四川省攀枝花市第三高级中学校2024-2025学年高二上学期第二次月考数学试卷

这是一份四川省攀枝花市第三高级中学校2024-2025学年高二上学期第二次月考数学试卷，共6页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷(选择题)
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1.直线 3x+y-2024=0的倾斜角是( )
A. π/6 B. π/3 C. 2π/3 D. 5π/6
2.椭圆 x216+y225=1的焦点为F₁,F₂,P:为椭圆上一点，若 |PF₁|=3,则|PF2|=( )
A. 4 B. 3 C. 5 D. 7
3.阿波罗尼奥斯在《圆锥曲线论》中提出椭圆定义：我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数 (大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.已知△ABC中, BC=4, AB+AC=8, 则△ABC面积的最大值为( )
A. 2 3 B. 3 C.43 D. 6
4.在三棱柱 ABC-A₁B₁C₁中，记 AA1=a,AB=b,AC=c,点P满足 BP=2PC1,则 AP=( )
A.13a-23b+13c B.23a+13b+23c C.23a+13b-23c D.13a+23b+13c
5.在直三棱柱 ABC-A₁B₁C₁中,∠BCA=90°,D₁,F₁分别是A₁B₁,A₁C₁的中点,BC=CA=CC₁,则BD₁与AF₁所成角的余弦值是( )
A.3010 B. 12 C.3015 D.1510
6.已知点O是坐标原点，点Q是圆 x-3²+y+4²=1上的动点,点p在直线x+y+4=0上,则|PQ|+|PO|的最小值为( )
A. 8 B. 7 C. 6 D. 5
7.已知曲线 C:x²+y²-2|x|-2|y|=0,则下列说法错误的是( )
A. 曲线C围成图形面积为 8+4π B. 曲线C的长度为 42π
C. 曲线C上任意一点到原点的最小距离为2 . D. 曲线C上任意两点间最大距离 42
8.已知椭圆E: x2a2+y2b2=1ab>0)的右焦点为F(3，9)，过点F的直线交椭圆E于A，B两点，若AB的中点坐标为(1，-1)，则椭圆E的离心率为( )
A. 12 B.22 C.32 D. 34
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 如果选项有2个，则每个选项分值为3分，选对一个得3分，全部选对得6分，有选错的得0分； 如果选项有3个，则每个选项分值为2分，选对一个得2分，选对两个得4分，全部选对得.6分，有选错的得0分：
9.已知椭圆 C:x225+y29=1,F1,F2分别为它的左右焦点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有( )
A. 椭圆离心率为 925
B.|PF₁|+PF₂|=10
C. 若 ∠F₁PF₂=90°,则△F₁PF₂的面积为9
D. |PF|·|PR|的最大值为25
10.下列说法正确的有(
A. 直线2x-y+5=0的一个方向向量为(1,2)
B 若两直线 ax+2y=0与x+(a+1)y+4=0平行、则实数a的值为1
C. 若AB>0,BC>0, 则直线 Ax-By-C=0不经过第二象限
D. 点A(2,-3),B(-3,-2), 直线l: mx+y-m-1=0与线段AB相交, 则实数m的取值范围是 -4≤m≤34
11. 下列说法正确的是(
A. 已知ā=(0,1,1),b=(0,0,-1),则ā在b上的投影向量为 0-12-12
B. 若G是四面体OABC的底面△ABC的重心, 则 OG=13OA+OB+OC
C. 若 OG=25OA-15OB+45OC, 则A,B,C,G四点共面
D.若向量 p=mx+ny+kz(x,j,z都是不共线的非零向量),则称p在基底{x,y,z}下的坐标为(m,n,k),若p在单位正交基底{a,b,c}下的坐标为(1,2,3), 则p在基底{ a-ba+bc下的坐标为 -12323
第Ⅱ卷(非选择题)
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共15 分.
12.已知空间向量ā=(1,-3,5), b=(2,x,y),且ā//b, 则x-y= .
圆(C: x-1²+y+1²=2在点A(2,-2)处的切线方程为 ；
14.已知A(-2,0), B(2,0), 若圆( x-a-1²+y-3a+2²=4上存在点 P 满足 PA⋅PB=5,则a的取值范围是
四、解答题：本题共 5 小题，共77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13分) 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1ab>0)的焦距为2，离心率为 55.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若P为C上在第一象限内的点，F₁，F₂为椭圆C的左右焦点，三角形. PF₁F₂的面积等1，求P的坐标.
16.(15分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点, 作EF⊥PB交PB于点F.
(1)求证: PA//平面EDB;
(2)求平面CPB与平面PBD 的夹角的大小.
17. (15分) 已知圆C: x²+y²+Dx+Ey-12=0关于直线 x+y-2=0对称，且圆心在x轴上.
(1)求圆C的标准方程；
(2)若动点M在直线x=10上, 过点M 引圆C的两条切线MA, MB, 切点分别为A, B.
求证：直线AB恒过定点. 并求弦AB的最小值
18.(17分)如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD PA⊥PD,AB⊥AD ,PA=PD,AB=1, AD=2,AC=CD=5.
(1)求证: PD⊥平面PAB.
(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.
(3)在棱PA上是否存在点M , 使得BM∥平面PCD?若存在, 求出 AMAP的值；若不存在，请说明理由.
19.(17分)已知椭圆的左、右焦点分别为F₁,F₂,N(-2,0)为椭圆的一个顶点，且右焦点 F₂到直线. x-y=0的距离为 22.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线 l:y=kx+mk≠0与椭圆C交于 A、B两点.
①若直线l过椭圆右焦点E₂，且△AF₁B 的面积为 835,求实数k的值；
②若直线l过定点 P(0,2),且k>0, 在x轴上是否存在点 T(t,0)使得以 TA、TB 为邻边的平行四边形为菱形? 若存在，则求出实数t的取值范围； 若不存在，请说明理由.攀枝花市三中高2026届高二上第二次月考参考答案
1. C 2. D 3. C 4. B 5. A 6. C 7. C 8. A
9. BCD 10. AC 11. BCD
12. - 16.
13. x-y-4=0
14.[-1,2]
15. 【详解】 (1)由题意得, 2c=2,e=55,则 a=5,b=2
所以C的标准方程为 x25+y24=1……………5 分
(2) 设 P(x,y) ),SPF1F2=1,∴12F1F2⋅y=1, 所以 y=1,x=152
所以 ……………………13 分 P1521
16.【详解】(1) 在四棱锥P-ABCD中, PD⊥底面ABCD, AD,DC ⊂底面ABCD,则PD⊥AD,PD⊥DC, 由底面ABCD是正方形, 得AD⊥DC,以D为原点，直线DA，DC，DP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设DC=2, 则A(2,0,0),B(2,2,0),P(0,0,2),E(0,1,1),
PA=20-2,DB=220,DE=011,设平面EDB的法向量为 m=x1y1z1,则 DB⋅m=2x1+2y1=0DE⋅m=y1+z1=0,令 y₁=-1,得m=(1,-1,1), 则 PA⋅m=2-2=0,而PA⊄平面EDB, 所以PA∥平面EDB……………………7 分
(2) 由(1) 知, C(0,2,0),且 CB=200,PC=02-2,
设平面CPB的法向量为 n=x2y2z2,则 CB⋅n=2x2=0PC⋅n=2y2-2z2=0,取y₂=1,得π=(0,1,1),
DB=220,DP=002, 而 CA=2-20, 则 DB⋅CA=2×2-2×2=0,DP⋅CA=0,
即 DB⊥CA,DP⊥CA,则PBD的一个法向量为 CA=2-20,
因此 csnCA=n⋅CA|n|CA|=-22⋅22=-12, 而 0≤nCA≤π, 则 nCA=2π3,
所以平面CPB与平面PBD的夹角为π/3……………………………15分
17. 【解析】 (1) ∵圆C的方程的圆心坐标为 -D2-E2, 半径 r=12+D2+E24,∴由圆心在x轴上，圆关于直线x+y-2=0对称得到， E=0,-D2-E2-2=0,∴E=0, D=-4, ∴所求圆C的标准方程为 x-2²+y²=16. ----------------5分
(2) 设点M(10, m), ∵四点 MBCA共圆, 即点A、B在以CM为直径的圆上,该圆的圆心为 6m2,半径为 10-22+m22,
∴x-62+y-m22=82+m24, 即 x²-12x+y²-my+20=0,
∵AB是圆C与以 MC为直径的圆的公共弦，
∴直线AB 的方程为两圆公共弦方程，两圆方程联立消去二次项，得到8x+ my-32=0,
∵y=0时, x=4,
∴无论m取何值直线8x+ my-32=0恒过点(4,0). ------------------------ 12 分
设定点为P, 当PC⊥AB时, AB最小。 AB=242-22=43-15分
18. 【详解】 (1) ∵平面PAD⊥平面ABCD, 且平面PAD∩平面ABCD=AD,且AB⊥AD, AB⊂平面ABCD, ∴AB⊥平面PAD, ∵PD⊂平面PAD, ∴AB⊥PD,又PD⊥PA,且PA∩AB=A, PA,AB⊂平面PAB, ∴PD⊥平面PAB; …………………5 分
(2) 取AD中点为O, 连接CO,PO,
又∵PA=PD, ∴PO⊥AD. 则AO=PO=1,
∵CD=AC=5,∴CO⊥AD,则 CO=AC2-OA2=5-1=2,
以O为坐标原点，分别以 OC,OA,OP所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，
则P(0,0,1), B(1,1,0), D(0,-1,0), C(2,0,0),
则P B=11-1,PD=0-1-1,PC=20-1,CD=-2-10),
设n=(x,y,z)为平面PCD的一个法向量,
则由 n⋅PD=0n⋅PC=0, 得 -y-z=02x-z=0, 令：z=1,则 n=12-11.
设PB与平面PCD的夹角为θ，
(3) 假设在棱PA上存在点M 点, 使得BM∥平面PCD.J … …11 分
设 AM=λAP,λ∈01,
由 (2) 知, A(0,1,0), B(1,1,0), P(0,0,1), 则 AP=0-11,BA=-100,
由(2)知平面PCD的一个法向量 n=12-11.
若BM∥平面PCD, 则 BM⋅n=-12+λ+λ=2λ-12=0,
解得 λ=14,又BM⊄平面PCD,
故在棱PA上存在点M 点，使得BM∥平面PCD，此时 AMAP=14……………17分
19.【详解】(1) 由椭圆C x2a2+y2b2=1ab>0)的右焦点分别为F₂(c，0)到直线；x-y=0的距离为 22可得： |c|2=22,因为c>0, 所以解得c=1,
再由椭圆的一个顶点为N(-2，0)，可得a=2，所以由 b²=a²-c²=4-1=3,即椭圆C的标准方程为 x24+y23=1;……………4分
①直线l:y= lx+m(k≠0)过椭圆右焦点 F₂可得: 0=k+m, 即m=-k,所以由直线l：y=k(x-1)与椭圆C的标准方程 x24+y23=1联立方程组，消去y得：
4k²+3x²-8k²x+4k²-12=0,
设两交点A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),则有 x1+x2=8k24k2+3,x1x2=4k2-124k2+3,
所以
又椭圆左焦点F₁(-1,0)到直线l:k(x-1)-y=0的距离为 d=|-2k|1+k2,
所以 SAF1B=12⋅d⋅|AB|=12⋅|-2k|1+k2⋅12k2+14k2+3=835,
解得： k²=3或 k2=-1211(舍去)，即 k=±3;…10分
②假设存在点T(t，0)使得以TA，TB为邻边的平行四边形为菱形，由于直线过定点P(0,2), 且k>0, 可知直线方程为y= kx+2,与椭圆 x24+y23=1联立方程组，消去y得： 4k²+3x²+16kx+4=0,由 △=192k²-48>0,且k>0, 解得 k>12,
设两交点/A(x₁,y₁),B(x₂,y₂), AB中点M(x₀,y₀),则有 x1+x2=-16k4k2+3,x1x2=44k2+3,
所以 x0=x1+x22=-8k4k2+3,y0=kx0+2=64k2+3,
即 km=-1k=64k2+3-8k4k2+3-t, 整理得 t=-2k4k2+3=-24k+3k,
又因为 k>12, 所以 4k+3k∈43+∞, 则 t∈-360 …17分