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A.若在上单调递增，则的取值范围是
B.点为曲线的对称中心
C.若过点可作出曲线的三条切线，则的取值范围是
D.若存在极值点，且，其中，则
第II卷（非选择题部分，共92分）
填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.
12.复数（i是虚数单位），则复数z的模为________．
13.已知函数的定义域为R，且为奇函数，其图象关于直线对称．当时，
，则________．
14．若对恒成立，则实数a的取值范围为__________.
四､解答题：本题共5个小题，共70分，其中15题13分，16､17题每题15分，17､18题每题17分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知向量，函数.
（1）求的最小正周期; （2）求的单调减区间；
（3）若函数在区间上恰有两个零点，求实数的取值范围.
16．（15分）已知数列的前n项和为，，数列为单调递增等比数列，，且，，成等差数列.
(1)求数列，的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
17．（15分）在中，角所对的边分别是，且满足.
(1)求角；
(2)若，求面积的最大值．
(3)如图，若外接圆半径为，为的中点，且，求
的周长.
18. （17分）如图，在研究某种粒子的实验装置中，粒子从腔室出发，到达腔室，粒子从室经过号门进入室后，等可能的变为上旋或下旋状态，粒子从室经过号门进入室后，粒子的旋转状态发生改变的概率为.粒子间的旋转状态相互独立.现有两个粒子从室出发.
（1）求两粒子进入室都为上旋状态的概率；
（2）若实验装置出现故障，两个粒子进入室后，共裂变为个粒子，裂变后的每个粒子再经过号门返回室的概率为，各粒子返回室相互独立.
①时，写出返回室的粒子个数的分布列、期望、方差；
②时，记有个粒子返回室的概率为，则为何值时，取最大值.
19.（17分）设函数.
（1）当时，判断在上的单调性； （2）当x>0时，证明：；
（3）设函数，若函数在上存在唯一极值点，求实数的取值范围.