经典奥数-行程问题18种类型精讲精练-小升初奥数应用题讲义-A4

这是一份经典奥数-行程问题18种类型精讲精练-小升初奥数应用题讲义-A4，共35页。试卷主要包含了相遇问题，追及问题，相遇与追及综合问题等内容，欢迎下载使用。
共五部分
第一部分：知识梳理
行程问题是小学数学中的典型应用题之一,与我们的日常生活联系十分密切,一直是竞赛及入学考试的热点，它的内容丰富而且千变万化。
行程问题的主要数量关系式是:速度×时间=路程。
它大致分为以下两种情况:
(1)相遇问题：指反向而行（含相向而行、相背而行）
速度和×相遇时间=路程和
相遇时间=路程和÷速度和
速度和=路程和÷相遇时间
速度和：表示单位时间里共行驶的路程
路程和：在一定时间里共行驶的总路程
(2)追及问题：指同向而行（速度慢的在前,快的在后。）
追及路程=速度差×追及时间
追及时间=追及路程÷速度差
速度差=追及路程÷追及时间
速度差：指在单位时间内多行驶的路程
追及路程：也称路程差，指的是在相同时间内多行驶的总路程
（3）相遇、追及综合
相遇与追及问题在同一题型中会同时出现，复杂多变，要熟练掌握数量之间件的逻辑关系，灵活运用公式解答。
解行程问题时，要注意充分利用线段图把题中的信息形象地表示出来,以帮助分析数量关系，利于迅速地找到解题思路。
第三部分：精讲精练部分（经典范例、能力冲浪）
一、相遇问题
1.一般相遇问题
（1）【经典范例】甲、乙两车分别从A、B两地同时相向开出,4小时后两车相遇,然后各自继续行驶3小时,此时甲车距B地10千米,乙车距A地80千米。甲车到达B地时乙车还要经过多长时间才能到达A地?
【解析】
解法一：
①甲、乙两车分别从A、B两地同时相向开出,4小时后两车相遇,说明甲、乙两车4小时共行了一个全程，则甲、乙两车每小时行全程的14；
②然后各自继续行驶3小时,此时甲车距B地10千米,乙车距A地80千米。两车再行了3小时，此时共行了全程的14×3=34，还剩下全程的1-34=14的路程就是10+80=90千米；
③得出全程为：90÷14=360（千米）；
④综合列式：（10+80）÷（1-14×3）=360（千米）
解法二：
①两车4小时行完一个全程；
②则两车再行了3小时，还剩下10+80=90千米路程未行完，即4-3=1小时的路程；
③两车速度和：（10+80）÷（4-3）=90千米/小时；
④全程：90×4=360千米；
⑤综合列式：（10+80）÷（4-3）×4=360（千米）
【能力冲浪】小明和小鹏开车同时从甲、乙两地相向开出，经过5小时相遇，然后又各自按原速原方向行驶3小时，这时小明离乙地还有135千米，小鹏离甲地还有165千米。甲、乙两地相距多少千米？
（2）盈亏行程。
【经典范例】一个通讯员骑自行车送紧急文件到某地。如果每小时行12千米，就要迟到15分钟，如果每小时行15千米，就能提前5分钟到达。通讯员去某地的路程是几千米?
【解析】
解法一：15分钟=14小时，5分钟=112小时
①如果每小时行12千米，就要迟到15分钟，假设按原时间到达，就的再行12×14=3（千米）（亏）
②如果每小时行15千米，就能提前5分钟到达，则按原时间到达，就多行了15×112=1.25（千米）（盈）
③再原定时间内，骑自行车的速度15千米/小时比速度12千米/小时多行了3+1.25=4.25千米；
④原定时间=4.25÷（15-12）=1712（分钟）；
⑤全程：15×（1712-112）=20千米。
列式：15分钟=14小时，5分钟=112小时
（12×14+15×112）÷（15-12）=1712（分钟）
15×（1712-112）=20千米
解法二：
①15分钟=14小时，5分钟=112小时
②解：设原定时间为x小时。
③根据路程不变列出方程式：
12×（x+14）=15×（x-112）
④解得x=1712
⑤全程：15×（1712-112）=20（千米）
【能力冲浪】某段路程,以每分钟80米的速度前进,可以提早15分钟到达。如果以每分钟60米的速度前进,就要迟到5分钟。那么预定几分钟到达?这段路程长多少米?
（3）比例行程
【经典范例】一架飞机所带油料最多可以用9小时，飞机去时顺风，每小时可以飞1500千米，飞回时逆风，每小时可以飞1200千米，问这架飞机最多可以飞出多少千米就需要往回飞?
【解析】
解法一：（反比例应用）
①飞机往返速度之比为1500:1200=5:4，则往返时间比为4:5；
②往返时间之和为9小时；
③按比分配：顺风速度为9÷（4+5）×4=4小时
④飞行距离为4×1500=6000千米；
⑤综合列式：1500:1200=5:4，9÷（4+5）×4×1500=6000（千米）
解法二：（方程法）
①解：设飞机顺风飞行x小时就需要往回飞。
②利用飞机往返路程相等，列出方程式
③1500x=1200（9-x），解得x=4
④行距离为4×1500=6000千米
解法三：顺风时间+逆风时间=总时间
解：设飞机飞行x千米就需要往回飞。
x1500+x1200=9，解得x=6000
【能力冲浪】一艘轮船所带的柴油最多可以用6小时，驶出时顺风，每小时行30千米；驶回时逆风，每小时行24千米。这艘轮船最多驶出多少米就应返航?
（4）火车行程
【经典范例】某列车通过 342米的隧道用了 23 秒,接着通过288米的隧道用了20 秒。这列火车与另一列长128米、速度为22米/秒的列车错车而过,需要几秒?
【解析】
①火车问题关键就是要考虑“车身”问题。
②火车23秒比20秒多多行的路程是342-288=54米；
③火车速度：（342-288）÷（23-20）=18米/秒；
④车身长度：20×18-288=72米
⑤错车问题就是相遇问题。路程和是两列火车长度之和；
⑥错车时间=路程和÷速度和=（72+128）÷（18+22）=5（秒）
列式：（342-288）÷（23-20）=18（米/秒）
20×18-288=72（米）
（72+128）÷（18+22）=5（秒）
【能力冲浪】火车驶过900米的铁路桥从车头上桥到车尾高桥共用1分25秒，紧接着列车又穿过一条长1800米的隧道，从车头进隧道到车尾离开隧道用了2分40秒，求火车的速度和车身长。
（5）工程型行程
【经典范例】自行车轮胎安装在前轮上行驶5000千米报废，若安装在后轮上只能行驶3000千米。为行驶尽可能多的路，如果采用当自行车行驶一定路程后将前后轮胎调换的方法，那么安装在自行车上的一对轮胎最多可行驶多少千米？
【解析】
①自行车前轮可行驶5000米，则每千米消耗前轮的15000
②自行车后轮可行驶3000米，则每千米消耗前轮的13000
③如果采用当自行车行驶一定路程后将前后轮胎调换的方法，那么安装在自行车上的一对轮胎最多可行驶路程就是同时消耗2个轮胎。
④行程：2÷（15000+13000）=3750（米）
2.中点相遇问题
【经典范例】甲、乙两人同时从东西两地相向而行，甲每分走80米，乙每分走65米，两人在距两地中点 240米处相遇。问:东西两地的距离是多少米?
【解析】
画图分析：
①甲、乙两人在距两地中点 240米处相遇，说明甲超过中点240米，看图得出，甲与乙行驶的路程相差240×2=480米；
②甲比乙多行了480米；
③甲每小时比乙多行了80-65=15千米/时；
④相遇时间：480÷15=32分钟；
⑤东西两地之间的距离为32×（80+65）=4640米；
⑥综合列式：240×2÷（80-65）×（80+65）=4640（米）
⑦答：东西两地之间的距离是4640米。
【能力冲浪】已知慢车的速度是快车的45，两车从甲、乙两站同时相向而行在离中点4千米的地方相遇。求甲、乙两站的距离是多少千米?
【经典范例】A、B两地相距285千米，有甲、乙、丙三人，甲、乙从A地，丙从B地同时出发相向而行，甲每小时行36千米，乙每小时行30千米，丙每小时行24千米，几个小时后，丙正好处于甲、乙之间的中点？
【解析】
画图分析：
①可以先求出甲、乙的平均速度，如果甲和乙都以平均速度行驶就刚好都与丙相遇；
②甲、乙的平均速度为（36+30）÷2=33千米/小时
③则与丙相遇时间为285÷（33+24）=5（小时）
④则5个小时后，丙正好处于甲、乙之间的中点。
【能力冲浪】A、B两地相距432千米，有甲、乙、丙三人，甲、乙从A地，丙从B地同时出发相向而行，已知甲每小时行36千米，乙每小时行30千米，丙每小时行24千米，问几个小时之后，乙正好在甲、丙两人的中点？
3.往返相遇问题
【经典范例】二人上午6时同时从A城到B城去，甲每小时比乙快6千米。上午10时甲到B城后立即返回A城在距B城15千米处遇到乙，求A、B两城相距多少千米?(直线往返)
【解析】
画图分析：
①从图中可以看出，甲与乙两人在离B地15千米处相遇，此时甲比乙多行了2个15千米。
②甲比乙一共多行了15×2=30千米；
③甲比乙每小时多行6千米；
④相遇时间为30÷6=5小时；
⑤因为甲车行完一个全程要10-6=4小时，所以从B城返回后两人相遇再行了5-4=1小时的路程为15千米；
⑥甲车速度：15÷[15×2÷6-（10-6）]=15千米/时；
⑦A、B两地全程：15×4=60（千米）；
综合列式：15÷[15×2÷6-（10-6）]×4=60（千米）
【能力冲浪】从A地到B地，甲车需要行驶10小时，乙车需要行驶8小时。现在两车同时从A地出发开往B地，当乙车到达B地时，立即原路原速返回A地，在离B地30千米处与甲车相遇。A、B两地相距多少千米？
4.两次相遇问题
【经典范例】甲、乙两辆汽车从A、B两地同时相向而行,速度比为7:11,相遇后两车继续行驶,分别到达B、A两地后立即返回。当第二次相遇时,甲车距B地80km。A、B两地相距多少千米?
【解析】
解法一：
画图分析：
①在相同时间里内，甲、乙所行的路程比是7:11，所以两车第一次相遇时所行的路程比是7:11，则全程为7+11=18份的路程；（如图所示）
②两车共行驶一个全程，甲行驶的路程为7份。两车的第二次相遇时共行驶了三个全程，所以甲车一共行了7×3=21份的路程；
③则甲车到达B地返回时，再次行了21-18=3份的路程，即80千米；
④所以全程为80÷3×18=480千米；
综合列式：80÷[7×3-（7+11）]×（7+11）=480（千米）
解法二：
①在一个全程里甲车行了全程的77+11；
②在三个全程里甲车行了77+11×3=76；
③超过全程76-1=16，即80千米。
④全程：80÷16=480千米
综合列式：80÷（77+11×3-1）=480（千米）
【能力冲浪】甲、乙两车分别从A、B两地同时相向开出,第一次在离A地95km处相遇。相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回,第二次在离B地25km处相遇。A、B两地间的距离是多少于米?
【经典范例】A、B两地相距 1000 米,甲、乙两人分别从A、B两地同时出发,
在A、B两地间往返散步。如果两人第一次相遇时距A、B两地的中点100米,那么,两人第二次相遇地点距第一次相遇地点多远?
【解析】
①假设甲的速度快，乙的速度慢；
②则甲在一个全程里行了1000÷2+100=600米，离A地的距离是600米；
③二次相遇时，两车共行了三个全程。那么甲在三个全程里共行了600×3=1800米，离A点的距离是1000×2-1800=200米处与乙车相遇；
④所以两次相遇点之间的距离为600-200=400米。
综合列式：600-[1000×2-（1000÷2+100）×3]=400（米）
【能力冲浪】兄、妹二人在周长30米的圆形水池边玩,从同一点同时背向绕水池行走。哥哥每秒走 1.3米,妹妹每秒走1.2米。他们从出发到第二次相遇时,哥哥距出发点多远?
5.变速相遇问题
【经典范例】甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，相向而行，出发时他们的速度比是3:2。他们第一次相遇后，甲的速度提高了20%，乙的速度提高了30%，这样当甲到达B地时，乙离A地还有14千米。那么A、B两地间的距离是多少千米？
【解析】
画图分析：
①相遇后速度比：3×（1+20%）：2×（1+30%）=3.6:2.6=18:13，即乙速是甲速的1318。
②相遇后当甲到达B地再行了2份路程时，乙车应行了2×1318=139份路程，乙车此时离目的地A点还有3-139=149份路程，即14千米。
综合列式：甲速：乙速=3×（1+20%）：2×（1+30%）=3.6:2.6=18:13
全程： 14÷（3-2×1318）×（2+3）=45（千米）
答：（略）
或：14÷（35 -25×1318）=45（千米）
【能力冲浪】甲、乙两车分别从 A、B两地同时出发相向而行。出发时,甲与乙的速度比是4:3,相遇后,甲的速度增加10%,乙的速度增加20%,这样当甲到达 B地时,乙离A 地还有17 千米,那么 A、B两地相距多少千米?
【经典范例】一辆汽车从甲地开往乙地,如果把车速提高20%,可以比原来提前1小时到达;若以原速行驶120 千米后，再将车速提高25%，则可提前40分钟到达。问甲、乙两地相距多少千米?
【解析】
①此题利用反比例解决问题；
②前后车速之比为1:（1+20%）=5:6，则前后时间比为6:5，时间差1小时。所以这辆汽车以原速行完全程的时间为1÷（6-5）×6=6小时；
③若以原速行驶120 千米后，再将车速提高25%，则可提前40分钟到达。此时汽车前后速度比为1:（1+25%）=4:5，所行时间比是5:4，相差40分钟。所以所以这辆汽车在行驶120千米之后，以原速行完全程的时间为40÷（5-4）×5=200分钟=103小时；
④所以行驶的120千米对应的时间为6-103=83小时；
⑤原速为120÷83=45千米/时；
⑥全程为45×6=270（千米）
综合列式：
1:（1+20%）=5:6 1÷（6-5）×6=6（小时）
1:（1+25%）=4:5 40÷（5-4）×5=200分钟=103（小时）
120÷（6-103）×6=270（千米）
【能力冲浪】甲、乙两人分别从A、B两地同时出发,相向而行,出发时他们的速度比为3:2,他们第一次在C地相遇后,甲的速度提高了20%,乙的速度提高了 30%,当甲到达B地时,乙离A地还有42 千米，A、B两地间的距离是多少千米?
6.时钟相遇问题
【经典范例】从12点开始,至少经过多少分钟，时针和分针都与12点整时所在位置的夹角相等？(如图中的∠1=∠2)。
【解析】
①12点整开始，经过多长时间时针与分针的与数字12的格点形成的夹角相等，即∠1=∠2.
②时针走的角度是∠2的度数，分针走的角度是360°-∠1；
③则时针一共旋转的角度是360°-∠1+∠2=360°；
④所以可以把时针与分针看作是一共走了360°。
⑤时针速度是每分钟转0.5°，分针每分钟转6°。
⑥相遇时间=路程和÷速度和=360°÷（6°+0.5°）=55513分钟；
7.火车错车问题
【经典范例】某列车通过 342米的隧道用了 23 秒,接着通过288米的隧道用了20 秒。这列火车与另一列长128米、速度为22米/秒的列车错车而过,需要几秒?
【解析】
①火车问题关键就是要考虑“车身”问题。
②火车23秒比20秒多多行的路程是342-288=54米；
③火车速度：（342-288）÷（23-20）=18米/秒；
④车身长度：20×18-288=72米
⑤错车问题就是相遇问题。路程和是两列火车长度之和；
⑥错车时间=路程和÷速度和=（72+128）÷（18+22）=5（秒）
列式：（342-288）÷（23-20）=18（米/秒）
20×18-288=72（米）
（72+128）÷（18+22）=5（秒）
二、追及问题
1.返回追及问题
【经典范例】兄弟两人结伴出去秋游，每分钟走60米,出发20分钟时,哥哥返回家取照相机并停留 5分钟,然后骑自行车以每分钟285米的速度追赶弟弟,哥哥追到弟弟时离家多少米?
【解析】
①哥哥往返并在家停留了5分钟，则相当于哥哥让弟弟先出发20×2+5=45分钟；
②此时弟弟行了45×60=2700米（路程差）
③基本公式：追及时间=路程差÷速度差=2700÷（285-60）=12分钟
④哥哥追上弟弟时离家的距离是12×285=3420米
综合列式：（20+20+5）×60÷（285-60）×12=3420（米）
【能力冲浪】甲、乙两人以60 米/分的速度同时、同地、同向步行出发,走15 分钟后,甲返回原地取东西,而乙继续前进,甲取东西用5分钟的时间，然后改骑自行车以360米/分的速度去追乙几分钟后,甲才能追上乙？
2.和差行程问题
【经典范例】如图,某城市东西路与南北路交会于路口A。甲在路口A南边 560米的B点,乙在路口A。甲向北,乙向东同时匀速行走。4分钟后两人距 A的距离相等。再继续行走24分钟后,两人距 A的距离恰又相等。则甲、乙两人的速度各是多少?（和差法求速度）
【解析】
画图分析：
①从图①可以看出，4分钟后两人所行的路程距A的距离相等，即AD=CA,所以甲所行的路程BC加上乙所行的路程AD刚好是560米，即BC+AD=BC+CA=560,即甲、乙两人所行的路程之和为560米;
②从图②可以看出，24分钟后两人所行的路程距A的距离相等，即AE=AF,所以甲所行的路程BE减去乙所行的路程AF刚好是560米，即BE-AF=BC-AE=560，即甲、乙所行的路程之差为560米。
③利用和差法求出甲、乙两人的速度；速度和为560÷4=140米/分钟，速度差为560÷（4+24）=20米/分钟；
④甲速：（140+20）÷2=80米/分钟，乙速：（140-20）÷2=60米/分钟；
综合列式：
甲速：[560÷4+560÷（4+24）]÷2=80米/分钟，乙速：[560÷4-80=60米/分钟.
【能力冲浪】两艘速度相同的小船保持着600米的间距，从河的上游往下开。A、B两人在河岸上同一地点。当前面的小船来到两人的面前时，A向河的上游，B向河的下游以相同的速度走了出去。这样，A在2分钟后遇上了后面的船，B在5分钟后被后面的船追上了。A、B两人的速度是每分钟多少米？
3.钟面追及问题
【经典范例】晚上8 点刚过,不一会聪聪开始做作业，时针与分针正好成一条直线。做完作业再看钟，还不到9点,而且分针与时针恰好重合。聪聪做完作业用了多长时间?
【解析】
①把分针尖端在钟面上转动一周的路程看作60小格,则分针转动的速度是1小格/分,时针转动的速度是112小格/分。
②如图所示,开始时时针与分针正好成一条直线，即分针落后时针30小格，结束时分针与时针恰好重合，即分针落后时针30格，分针比时针多走了30小格； ③再根据“路程差÷速度差=追及时间”即可解决问题。
30÷（1-112）=36011=32811（分钟）
【能力冲浪】从早上五点钟起,分针和时针成直角的第一时间是多少时多少分?
4.转换追及问题
【典型例题】甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，他们两人下山的速度都是各自上山速度的2倍，甲到山顶时乙距山顶还有600米，甲回到山脚时乙刚好下到半山腰，求从山脚到山顶的距离。
【解析】
①把下山路程转换为都上山路程，再得出甲、乙两人速度比（路程比）
②甲回到山脚时行了2个全程，乙此时回到半山腰行了1.5个全程。
③由于两人下山速度是上山速度的2倍，则上山爬的路程是下山行走路程的一半。
④路程转换：甲下山行走的1个全程，转换为上山0.5个全程，所以甲所行的路程相当于上山行了1+1÷2=1.5个全程；同理乙所行的路程相当于上山行了1+0.5÷2=1.25个全程；
⑤所以甲、乙两人在相同时间内所行的路程比为1.5:1.25=6:5；
⑥甲到山顶时，乙离山顶还有600米，即两人的路程差为600米；
⑧山顶到山脚的路程为：600÷（6-5）×6=3600米
列式：（1+1÷2）：（1+0.5÷2）=6:5
600÷（6-4）×6=3600（米）
【能力冲浪】甲、乙两人同时从山底开始沿同一条山路爬山，到达山顶后立即沿原路返回。已知他们两人下山的速度都是各自上山速度的3倍，甲乙在离山顶150米处相遇，当甲回到山底时，乙刚好下到半山腰，求山底到山顶的路程。
5.比例追及问题
【经典范例】甲、乙、丙三辆汽车同时从A地匀速开往相距100千米的B地，当甲车到达B地时，乙车离B地还有20千米，丙车离B地还有40千米。当乙车到达B地时，丙车离B地还有多少千米?(比例行程问题)
【解析】
①在相同时间内，乙车与丙车所行的路程比是（100-20）：（100-40）=4:3
②当乙车行完100米时，丙车所行的路程是100÷4×3=75千米；
③丙车离B地还有100-75=25千米
综合列式：
（100-20）：（100-40）=4:3
100-100÷4×3=25（千米）
【能力冲浪】甲、乙、丙三人都以均匀的速度练习400米跑步，同时起跑，当甲到达终点时，乙离终点80米，丙离终点160米;当乙到达终点时，丙离终点多少米?
6.多人追及问题
【经典范例】快、中、慢三辆车同时从A地沿同一公路开往B地，途中有一骑车人也同方向行进．这三辆车分别用7分、8分、14分追上骑车人．已知快车每分行800米，慢车每分行600米，求中速车的速度。（四人追及问题）
【解析】
①解：设汽车人的速度为x米/分。利用快中慢三辆车追上骑车人的追及路程相等列出方程；
②快车与慢车与骑车人的追及路程相等7×（800-x）=14×（600-x）
③解得骑车人的速度为x=400
④追及路程（路程差）：7×（800-400）=2800米
⑤中车速度：2800÷8+400=750（米/分）
【能力冲浪】快、中、慢3辆车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面的一个骑车人．这3辆车分别用6分钟、10分钟、12分钟追上骑车人．现在知道快车每小时走24千米，中车每小时走20千米，那么，慢车每小时走多少千米?
三、相遇与追及综合问题
1.三人行程问题
【典型例题1】有甲、乙、丙三人,甲每分钟走100m,乙每分钟走80m,丙每分钟走75m。现在甲从东村,乙、丙两人从西村同时出发相向而行,在途中甲与乙相遇6分钟后，甲又与丙相遇。那么东、西两村之间的距离是多少米?
【解析】
解法一；
画图分析：
①甲、丙6分钟相遇共行了6×（100+75）=1050米；
②此1050米就是甲与乙相遇时，乙、丙两人路程差；
③甲、乙相遇时时间=1050÷（80-75）=210分钟；
④全程为210×（100+80）=37800米；
综合列式：6×（100+75）÷（80-75）×（100+80）=37800（米）
解法二：
①解：设甲、乙x分钟相遇，则甲、丙（x+6）分钟相遇；
②数量关系：甲、乙合行一个全程=甲、丙合行一个全程；
③（100+80）x=（100+75）（x+6）
解得x=210
④全程为210×（100+80）=37800（米）。
【能力冲浪】甲、乙、丙三人同时同地出发绕环形广场行走，乙、丙两人同方向行走，甲与乙、丙两人相背而行。甲每分钟走40m,乙每分钟走38 m,丙每分走36m,甲和乙相遇3分钟后和丙相遇。这个广场的周长是多少米?
2.和差行程问题
【经典范例】一列队伍长 630米,以每秒钟2.5米的速度行进。通讯员因事要从排尾赶到排头，并立即返回排尾。若他每秒钟跑4.5米，那么经过几秒钟，通讯员可以返回排尾？（和差行程）
【解析】
①通讯员从排尾赶到排头，与队伍最前面的队员形成追及问题；然后由从排头赶到排尾，与队尾人员形成相遇问题。
②队伍长度630米，在排尾赶到排头为追及路程，在返回队尾时与队尾人员相遇又是路程和。
③通讯员赶到排头为：追及时间=路程差÷速度差=630÷（4.5-2.5）=315秒
④通讯员又从排头赶到排尾为：相遇时间=路程和÷速度和=630÷（4.5+2.5）=90秒
⑤往返总时间：315+90=405秒
综合列式：630÷（4.5-2.5）+630÷（4.5+2.5）=405（秒）
【能力冲浪】甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，如果两人同向而行,甲30分钟追上乙;如果两人相向而行，6分钟相遇。已知乙每分钟走 50 米,则A、B两地相距多少米？
3.流水行程问题
【经典范例】一只船在河里航行，顺流而行时航速为每小时20千米。已知此船顺水航行3小时和逆水航行5小时所行的路程相等，问船速和水速分别为多少?（比例行程）
【解析】
解法一：
顺流航行时间：逆流航行时间=3:5，
顺流航行速度：逆流航行速度=5:3
顺流航行速度为每小时20千米；
逆流航行速度：20÷5×3=12千米/时
应用和差法求船速和水速：船速+水速=20，船速-水速=12；
船速=（20+12）÷2=16（千米/时）
水速=（20-12）÷2=4（千米/时）
解法二：
解：设船速为每小时x千米，则水速为（20-x）千米/时，逆流速度为（2x-20）千米/时。
3×20=5（2x-20），解得x=16；
水速：20-16=4（千米/时）
【能力冲浪】一艘轮船从甲港顺水顺风开往乙港，时速35千米，从乙港回甲港时，逆水逆风，时速14千米，往返一次共用17小时.这艘轮船共行了多少千米?
4.漂流行程
【经典范例】某河有相距45千米的上、下两个港口，甲、乙两艘速度相同的观光游轮分别从这两个港口同时出发相向而行，甲船刚出发时，游客的一顶草帽掉入河中，草帽随着河水漂流，4分钟后与甲船相距1千米.预计乙船出发几小时可以与这顶草帽相遇?
【解析】
漂流物速度为水速，甲、乙船的顺水速度为：船速+水速，逆水速度为：船速-水速；
①漂流物与甲船同向，两者速度差=船速+水速-水速=船速
②漂流物与甲船相向，两者速度和=船速-水速+水速=船速
③所以在流水行船问题中，相遇和追及问题中，水速抵消，可以不考虑水速，则④漂流物就像在陆地上不动，船页没有水速，就是船本身速度。
④甲船速度：1÷4=0.25千米/分钟
⑤乙船与漂流物相遇时间：45÷（1÷4）=180分钟=3（小时）
【能力冲浪】有甲、乙两船，甲船和水中漂流物同时由上游A处顺江而下，乙船也同时从下游B处沿江而上，甲船行3小时后与溧流物相距90千米。乙船行11小时后与漂流物相遇。两船的划速相同。求A、B间地距离是多少?
5、接送行程
【经典范例】小明和小刚乘火车外出旅行,离开车时间只有2小时,他们家离车站 12千米,两人徒步每小时只能走4千米,按着这个速度非误车不可,恰好小华骑自行车经过,就先将小明带了9千米，让小明自己步行,接着返回原路接小刚。小华在距离他们家3千米处遇到小刚,带着小刚追小明,这样他们三人同时到达车站,你知道他们在开车前几分钟到达车站的吗?
【解析】
①小华在9千米处放下小明再返回接小刚，在离家3千米处与小刚相遇；
②小华与小刚在相等时间内所行的路程比是（9×2-3）:3=5:1；
③所以小华其自行车速度是5×4=20千米/时
④全程时间：3÷4+（12-3）÷20=1.2（小时）
⑤在开车前2-1.2=0.8小时=48分钟到达车站。
第四部分：经典测试部分
（测试时间：30分钟）
1.（中点相遇问题）从A地到B地，甲车需要行驶10小时，乙车需要行驶8小时。现在两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，相遇时甲车离两地中点还有30千米。A、B两地相距多少千米？
2.（二次相遇问题）甲、乙两人分别从A、B两地同时出发,相向而行。甲、乙的速度比是5:3。两人相遇后继续行进,甲到达B地,乙到达A地后立即沿原路返回。若两人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点50千米,则 A、B两地相距多少千米?
3.（二次相遇问题）如图，A、B是圆的直径的两端，小张在A点，小王在B点同时出发反向行走，他们在C点第一次相遇，C离A点80米；在D点第二次相遇，D点离B点6O米.求这个圆的周长.
4.（变速行程）客、货两车分别从甲、乙两地同时出发,相向而行。出发时客、货车的速度比是6:5。相遇后,客车的速度减少20%,货车的速度增加20%，这样，当货车到达甲地时,客车离乙地还有10千米,那么甲、乙两地相距多少千米?
5.（返回追及）甲、乙两车同时从A地向B地开出,甲车每小时行38km,乙车每小时行34km,开出1小时后甲车因有紧急任务返回A地;到达A地后又立即向B地开出追乙车,当甲车追上乙车时两车正好都到达B地。求A、B两地的路程。
6.（钟面行程）文文下午练琴时抬头看了下表,这时是5点45分,经过多少分钟,时针和分针第一次重合？
7.(转换行程)从甲地到乙地，先骑自行车行驶19分钟，再骑摩托车行驶8分钟到达。如果骑摩托车行驶10分钟，再骑自行车行驶13分钟也恰好到达。如果全程都骑自行车，要行多少分钟?
8.（比例行程）张平和李华进行200米赛跑，同时起跑，当张平离终点80米时，李华离终点140米; 张平跑到终点时，李华离终点多少米?
9.（多人追及）甲、乙、丙三车同时从A地沿同一公路开往B地，途中有个骑摩托车的人也在同方向行进，这三辆车分别用7分钟、8分钟、14分钟追上骑摩托车人。已知甲车每分钟行1000米，丙车每分钟行800米，求乙速车的速度是多少？
10.（三人行程）甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走60米，乙每分钟走67.5米，丙每分钟走75米，甲、乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过2分钟与甲相遇，求东西两镇间的路程有多少米？
12.（和差行程）父子两人在一长400m的环形跑道上跑步,他俩同时从同一地点出发,若相背而行267分钟相遇;若同向而行2623分钟父亲可以追上儿子。在跑道上跑一圈父、子各需要多少分钟?
13.（流水行程）一条河流经过A、B两座城市.一条船在河上顺流航行的速度是每小时30公里;逆流航行的速度是每小时22公里，乘船从A到B花费的时间是与从B到A花费的时间之差为4小时，那么，A、B两座城市之间的距离是多少公里?
14.（流水行程）一船向相距240海里的某港出发，到达目的地前48海里处，速度每小时减少10海里，到达后所用的全部时间与原速度每小时减少4海里航行全程所用的时间相等，求原来的速度.
第五部分：参考答案部分
能力冲浪参考答案
1.【能力冲浪】小明和小鹏开车同时从甲、乙两地相向开出，经过5小时相遇，然后又各自按原速原方向行驶3小时，这时小明离乙地还有135千米，小鹏离甲地还有165千米。甲、乙两地相距多少千米？
【解析】
①小明和小鹏开车两车分别从甲、乙两地同时相向开出,5小时后两车相遇,说明甲、乙两车5小时共行了一个全程，则甲、乙两车每小时行全程的15；
②然后各自继续行驶3小时,此时小明离乙地135千米,小鹏离甲地165千米。两车再行了3小时，此时共行了全程的15×3=35，还剩下全程的1-35=25的路程就是165+135=300千米；
③得出全程为：300÷25=750（千米）；
④综合列式：（165+135）÷（1-15×3）=750（千米）
2.【能力冲浪】某段路程,以每分钟80米的速度前进,可以提早15分钟到达。如果以每分钟60米的速度前进,就要迟到5分钟。那么预定几分钟到达?这段路程长多少米?
【解析】
①因为路程不变，使用方程解答
②设预定x分钟到达。
80×(x-15)=60×(x+5)
80x-1200=60x+300
80x-60x=1200+300
20x=1500
x=75
③这段路程长:80×(75-15)=4800(米)
3.【能力冲浪】一艘轮船所带的柴油最多可以用6小时，驶出时顺风，每小时行30千米；驶回时逆风，每小时行24千米。这艘轮船最多驶出多少米就应返航?
【解析】
解法一：
顺风时间：逆风时间= EQ \f(1,30) ： EQ \f(1,24) =4：5
顺风时间：6× EQ \f(4,4+5) = EQ \f(8,3) （小时）
航距：30× EQ \f(8,3) =80（千米）
解法二：
解：设顺风飞行了x小时，逆风飞行了（6-x）小时。30x=24（6-x），得x= EQ \f(8,3) ，航距：30× EQ \f(8,3) =80（千米）
解法三：
解：设航距为x千米。
EQ \f(x,30) + EQ \f(x,24) =6,得x=80
4. 【能力冲浪】火车驶过900米的铁路桥从车头上桥到车尾高桥共用1分25秒，紧接着列车又穿过一条长1800米的隧道，从车头进隧道到车尾离开隧道用了2分40秒，求火车的速度和车身长。
【解析】
①火车问题关键就是要考虑“车身”问题。1分25秒=85秒，2分40秒=160秒；
②火车160秒比85秒多多行的路程是1800-900=900米；
③火车速度：（1800-900）÷（160-85）=12米/秒；
④车身长度：160×12-1800=120米
列式：1分25秒=85秒，2分40秒=160秒
（1800-900）÷（160-85）=12（米/秒）
160×12-1800=120（米）
5. 【能力冲浪】已知慢车的速度是快车的45，两车从甲、乙两站同时相向而行在离中点4千米的地方相遇。求甲、乙两站的距离是多少千米?
【解析】
解法一：采用路程差比问题方法解题
①慢车与快车速度比为4:5，因为同时出发，所以行驶的路程之比也是4:5；
②因为快车超过中点4千米，说明快车比慢车多行驶了4×2=8千米；
③快车比慢车多行了5-4=1份的路程；
④全程为8÷1×（4+5）=72千米；
⑤综合列式：4×2÷（5-4）×（5+4）=72（千米）
解法二：采用分数除法量率对应方法解题
①因为慢车速度是快车速度的45，所以所行驶路程慢车是快车的45；
②所以慢车比快车少行驶1-45=15；
③慢车比快车少行驶4×2=8千米；
④快车所行驶的路程：8÷15=40千米；
⑤全程为：40+40×45=72千米；
⑥综合列式:4×2÷（1-45）×（1+45）=72（千米）
6. 【能力冲浪】A、B两地相距432千米，有甲、乙、丙三人，甲、乙从A地，丙从B地同时出发相向而行，已知甲每小时行36千米，乙每小时行30千米，丙每小时行24千米，问几个小时之后，乙正好在甲、丙两人的中点？
【解析】
①可以先求出甲、乙的平均速度，如果甲和乙都以平均速度行驶就刚好都与丙相遇；
②甲、乙的平均速度为（36+30）÷2=33千米/小时
③则与丙相遇时间为432÷（33+24）=51719（小时）
④则51719个小时后，丙正好处于甲、乙之间的中点。
7. 【能力冲浪】从A地到B地，甲车需要行驶10小时，乙车需要行驶8小时。现在两车同时从A地出发开往B地，当乙车到达B地时，立即原路原速返回A地，在离B地30千米处与甲车相遇。A、B两地相距多少千米？
【解析】
①甲、乙两车速度分别是110、18；
②相遇时；甲、乙两车共行了2个全程
③相遇时间2÷（110+18）=809小时；
④甲车行了全程的809×110=89；相遇时甲车距离B地还有1-89=19的距离就是30千米；
⑤全程为30÷19=270（千米）
综合列式：30÷[1-2÷（110+18）×110]=270（千米）
8.【能力冲浪】甲、乙两车分别从A、B两地同时相向开出,第一次在离A地95km处相遇。相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回,第二次在离B地25km处相遇。A、B两地间的距离是多少于米?
【解析】
①第二次相遇时甲、乙两车共行了3个全程，一个全程甲车行95千米，3个全程甲车共行了3个95千米；
②甲车行驶总路程：95×3=285千米；
③甲车在离B地25千米处与乙车相遇，此时甲车行驶的路程为1个全程加25千米；
④A、B两地距离为285-25=260千米。
综合列式：95×3-25=260（千米）
9.【能力冲浪】兄、妹二人在周长30米的圆形水池边玩,从同一点同时背向绕水池行走。哥哥每秒走 1.3米,妹妹每秒走1.2米。他们从出发到第二次相遇时,哥哥距出发点多远?
【解析】
①环形跑道上的二次相遇问题（与直线上二次相遇问题不同）；
②在环形跑道上两人背向而行，第一次相遇兄妹两人共行了1个全程（1圈），再次相遇两人又行了1个全程（1圈），所以兄妹二人经过二次相遇时，两人共行了2圈，即30×2=60米；
③相遇时间：60÷（1.3+1.2）=24（秒）；
④哥哥行的路程：1.3×24=31.2（米）
⑤哥哥超过出发点31.2-30=1.2（米）
综合列式：30×2÷（1.3+1.2）×1.3-30=1.2（米）
10.【能力冲浪】甲、乙两车分别从 A、B两地同时出发相向而行。出发时,甲与乙的速度比是4:3,相遇后,甲的速度增加10%,乙的速度增加20%,这样当甲到达 B地时,乙离A 地还有17 千米,那么 A、B两地相距多少千米?
【解析】
①甲、乙两车车速度比是4:3，则相遇时两车所行的路程比也是4:3，甲车行了全程的43+4，乙车行了全程的33+4；
②相遇后的速度比是4×（1+10%）：3×（1+20%）=11:9；所以当甲车到达B地再行了33+4时，乙车再行的路程是甲车的911，即33+4×911=2777；
③此时乙车离A地还有43+4-2777=1777；
④全程为17÷1777=77（千米）
综合列式：4×（1+10%）：3×（1+20%）=11:9
17÷[43+4-33+4×911]=77（千米）
11.【能力冲浪】甲、乙两人分别从A、B两地同时出发,相向而行,出发时他们的速度比为3:2,他们第一次在C地相遇后,甲的速度提高了20%,乙的速度提高了 30%,当甲到达B地时,乙离A地还有42 千米，A、B两地间的距离是多少千米?
【解析】
①相遇后速度比：3×（1+20%）：2×（1+30%）=3.6:2.6=18:13，即乙速是甲速的1318。
②相遇后当甲到达B地再行了2份路程时，乙车应行了2×1318=139份路程，乙车此时离目的地A点还有3-139=149份路程，即42千米。
综合列式：甲速：乙速=3×（1+20%）：2×（1+30%）=3.6:2.6=18:13
全程：42÷（3-2×1318）×（2+3）=135（千米）
12.【能力冲浪】甲、乙两人以60 米/分的速度同时、同地、同向步行出发,走15 分钟后,甲返回原地取东西,而乙继续前进,甲取东西用5分钟的时间，然后改骑自行车以360米/分的速度去追乙几分钟后,甲才能追上乙？
【解析】
①甲往返时间是15+15=30分钟，此时乙已经行了30×60=1800米；
②此时甲、乙两人的路程差为1800米；
③速度差为360-60=300米/分；
④追及时间为1800÷300=6分钟；
综合列式：15×2×60÷（360-60）=6（分钟）
甲、乙两人结伴出去春游，每分钟走50米，出发12分钟时，甲回家取照像机，然后骑自行车以每分钟200米的速度追赶乙，甲骑车多少分钟追上乙?
①甲往返时间为12×2=24分钟；
②此时甲、乙两人相距24×50=1200米（路程差）；
③甲、乙速度差=200-50=150米/分
④追及时间=1200÷150=8（分钟）
综合列式：12×2×50÷（200-50）=8（分钟）
13. 【能力冲浪】两艘速度相同的小船保持着600米的间距，从河的上游往下开。A、B两人在河岸上同一地点。当前面的小船来到两人的面前时，A向河的上游，B向河的下游以相同的速度走了出去。这样，A在2分钟后遇上了后面的船，B在5分钟后被后面的船追上了。A、B两人的速度是每分钟多少米？
【解析】
①相遇与追及、和差问题综合题型。
②船与人的速度之和为600÷2=300（米/分钟）
③速度差为600÷5=120（米/分钟）
④人的速度为（300-120）÷2=90（米/分钟）
14. 【能力冲浪】从早上五点钟起,分针和时针成直角的第一时间是多少时多少分?
【解析】
路程差为25-15=10格
10÷（1-112）=12011=101011（分钟）
15.【能力冲浪】甲、乙两人同时从山底开始沿同一条山路爬山，到达山顶后立即沿原路返回。已知他们两人下山的速度都是各自上山速度的3倍，甲乙在离山顶150米处相遇，当甲回到山底时，乙刚好下到半山腰，求山底到山顶的路程。
【解析】
①把下山路程转换为都上山路程，再得出甲、乙两人速度比（路程比）
②甲回到山脚时行了2个全程，乙此时回到半山腰行了1.5个全程。
③由于两人下山速度是上山速度的3倍，则上山爬的路程是下山行走路程的13；
④路程转换：甲下山行走的1个全程，转换为上山13个全程，所以甲所行的路程相当于上山行了1+1÷3=43个全程；同理乙所行的路程相当于上山行了1+0.5÷3=76个全程；
⑤所以甲、乙两人在相同时间内所行的路程比为43: 76=8：7；
⑥甲到山顶时，乙离山顶还:150米，即两人的路程差为150米；
⑧山顶到山脚的路程为：150÷（8-7）×8=1200米
列式：（1+1÷3）：（1+0.5÷3）=8:7
150÷（8-7）×8=1200（米）
16.【能力冲浪】甲、乙、丙三人都以均匀的速度练习400米跑步，同时起跑，当甲到达终点时，乙离终点80米，丙离终点160米;当乙到达终点时，丙离终点多少米?
【解析】
①在相同时间内，乙车与丙车所行的路程比是（400-80）：（400-160）=4:3
②当乙车行完400米时，丙车所行的路程是400÷4×3=300千米；
③丙车离B地还有400-300=100千米
综合列式：
（400-80）：（400-160）=4:3
400÷4×3=300（千米）
400-300=100（千米）
17.【能力冲浪】快、中、慢3辆车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面的一个骑车人．这3辆车分别用6分钟、10分钟、12分钟追上骑车人．现在知道快车每小时走24千米，中车每小时走20千米，那么，慢车每小时走多少千米?
【解析】
①快车追上骑车人时，快车（骑车人）与中车的路程差为（24÷60-20÷60）×6=0.4 (千米);
②中车追上这段路用了10-6=4分钟)，所以骑车人与中车的速度差为10-6=4 (千米/小时);
③则骑车人的速度为10-6=4 (千米/小时);
④所以三车出发时与骑车人的路程差为10-6=4 (千米);
⑤慢车与骑车人的速度差为10-6=4（千米/小时）;
⑥所以慢车速度为14+5=19（千米/小时）.
18.【能力冲浪】甲、乙、丙三人同时同地出发绕环形广场行走，乙、丙两人同方向行走，甲与乙、丙两人相背而行。甲每分钟走40m,乙每分钟走38 m,丙每分走36m,甲和乙相遇3分钟后和丙相遇。这个广场的周长是多少米?
【解析】
①解：设甲、乙x分钟相遇，则甲、丙（x+3）分钟相遇；
②数量关系：甲、乙合行一个全程=甲、丙合行一个全程；
③（40+38）x=（40+36）（x+3）
解得x=114
④全程为114×（40+38）=8892（米）
19. 【能力冲浪】甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，如果两人同向而行,甲30分钟追上乙;如果两人相向而行，6分钟相遇。已知乙每分钟走 50 米,则A、B两地相距多少米？
【解析】
解法一：
①此题为追及、相遇问题。
②甲、乙两人的追及时间为30分钟，相遇时间为6分钟；
③速度和：甲、乙两人每分钟行全程的16；
④速度差：甲比乙每分钟快130；
⑤乙每分钟行全程的（16-130）÷2=115；即乙每分钟行50米；
⑥全程：50÷115=750（米）。
综合列式：50÷[（16-130）÷2]=750（米）
解法二：
①相遇与追及时间比为6:30=1:5；
②相遇与追及速度比为5:1；
③相遇速度与追及速度差5-1=4为2倍的乙速，乙的速度是50米/分钟；
④甲、乙速度和：50÷[（5-1）÷2]×5=125米/秒；
⑤全程为125×6=750米。
综合列式：
6:30=1:5，50÷[（5-1）÷2]×5×6=750（米）
20.【能力冲浪】一艘轮船从甲港顺水顺风开往乙港，时速35千米，从乙港回甲港时，逆水逆风，时速14千米，往返一次共用17小时.这艘轮船共行了多少千米?
【解析】
解法一：（反比例解决问题）
①往返速度比为35:14=5:2；
②往返时间比2:5，时间之和为17小时；
③顺风顺水所用时间为17÷（2+5）×2；
④共航行路程为17÷（2+5）×2×35=170（千米）。
综合列式：35:14=5:2，17÷（2+5）×2×35=170（千米）
方程法：
①设：顺风顺水航行时间为x小时。
②列出方程式：35x=14（17-x）
③解得x=347
④共航行路程为347×35=170（千米）
21.【能力冲浪】有甲、乙两船，甲船和水中漂流物同时由上游A处顺江而下，乙船也同时从下游B处沿江而上，甲船行3小时后与溧流物相距90千米。乙船行11小时后与漂流物相遇。两船的划速相同。求A、B间地距离是多少?
【解析】
①流水行程问题中的相遇和追及问题可以不考虑水速。
②船速：90÷3=30（千米/时）
③全程：11×30=330（千米）
经典测试参考答案
1.（中点相遇问题）从A地到B地，甲车需要行驶10小时，乙车需要行驶8小时。现在两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，相遇时甲车离两地中点还有30千米。A、B两地相距多少千米？
【解析】
方法一：
①相遇时甲、乙两车速度比8:10=4:5（即路程比）
②路程差为30×2=60千米；
③全程60÷（5-4）×（5+4）=540（千米）
方法二：
①甲、乙两车速度分别是每小时行全程的110、18；
②遇时间1÷（110+18）=409小时；
③甲车行了全程的409×110=49，距离中点还有12-49=118；
④全程为30÷118=540千米
综合列式：30÷[12-1÷（110+18）×110]=540（千米）
2.（二次相遇问题）甲、乙两人分别从A、B两地同时出发,相向而行。甲、乙的速度比是5:3。两人相遇后继续行进,甲到达B地,乙到达A地后立即沿原路返回。若两人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点50千米,则 A、B两地相距多少千米?
【解析】
画图分析：
①二次相遇时甲乙两人共行了三个全程。
②在一个全程里，乙所行的距离占全程的35+3，即此时相遇点距离B地的距离占全程的38；
③在三个全程里乙所行的距离是38×3=98；距离A地98-1=18，距离B地还有1-18=78；
④此时两次相遇点之间的距离占全程的78-38=12；
⑤全程为50÷12=100千米
综合列式：50÷（2-35+3×3-35+3）=50（千米）
3.（二次相遇问题）如图，A、B是圆的直径的两端，小张在A点，小王在B点同时出发反向行走，他们在C点第一次相遇，C离A点80米；在D点第二次相遇，D点离B点6O米.求这个圆的周长.
【解析】
①第一次相遇，两人合起来走了半个周长；
②第二次相遇，两个人合起来又走了一圈．从出发开始算，两个人合起来走了一周半；
③因此，第二次相遇时两人合起来所走的行程是第一次相遇时合起来所走的行程的3倍，那么从A到D的距离，应该是从A到C距离的3倍；
④即A到D是80×3=240（米），240-60=180（米），180×2=360（米）。
4.（变速行程）客、货两车分别从甲、乙两地同时出发,相向而行。出发时客、货车的速度比是6:5。相遇后,客车的速度减少20%,货车的速度增加20%，这样，当货车到达甲地时,客车离乙地还有10千米,那么甲、乙两地相距多少千米?
【解析】
①客车与货车相遇后速度比：6×（1-20%）：5×（1+20%）=4:5，即客车速度是货车的45。
②相遇后当或到达甲地再行了5份路程时，客车应行了6×45=245份路程，客车此时离目的地乙地还有份路程5-245=15份的路程，即10千米。
综合列式：
客车速度：货车速度=6×（1-20%）：5×（1+20%）=4:5
全程： 10÷（5-6×45）×（2+3）=250（千米）
5.（返回追及）甲、乙两车同时从A地向B地开出,甲车每小时行38km,乙车每小时行34km,开出1小时后甲车因有紧急任务返回A地;到达A地后又立即向B地开出追乙车,当甲车追上乙车时两车正好都到达B地。求A、B两地的路程。
【解析】
①往返甲车耽误了2个小时，此时甲、乙两车所行路程差为2×34=68千米；
②再次出发追及乙车时间为68÷（38-34）=17小时
③AB两地距离为17×38=646千米
④综合列式：1×2×34÷（38-34）×38=646（千米）
6.（钟面行程）文文下午练琴时抬头看了下表,这时是5点45分,经过多少分钟,时针和分针第一次重合？
【解析】
画图分析：
①5点45分时针与分针的夹角30°×3+1560×30°=97.5°；
②时针每分钟旋转0.5°，分针每分钟旋转6°。
③当时针与分针成一条直线，即成平角180°；
④当时针与分针反向成一条直线时，分针要多行180°-97.5°=82.5°；
⑤追及时间=路程差÷速度差=82.5°÷（6°-0.5°）=15分钟
综合列式：[180°-（30°×3+1560×30°）]÷（6°-0.5°）=15（分钟）
7. (转换行程)从甲地到乙地，先骑自行车行驶19分钟，再骑摩托车行驶8分钟到达。如果骑摩托车行驶10分钟，再骑自行车行驶13分钟也恰好到达。如果全程都骑自行车，要行多少分钟?
【解析】
①时间转换比例行程。
②自行车19分钟+摩托车8分钟=自行车13分钟+摩托车10分钟
③得到自行车（19-13）分钟的路程=摩托车（10-8）分钟的路程
④自行车3分钟路程=摩托车1分钟路程
⑤转换：自行车19分钟+摩托车8分钟=自行车19分钟+自行车8×3=24分钟
⑥即全程骑自行车时间为19+24=43分钟
8. （比例行程）张平和李华进行200米赛跑，同时起跑，当张平离终点80米时，李华离终点140米; 张平跑到终点时，李华离终点多少米?
【解析】
①同等时间里张平与李华所行的路程比是（200-80）：（200-140）=2:1；
②张平跑到终点时，李华跑的路程：200÷2×1=100米；
③离终点的路程：200-100=100（米）
9.（多人追及）甲、乙、丙三车同时从A地沿同一公路开往B地，途中有个骑摩托车的人也在同方向行进，这三辆车分别用7分钟、8分钟、14分钟追上骑摩托车人。已知甲车每分钟行1000米，丙车每分钟行800米，求乙速车的速度是多少？
【解析】
①甲与丙行驶7分钟的距离差为：（1000－800）×7＝1400（米），也就是说当甲追上骑摩托车人的时候，丙离骑摩托车人还有1400米；
②丙用了14-7=7（分）钟追上了这1400米；
③所以丙车和骑摩托车人的速度差为：1400÷（14－7）＝200（米/分）；
④骑摩托车人的速度为：800－200＝600（米/分）；
⑤三辆车与骑摩托车人的初始距离为：（1000－600）×7＝2800（米），
⑥乙车追上这2800米一共用了8分钟;
⑦所以乙车的速度为：2800÷8＋600＝950（米/分）。
10. （三人行程）甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走60米，乙每分钟走67.5米，丙每分钟走75米，甲、乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过2分钟与甲相遇，求东西两镇间的路程有多少米？
【解析】
那2分钟是甲和丙相遇，所以距离是（60+75）×2=270米，这距离是乙、丙相遇时间里甲、乙的路程差所以乙、丙相遇时间=270÷（67.5-60）=36分钟，所以路程=36×（67.5+75）=5130米。
11.（差比行程）一船从甲地驶往乙地顺水而行，每小时行28千米，到达乙地后，又逆水上行到甲地，逆水上行比顺水下行多用了2小时，已知水流速度为每小时4千米，甲、乙两地相距多远?
【解析】
①顺水速度：逆水速度=28：（28-4×2）=7:5；
②顺水时间：逆水时间=5:7；
③顺水航行与逆水航行时间差为2小时；
④时间差比问题：顺水航行时间为2÷（5+7）×5
⑤全程：2÷（5+7）×5×28=703（千米）
12.（和差行程）父子两人在一长400m的环形跑道上跑步,他俩同时从同一地点出发,若相背而行267分钟相遇;若同向而行2623分钟父亲可以追上儿子。在跑道上跑一圈父、子各需要多少分钟?
【解析】
①父子两人速度和为400÷267=140（米/分）
②父子两人速度差为400÷2623=15（米/分）
③父的速度为（140+15）÷2=77.5（米/分）
④子的速度为（140-15）÷2=62.5（米/分）
13.（流水行程）一条河流经过A、B两座城市.一条船在河上顺流航行的速度是每小时30公里;逆流航行的速度是每小时22公里，乘船从A到B花费的时间是与从B到A花费的时间之差为4小时，那么，A、B两座城市之间的距离是多少公里?
【解析】
①顺水速度：逆水速度=30：22=15:11；
②顺水时间：逆水时间=11:15；
③顺水航行与逆水航行时间差为4小时；
④时间差比问题：顺水航行时间为4÷（15+11）×11；
⑤全程：4÷（15+11）×11×30=82.5（千米）
14.（流水行程）一船向相距240海里的某港出发，到达目的地前48海里处，速度每小时减少10海里，到达后所用的全部时间与原速度每小时减少4海里航行全程所用的时间相等，求原来的速度.
【解析】
①解：设原来的速度为x海里/小时；
②所用全部时间=每小时减少4海里航行全程时间
③240−48x+48x−10=240x−4
④解得x=16