备战2025年高考数学精品教案大题规范3解三角形（Word版附解析）

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学生用书P134
考情综述 解三角形解答题，常出现在大题的前两题位置，难度中等偏易，是高考得分的基本组成部分.主要考查正、余弦定理的应用，常需要结合三角恒等变换进行求解，注重考查基础知识、基本方法在解题中的灵活运用，以及数学抽象、数学运算和逻辑推理素养.
从近几年的命题情况来看，高频命题角度有求三角形的边、角、面积、周长问题，解三角形中的最值与范围问题，三角形中的高线、中线模型等.
在解题过程中，要注意灵活使用三角恒等变换公式，注意挖掘题目中隐含的各种限制条件，选择合理的解决方法，灵活地实现问题的转化.在书写表达方面，应注意推理的充分性，确保“会而不失分”！
示例 [2023新高考卷Ⅰ/10分]已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin（A－C）＝sin B.
（1）求sin A；
（2）设AB＝5，求AB边上的高.
思维导引 （1）A＋B＝3CA+B+C=π求出角C2sin（A－C）＝sin BB往A转化求解sin A的值
（2）AB＝5由1得C与sin A的值用正弦定理得BC余弦定理得AC等面积法得AB边上的高
规范答题
（1）在△ABC中，A＋B＋C＝π，
因为A＋B＝3C，所以3C＋C＝π，
所以C＝π4.（1分）→注意三角形的内角和为π在解题中的应用.
因为2sin（A－C）＝sin B，
所以2sin （A－π4）＝sin（3π4－A），（2分）→将含有三个角的三角等式，往要求的角A转化.
展开并整理得2（sin A－cs A）＝22（cs A＋sin A），（3分）→两角差的正弦公式与两角差的余弦公式不要搞混.
得sin A＝3cs A，（4分）
又sin2A＋cs2A＝1，且sin A＞0，所以sin A＝31010.（5分）→注意条件“sin2A＋cs2A＝1”在解题中的应用.
（2）由正弦定理，得BCsinA＝ABsinC，
得BC＝ABsinC×sin A＝522×31010＝35，（6分）
由（1）知，sin A＝31010，cs A＝1010，则sin B＝sin（A＋C）＝sin（A＋π4）＝sin Acs π4＋cs Asin π4＝31010×22＋1010×22＝255.（8分）→第（1）问中没有别的条件，其结论可以在第（2）问中合理使用.
设AB边上的高为h，则h＝BC×sin B＝35×255＝6，
所以AB边上的高为6.（10分）
感悟升华
解三角形问题的答题策略
1.转化思想的运用.即会把已知三角等式，利用正弦、余弦定理进行转化，若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑用正弦定理实现“角化边”；若式子中含有边的齐次式，优先考虑用正弦定理实现“边化角”；若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑用余弦定理实现“角化边”.另外，还需注意三角形内角和、大边对大角等在解题中的应用.
2.会作图.根据题意作出草图，借助图形的直观性，可快速找到思维突破口.
3.活用方法.求高问题可利用等面积法，求范围、最值问题可利用基本不等式、单调性法等进行求解.
4.正确运用三角公式.牢记三角的有关公式，如同角三角函数基本关系式，诱导公式，二倍角公式，两角和（差）的正弦、余弦、正切公式，辅助角公式等，并能灵活运用这些公式求解.
训练 [2024广东七校联考/10分]已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，3cbcsA＝tan A＋tan B.
（1）求B；
（2）若c＝4，求△ABC面积的取值范围.
解析 （1）由正弦定理可得3cbcsA＝3sinCsinBcsA，（1分）
又tan A＋tan B＝sinAcsA＋sinBcsB＝sinAcsB＋csAsinBcsAcsB＝sin（A＋B）csAcsB＝sin（π－C）csAcsB＝sinCcsAcsB，
3cbcsA＝tan A＋tan B，（3分）
所以3sinCsinBcsA＝sinCcsAcsB，
由C∈（0，π），可得sin C＞0，所以tan B＝3，
又B∈（0，π），所以B＝π3.（求角时一定要先确定角的范围）（5分）
（2）解法一 由（1）知B＝π3，又c＝4，所以S△ABC＝12acsin B＝3a，（6分）
由B＝π3，A＋B＋C＝π，可得A＋C＝23π，则A＝2π3－C，
因为△ABC是锐角三角形，所以0＜C＜π2，0＜A＝2π3－C＜π2，所以π6＜C＜π2，（注意锐角三角形的限制）（7分）
由正弦定理asinA＝csinC且c＝4，得a＝csinAsinC＝4sinAsinC＝4sin（2π3－C）sinC＝23tanC＋2，（8分）
因为π6＜C＜π2，所以tan C＞33，所以0＜1tanC＜3，所以2＜23tanC＋2＜8， （9分）
所以23＜S△ABC＜83，即△ABC面积的取值范围为（23，83）.（10分）
解法二 由（1）知B＝π3，又c＝4，所以S△ABC＝12acsin B＝3a. （6分）
由B＝π3，c＝4，结合余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accsπ3＝a2－4a＋16， （7分）
△ABC为锐角三角形应满足csA>0，csB>0，csC>0，即b2＋c2＞a2，a2＋c2＞b2，a2＋b2＞c2，即a2－4a+16+16>a2，a2+16>a2－4a+16，a2＋a2－4a+16>16，解得2＜a＜8， （9分）
所以23＜S△ABC＜83，即△ABC面积的取值范围为（23，83）. （10分）