内蒙古包头市高新区2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷

这是一份内蒙古包头市高新区2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）9的平方根是（ ）
A．±3B．3C．D．
2．（3分）下列计算结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4B．6，7，8C．9，40，45D．
4．（3分）已知点P的坐标为（﹣6，5），则点P关于y轴的对称点的坐标是（ ）
A．（﹣6，﹣5）B．（6，5）C．（6，﹣5）D．（5，﹣6）
5．（3分）已知（3，y1）和（﹣1，y2）是直线y＝﹣3x上的两点，则y1和y2的大小关系是（ ）
A．y1＜y2B．y1＞y2
C．y1＝y2D．以上都有可能
6．（3分）若是关于x、y的方程x+ay＝3的一个解，则a的值为（ ）
A．1B．﹣1C．3D．﹣3
7．（3分）若x，y为实数，且，则点P（x，y）到y轴的距离为（ ）
A．﹣5B．2C．5D．﹣2
8．（3分）如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形E的面积是81，则图中所有正方形的面积和是（ ）
A．81B．162C．243D．324
9．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax和y＝x+a（a为常数，a＜0）的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（3分）有一张直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE（如图），则CD等于（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每题3分，共21分）
11．（3分）若无理数a满足1＜a＜4，请你写出一个符合条件的无理数 ．
12．（3分）正比例函数y＝kx的图象如图所示，则k的值为 ．
13．（3分）已知点A（a+3，3a﹣6）在x轴上，则点A的坐标是 ．
14．（3分）比较大小： 2； 3.85； ．
15．（3分）如图，在坡度为1：2的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6m，则斜坡上相邻两树间的坡面距离是 m．
16．（3分）在解关于x，y的方程组时，可以用①×2+②消去未知数x，也可以用①+②×5消去未知数y，则m﹣n＝ ．
17．（3分）如图，已知直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，以点A为圆心，AB为半径画弧，交x轴于点C，则OC＝ ．
三、解答题（共49分）
18．（6分）计算：
（1）；
（2）．
19．（6分）解方程组：
（1）；
（2）．
20．（8分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）分别写出下列各点的坐标：A ；B ；C ．
（2）画出△ABC关于x轴对称的图形△A'B'C'．
（3）若点P（x，y）是△ABC内部一点，则△A'B'C'内部的对应点P'的坐标为 ．
（4）△ABC的面积为 ．
21．（10分）甲、乙两辆车先后从A地出发到B地，甲车出发1h后，乙车才出发，如图所示的l1和l2表示甲、乙两车离出发地的距离y（km）与乙车行驶时间x（h）之间的关系．
（1）表示乙车离出发地的距离y与乙车行驶时间x之间关系的是 （填l1或l2）；
（2）试分别确定甲、乙两车离出发地的距离y（km）与乙车行驶时间x（h）之间的关系式．
（3）乙车能在1.5h内追上甲车吗？若能，说明理由；若不能，求乙车行驶几小时才能追上甲车．
22．（9分）如图，一只小鸟旋停在空中A点，A点到地面的高度AB＝20米，A点到地面C点（B，C两点处于同一水平面）的距离AC＝25米．
（1）求出BC的长度；
（2）若小鸟竖直下降到达D点（D点在线段AB上），此时小鸟到地面C点的距离与下降的距离相同，求小鸟下降的距离．
23．（10分）如图所示，在平面直角坐标系中，直线y＝x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B．过点B作BC⊥AB于点B，交x轴于点C．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）求直线BC的函数表达式；
（3）在直线AB上是否存在点P，使△ACP的面积是△ABC面积的2倍？若存在，出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2024-2025学年内蒙古包头市高新区八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）9的平方根是（ ）
A．±3B．3C．D．
【分析】根据平方根的定义计算即可得出结论．
【解答】∵（±3）2＝9，
∴9的平方根是±3，
故选：A．
2．（3分）下列计算结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据二次根式的混合运算法则一一计算判断即可．
【解答】解：A、2+≠2，本选项错误，不符合题意；
B、＝＝2，本选项正确，符合题意；
C、＝2，本选项错误，不符合题意；
D、＝＝，本选项错误，不符合题意．
故选：B．
3．（3分）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4B．6，7，8C．9，40，45D．
【分析】根据勾股定理的逆定理分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、22+32≠42，不能构成直角三角形，故选项A不符合题意；
B、62+72≠82，不能构成直角三角形，故选项B不符合题意；
C、92+402≠452，不能构成直角三角形，故选项C不符合题意；
D、12+（）2＝（）2，能构成直角三角形，故选项D符合题意；
故选：D．
4．（3分）已知点P的坐标为（﹣6，5），则点P关于y轴的对称点的坐标是（ ）
A．（﹣6，﹣5）B．（6，5）C．（6，﹣5）D．（5，﹣6）
【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数可直接写出答案．
【解答】解：点P关于y轴的对称点的坐标是（6，5）．
故选：B．
5．（3分）已知（3，y1）和（﹣1，y2）是直线y＝﹣3x上的两点，则y1和y2的大小关系是（ ）
A．y1＜y2B．y1＞y2
C．y1＝y2D．以上都有可能
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征解答即可．
【解答】解：由解析式可知：k＝﹣3＜0，y随x的增大而减小，
∵3＞﹣1，
∴y1＜y2．
故选：A．
6．（3分）若是关于x、y的方程x+ay＝3的一个解，则a的值为（ ）
A．1B．﹣1C．3D．﹣3
【分析】把x、y的值代入方程，得出一个关于a的新方程，求出方程的解即可．
【解答】解：∵是关于x、y的方程x+ay＝3的一个解，
∴代入，得1+2a＝3，
解得a＝1，
故选：A．
7．（3分）若x，y为实数，且，则点P（x，y）到y轴的距离为（ ）
A．﹣5B．2C．5D．﹣2
【分析】先根据算术平方根以及绝对值的非负数的性质求出x与y的值，再根据坐标的知识点进行解题即可．
【解答】解：∵，
∴x＝﹣5，y＝2，
∴P的坐标为（﹣5，2），
∴点P到y轴的距离为|﹣5|＝5．
故选：C．
8．（3分）如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形E的面积是81，则图中所有正方形的面积和是（ ）
A．81B．162C．243D．324
【分析】根据正方形的面积公式，运用勾股定理可以证明：6个小正方形的面积和等于最大正方形面积的2倍．
【解答】解：根据勾股定理得到：A与B的面积的和是M的面积；C与D的面积的和是N的面积；而M，N的面积的和是E的面积．
即A、B、C、D、M、N的面积之和为2个E的面积．
∵正方形E的面积是81，
∴A、B、C、D、M、N、E的面积之和为81×3＝243．
故选：C．
9．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax和y＝x+a（a为常数，a＜0）的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据正比例函数和一次函数的性质，可以得到函数y＝ax和y＝x+a的图象经过哪几个象限，本题得以解决．
【解答】解：∵a＜0，
∴函数y＝ax是经过原点的直线，经过第二、四象限，
函数y＝x+a是经过第一、三、四象限的直线，
故选：D．
10．（3分）有一张直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE（如图），则CD等于（ ）
A．B．C．D．
【分析】首先设CD＝xcm，由折叠的性质可得：AD＝BD＝（8﹣x）cm，然后在Rt△ACD中，利用勾股定理即可得方程：62+x2＝（8﹣x）2，解此方程即可求得答案．
【解答】解：设CD＝xcm，则BD＝BC﹣CD＝8﹣x（cm），
由折叠的性质可得：AD＝BD＝（8﹣x）cm，
在Rt△ACD中：AC2+CD2＝AD2，
即：62+x2＝（8﹣x）2，
解得：x＝．
∴CD＝．
故选：C．
二、填空题（每题3分，共21分）
11．（3分）若无理数a满足1＜a＜4，请你写出一个符合条件的无理数 π ．
【分析】估计一个无理数a满足1＜a＜4，写出即可，如π、等．
【解答】解：∵无理数a满足1＜a＜4，
∴无理数可以是π，
故答案为：π．
12．（3分）正比例函数y＝kx的图象如图所示，则k的值为 ．
【分析】由函数图象可知点（3，4）在函数上，因此将此点代入函数解析式即可求得k值．
【解答】解：由图知，点（3，4）在函数y＝kx上，
∴3k＝4，
解得：k＝．
故答案为：．
13．（3分）已知点A（a+3，3a﹣6）在x轴上，则点A的坐标是 （5，0） ．
【分析】由横轴上点的纵坐标为0可得3a﹣6＝0，解之求出a的值，再代入点A的坐标可得答案．
【解答】解：∵点A（a+3，3a﹣6）在x轴上，
∴3a﹣6＝0，
解得a＝2，
则a+3＝5，
∴点A的坐标为（5，0），
故答案为：（5，0）．
14．（3分）比较大小： ＜ 2； ＞ 3.85； ＜ ．
【分析】根据实数的大小比较法则进行解答即可．
【解答】解：∵3＜4，
∴，
∴；
∵3.852＝14.8225，15＞14.8225，
∴，
∴；
∵
＝
＝，
∴．
故答案为：＜，＞，＜．
15．（3分）如图，在坡度为1：2的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6m，则斜坡上相邻两树间的坡面距离是 3 m．
【分析】利用垂直距离：水平宽度得到水平距离与斜坡的比，把相应的数值代入即可．
【解答】解：∵坡度为1：2，＝，且株距为6米，
∴株距：坡面距离＝2：，
∴坡面距离＝株距×＝3（米）．
另解：∵CB：AB＝1：2，
设CB＝x，AB＝2x，
∴AC＝＝x，
∴＝，
∵AB＝6m，
∴AC＝×6＝3m．
故答案为：3．
16．（3分）在解关于x，y的方程组时，可以用①×2+②消去未知数x，也可以用①+②×5消去未知数y，则m﹣n＝ ．
【分析】根据题意得出方程组，求出m、n的值，再计算m﹣n即可．
【解答】解：由①×2+②消去未知数x，可得2（m+1）+n＝0，
由①+②×5消去未知数y，可得﹣n+5m＝0，
所以，
解得，
所以m﹣n＝，
故答案为：．
17．（3分）如图，已知直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，以点A为圆心，AB为半径画弧，交x轴于点C，则OC＝ 2﹣2 ．
【分析】先根据坐标轴上点的坐标特征得到A（﹣2，0），B（0，4），再利用勾股定理计算出AB＝2，然后根据圆的半径相等得到AC＝AB＝2，再利用OC＝AC﹣AO进行计算即可．
【解答】解：当y＝0时，2x+4＝0，解得x＝﹣2，则A（﹣2，0）；
当x＝0时，y＝2x+4＝4，则B（0，4），
所以AB＝＝2，
因为以点A为圆心，AB为半径画弧，交x轴于点C，
所以AC＝AB＝2，
所以OC＝AC﹣AO＝2﹣2．
故答案为2﹣2．
三、解答题（共49分）
18．（6分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）化简各个二次根式合并同类二次根式即可；
（2）利用平方差公式，完全平方公式计算即可．
【解答】解：（1）原式＝+6﹣4
＝3；
（2）原式＝（）2﹣（）2﹣（1﹣2+2）
＝2﹣3﹣1+2﹣2
＝﹣4+2．
19．（6分）解方程组：
（1）；
（2）．
【分析】（1）直接利用加减消元法解方程组即可；
（2）先将原方程组变形，再根据加减消元法解方程组即可．
【解答】解：（1），
①+②，得3x＝9，
解得x＝3，
把x＝3代入②，得y＝﹣2，
所以方程组的解是；
（2），
方程组可化为，
②×3，得9x﹣3y＝﹣3③，
③﹣①，得5x＝﹣15，
解得x＝﹣3，
把x＝﹣3代入②，得y＝﹣8，
所以原方程组的解是．
20．（8分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）分别写出下列各点的坐标：A （﹣2，4） ；B （﹣5，2） ；C （﹣4，5） ．
（2）画出△ABC关于x轴对称的图形△A'B'C'．
（3）若点P（x，y）是△ABC内部一点，则△A'B'C'内部的对应点P'的坐标为 （x，﹣y） ．
（4）△ABC的面积为 ．
【分析】（1）由图可得答案．
（2）根据轴对称的性质作图即可．
（3）根据轴对称的性质可得答案．
（4）利用割补法求三角形的面积即可．
【解答】解：（1）由图可得，A（﹣2，4），B（﹣5，2），C（﹣4，5）．
故答案为：（﹣2，4）；（﹣5，2）；（﹣4，5）．
（2）如图，△A'B'C'即为所求．
（3）由题意得，△A'B'C'内部的对应点P'的坐标为（x，﹣y）．
故答案为：（x，﹣y）．
（4）△ABC的面积为＝＝．
故答案为：．
21．（10分）甲、乙两辆车先后从A地出发到B地，甲车出发1h后，乙车才出发，如图所示的l1和l2表示甲、乙两车离出发地的距离y（km）与乙车行驶时间x（h）之间的关系．
（1）表示乙车离出发地的距离y与乙车行驶时间x之间关系的是 l2 （填l1或l2）；
（2）试分别确定甲、乙两车离出发地的距离y（km）与乙车行驶时间x（h）之间的关系式．
（3）乙车能在1.5h内追上甲车吗？若能，说明理由；若不能，求乙车行驶几小时才能追上甲车．
【分析】（1）通过分析函数图象就可以得出l2表示B车离出发地的距离y与追赶时间x之间的关系；
（2）根据速度＝路程÷时间就可以求出两车的速度，根据题意得出函数关系式即可；
（3）设B车行驶a小时可以追上A车，由追击问题的等量关系建立方程求出其解；
【解答】解：（1）由函数图象得：
l2表示乙车离出发地的距离y与追赶时间x之间的关系；
故答案为：l2；
（2）甲车的速度为＝60（km/h），乙车的速度为＝90（km/h）；
甲车的函数的关系式为：y1＝60x+60；
乙车的函数关系式为：y2＝90x；
（2）设乙车行驶a小时可以追上甲车，由题意得：
90a＝60+60a，
解得：a＝2．
∵1.5＜2，
∴乙车不能在1.5小时内追上甲车．
乙车追上甲车时，乙车行驶了2小时．
22．（9分）如图，一只小鸟旋停在空中A点，A点到地面的高度AB＝20米，A点到地面C点（B，C两点处于同一水平面）的距离AC＝25米．
（1）求出BC的长度；
（2）若小鸟竖直下降到达D点（D点在线段AB上），此时小鸟到地面C点的距离与下降的距离相同，求小鸟下降的距离．
【分析】（1）在直角三角形中运用勾股定理即可求解；
（2）在Rt△BDC中，根据勾股定理即可求解．
【解答】解：（1）由题意知∠B＝90°，
∵AB＝20米，AC＝25米．
∴BC＝＝15米，
（2）设AD＝x，则CD＝x，BD＝20﹣x，
在Rt△BDC中，DC2＝BD2+BC2，
∴x2＝（20﹣x）2+152，
解得x＝，
∴小鸟下降的距离为米．
23．（10分）如图所示，在平面直角坐标系中，直线y＝x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B．过点B作BC⊥AB于点B，交x轴于点C．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）求直线BC的函数表达式；
（3）在直线AB上是否存在点P，使△ACP的面积是△ABC面积的2倍？若存在，出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据直线与坐标轴交点坐标的求法求出点A和点B坐标即可；
（2）根据题给条件，可直接得到直线BC的解析式；
（3）设点P的坐标为（m，m+6），利用面积关系建立方程，求出m值即可得到点P坐标．
【解答】解：（1）∵直线y＝x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B．
∴A（﹣6，0），B（0，6）；
（2）∵BC⊥AB于点B，
∴kBC＝﹣1，
∵B（0，6），
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+6；
（3）由直线BC解析式y＝﹣x+6，可得C（6，0），
S△ABC＝＝36，
设点P的坐标为（m，m+6）
∵S△PAC＝2S△ABC＝72，
∴，
解得m＝6或m＝﹣18，
∴P（6，12）或（﹣18，﹣12）．