四川省攀枝花市第三高级中学校2021-2022学年高二上学期第三次月考数学（理）试题

攀枝花三中高2023届高二（上）第三次月考（理科数学）试题

一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，总分60分）

1. 若抛物线的焦点坐标为，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】将抛物线方程化为标准方程，根据焦点坐标可求得答案.

【详解】由题意抛物线的焦点坐标为，故 ，

抛物线方程即，

故 ，

故选：C

2. 将一枚均匀的骰子掷两次，记事作为“第一次出现奇数点”，为“第二次出现偶数点”，则有（    ）

A. 与相互独立 B.

C. 与互斥 D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据相互独立事件的定义可判断A；根据互斥事件的概念、以及和事件的概率公式可判断B、C；由相互独立事件概率的乘法公式可判断D，进而可得正确选项.

【详解】对于A：由题意知，事件的发生与否对事件没有影响，所以与相互独立，故选项A正确；

对于C：因为事件与可能同时发生，所以事件与不是互斥事件，故选项C不正确

对于B：因为与不是互斥事件，所以，故选项B不正确；

对于D：因为与相互独立事件，则，故选项D不正确；

故选：A.

3. 我国已进行了7次人口普查，如图是7次人口普查男性、女性人数及有大学文化的人数占比的统计图．据统计图中的信息，下列四个推断中不正确的是（    ）

A. 1964年至1982年间人口平均增长率最大

B. 1964年后，全国总人口增长速度逐步放缓

C. 具有大学文化的人数占比的增幅逐步增大

D. 男性人数与女性人数的差值逐步减小

【答案】D

【解析】

【分析】根据题设直方图、折线图，结合各选项的描述判断正误即可.

【详解】A：由图知：1964年至1982年间人口增长约为3亿，而其它时间段的增长在1亿左右，此间人口平均增长率最大，正确；

B：由柱状图的变化趋势，整体上人口增长速度随时间推移放缓，故正确；

C：由大学文化占比折线图知：大学文化的人数占比的增幅逐步增大，故正确；

D：根据柱状图中，各年份男女性人口差值没有逐步变小，相反1964年后差值有所增加，故错误

故选：D.

4. 已知随机变量，，则的值为（    ）

A. 0.16 B. 0.32 C. 0.68 D. 0.84

【答案】A

【解析】

【分析】根据正态密度曲线的特征和曲线的性质得到曲线的对称轴为直线，.

【详解】

由，得正态密度曲线的对称轴为直线，

如上图，则.

故选：A.

5. 我国古代数学名著《孙子算经》有鸡兔同笼问题，根据问题的条件绘制如图的程序框图，则输出的，分别是

A. 12，23 B. 23，12

C. 13，22 D. 22，13

【答案】B

【解析】

【分析】分析程序框图功能，求当鸡、兔共35只头，94条腿时，鸡和兔各有多少只.根据条件确定跳出循环的S值，即可得到输出值.

【详解】由程序框图，得，，；，，；，，；，，；……，，，.输出，.故选B.

【点睛】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键.

6. 如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点、，交其准线于点，若，且，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】分别过点、作准线的垂线，垂足分别为点、，设，根据抛物线的定义以及直角三角形的性质可求得，结合已知条件求得，分析出为的中点，进而可得出，即可得解.

【详解】如图，分别过点、作准线的垂线，垂足分别为点、，

设，则由己知得，由抛物线的定义得，故，

在直角三角形中，，，

因为，则，从而得，

所以，，则为的中点，从而.

故选：B.

7. 某个班级有55名学生，其中男生35名，女生20名，男生中有20名团员，女生中有12名团员.在该班中随机选取一名学生，如果选到的是团员，那么选到的是男生的概率为（    ）

A  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，结合条件概率的计算方法，即可求解.

【详解】设事件为：选到的是团员，事件为：选到的是男生.

根据题意，易得，，故.

故选：B.

8. 二项展开式中的各项系数绝对值的和为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】二项展开式中的各项系数绝对值的和即为的各项系数和，利用赋值法求得答案.

【详解】二项展开式中的各项系数绝对值的和即为的各项系数和，

即令 ，则系数和为 ，

即二项展开式中的各项系数绝对值的和为2187，

故选：A

9. 中国在年月日零时开始展开第七次全国人口普查，甲、乙等名志愿者参加个不同的社区的人口普查工作，要求每个社区至少安排名志愿者，名志愿者只去一个社区，且甲、乙不在同一社区，则不同的安排方法共有（    ）

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

【答案】B

【解析】

【分析】先将5人按题中要求分成四个组，再将四个组分到四个社区，可得答案.

【详解】根据题意，分2步进行分析：

①将名志愿者分为4组，要求甲乙不在同一组，分为2、1、1、1的四组，有种分组方法，

②将分好的四组全排列，安排到四个社区，有种安排方法，

则有种安排方法，

故选：．

10. 已知AB是椭圆一条弦，且弦AB与直线：垂直，P是AB的中点，O为椭圆的中心，则直线OP的斜率是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据给定条件设出直线AB方程，再与椭圆方程联立求出点P的坐标即可计算作答.

【详解】依题意，弦AB不过点O，而弦AB与直线：垂直，则设直线AB： ，

由消去y得：，

，即，且，

设点，则，于是得弦AB中点，

所以直线OP斜率是.

故选：D

11. 已知双曲线与直线交于两点，点为上一动点，记直线的斜率分别为，曲线的左、右焦点分别为．若，且的焦点到渐近线的距离为，则下列说法正确的是（    ）

A.

B. 曲线的离心率为

C. 若，则的面积为

D. 若的面积为，则为钝角三角形

【答案】D

【解析】

【分析】由题意可求得双曲线的离心率以及求得a,b的值，故可判断A,B;根据，求得焦半径，，即可求得的面积，判断C;根据的面积可求得点P的坐标，进而利用余弦定理求得，判断D.

【详解】设点，，，，，，

则，且，两式相减得，所以,

因，所以，, ,

故双曲线的渐近线方程为;

因为焦点到渐近线的距离为1，所以，，

即有 ，所以，，离心率为，故A，B 错误．

对于，不妨设在的右支上，

记，则．因为，所以，

解得或（舍去），

所以的面积为，故不正确．

对于，设，，因为，所以，

将代入，得，即．

由对称性，不妨取的坐标为，则，

因为

所以为钝角，所以为钝角三角形，故正确,

故选：．

12. 已知双曲线：（，）的左右焦点分别为、、A为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线的一条渐近线于、两点，且，则该双曲线的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】先由题意，得到以为直径的圆的方程为，不妨设双曲线的渐近线为，设，则，求出点P，Q的坐标，得出，，根据，再利用余弦定理求出，之间的关系，即可得出双曲线的离心率．

【详解】由题意，以为直径的圆的方程为，不妨设双曲线的渐近线为．

设，则，

由，解得或，

∴，．

又为双曲线的左顶点，则，

∴，，，

在中，，由余弦定理得，

即，

即，

则，所以，则，

即，所以

∴．

故选：C.

【点睛】方法点睛：离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出；②构造的齐次式，求出；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解．

二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，总分20分）

13. 某居民区有5000人自愿接种了抗病毒疫苗，其中60~70岁的老人有1400人，16~19岁的中学生有400人，其余为符合接种条件的其它年龄段的居民．在一项接种疫苗的追踪调查中，要用分层抽样的方法从该居民区5000名接种疫苗的人群中抽取50人，则从其余符合接种条件的其它年龄段的居民中抽取的人数为___________．

【答案】32

【解析】

【分析】根据分层抽样的定义求抽样人数.

【详解】（人），所以从其余符合接种条件的其它年龄段的居民中抽取的人数为（人）.

故答案为：32

【点睛】知识点点睛：进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：

（1）样本容量与总体的个体数之比等于该层抽取的个体数与该层的个体数；

（2）总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．

14. 某学生在上学路上要经过个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第个路口首次遇到红灯的概率为__________．

【答案】

【解析】

【分析】利用相互独立事件的乘法公式计算即可．

【详解】该生在上学路上到第个路口首次遇到红灯，即前两个是绿灯，第三个是红灯，所以概率为

故答案为：

15. 在上随机取两个实数，则满足的概率为______；

【答案】

【解析】

【分析】确定点构成的区域和满足的点构成的区域，由几何概型面积型的公式可求得结果.

【详解】在上随机取两个实数，则点构成正方形，

则满足的点构成的区域如下图阴影部分所示：

，阴影部分面积，

所求概率.

故答案为：.

16. 设是椭圆上的任一点，为圆的任一条直径，则的最大值为___________.

【答案】

【解析】

【分析】由题设，且关于对称，设，，利用向量数量积的坐标表示及在圆、椭圆上得到关于的二次函数，结合椭圆的有界性求范围即可.

【详解】

由题设，且关于对称，若，则，

设，则，，

∴，又，

∴的最大值为.

故答案为：

【点睛】关键点点睛：设点，利用圆的对称性、向量数量积的坐标表示求关于的函数，再由椭圆的有界性求范围.

三． 解答题（本大题共6小题，总分70分）

17. 根据下列已知条件求曲线方程.

（1）求与双曲线共渐近线且过，点的双曲线方程；

（2）求与椭圆有相同离心率且经过点的椭圆方程.

【答案】（1）   

（2）或

【解析】

【分析】（1）设所求双曲线方程为，根据点坐标求得，从而求得所求的双曲线方程.

（2）根据椭圆焦点所在坐标轴进行分类讨论，结合求得椭圆方程.

【小问1详解】

设与双曲线共渐近线的双曲线方程为：

点，在双曲线上，

所求双曲线方程为：，即.

【小问2详解】

若焦点在轴上，设所求椭圆方程为，将点代入，得，

故所求方程为.

若焦点在轴上，设方程为代入点，得，

.

18. 已知的展开式中所有的二项式系数和为128.

（1）求展开式中二项式系数最大的项；

（2）求展开式中的常数项.

【答案】（1）、；（2）.

【解析】

【分析】（1）由题意即可求n，再判断二项式系数最大时中的r，写出该项即可.

（2）由（1）结合二项式积的形式，分别求、为常数项时的r值，进而写出常数项即可.

【详解】（1）由题意知：，故，

由二项式知：通项，

∴展开式中二项式系数最大的项为，；

（2）由（1）知：通项为，

∴中：当为常数项时，；当为常数项时，，

∴综上，展开式中的常数项为.

19. 中国职业篮球联赛（联赛）分为常规赛和季后赛．由于新冠疫情关系，今年联赛采用赛会制：所有球队集中在同一个地方比赛，分两个阶段进行，每个阶段采用循环赛，分主场比赛和客场比赛，积分排名前的球队进入季后赛．季后赛的总决赛采用五场三胜制 （“五场三胜制”是指在五场比赛中先胜三场者获得比赛胜利，胜者成为本赛季的总冠军）．如表是A队在常规赛场比赛中的比赛结果记录表．

（1）根据表中信息，补充完整列联表且是否有的把握认为比赛的“主客场”与“胜负”之间有关？

（2）已知A队与队在季后赛的总决赛中相遇，假设每场比赛结果相互独立，A队除第五场比赛获胜的概率为外，其他场次比赛获胜的概率等于A队常规赛场比赛获胜的频率．记为A队在总决赛中获胜的场数．求的分布列及期望．

附：．

【答案】（1）表格见解析，没有的把握认为比赛的“主客场”与“胜负”之间有关   

（2）分布列见解析，

【解析】

【分析】（1）作出2×2列联表，计算 的值，对照临界值表进行分析判断即可；
（2）先求出随机变量X的可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列即可；再根据期望的计算公式求得期望.

【小问1详解】

根据表格中的信息，得到列联表如下：

则，

所以没有的把握认为比赛的“主客场”与“胜负”之间有关；

【小问2详解】

的可能取值为0，1，2，3，A队前4场中每场获胜的概率均为，

所以，，，

，

故的分布列为：

数学期望为：．

20. 抛物线的焦点为F，直线l与C交于A，B两点，且线段中点M的纵坐标为1，l与x轴交于点P．

（1）若，求l的方程；

（2）若，求．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）设点代入，利用点差法得到，根据得到，得到中点坐标，得到直线方程.

（2）设出直线方程，联立，根据韦达定理得到根与系数的关系，结合向量运算得到两点坐标，计算距离得到答案.

【小问1详解】

设，则，两式相减得．     

因为线段中点M的纵坐标为1，所以．     

又，所以，           

所以线段的中点为，故直线l的方程为，即．

【小问2详解】

设l的方程为，联立方程组，整理得，

则，

因为，所以，则，            

故|．

21. 某公司研发了一种帮助家长解决孩子早教问题的萌宠机器人．萌宠机器人语音功能让它就像孩子的小伙伴一样和孩子交流，记忆功能还可以记住宝宝的使用习惯，很快找到宝宝想听的内容．同时提供快乐儿歌、国学经典、启蒙英语等早期教育内容，且云端内容可以持续更新．萌宠机器人一投放市场就受到了很多家长欢迎．为了更好地服务广大家长，该公司研究部门从流水线上随机抽取件萌宠机器人（以下简称产品），统计其性能指数并绘制频率分布直方图（如图）：

（1）求性能指数的众数与中位数；

（2）该公司为了解年营销费用（单位：万元）对年销售量（单位：万件）的影响，对近年的年营销费用，和年销售量数据做了初步处理，得到的散点图（如图）及一些统计量的值．

表中，，，．

根据散点图判断，可以作为年销售量（万件）关于年营销费用（万元）的回归方程．

（i）求关于的回归方程；（取）

（ii）按经验可知，若营销费为（万元）则会产生成本（万元），若每件产品的销售利润为元，用所求的回归方程估计该公司应投入多少营销费，才能使得该产品一年的收益达到最大？（收益营销利润成本）．

参考公式：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．

【答案】（1）众数，中位数   

（2）（i）；（ii）该厂应投入4096万元营销费，能使得该产品一年的收益达到最大256万元．

【解析】

【分析】（1）根据频率分布直方图，根据众数和中位数的估计方法，即可求得答案;

（2）（i）采用取对数法，将非线性回归方程转化为线性回归直线，利用最小二乘法求得回归直线系数，可得答案；

（ii）根据（i）的结果，求出年收益的表达式，结合二次函数性质，求得答案.

【小问1详解】

由频率分布直方图可知，性能指数在之间频率最大，故众数为，

中位数设中位数为x,则，

求得，故中位数为；

【小问2详解】

由得，，

令，，，则，

由表中数据可得，，则，

所以，，即，

因为，所以

设年收益为万元，则，

设， ，当时，取得最大值256，

所以，当，即时，有最大值为256，

即该厂应投入4096万元营销费，能使得该产品一年的收益达到最大256万元．

22. 已知过点的椭圆的右焦点为；

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设直线与椭圆相切于点，过点作关于原点的对称点，过点作，垂足为，求面积的最大值．

【答案】（1）   

（2）2

【解析】

【分析】（1）代入点的坐标，再运用椭圆基本量的关系；

（2）设点坐标可得点坐标，再设直线的方程与椭圆方程联立，可得斜率，进一步可得的斜率，并可得方程，方程与方程联立得点坐标；再求线段、线段长，进而得的面积表达式，利用基本不等式求最值.

【小问1详解】

依题意：，解得，，

故椭圆的方程为．

【小问2详解】

设，， 设直线，

联立，消元可得

，

即且

整理得，

过点的切线是唯一的得

所以直线，又直线交于点

得直线；

联立，可得，

所以

即，

当且仅当即，时取等.

【点睛】方法点睛：过椭圆上点的直线与椭圆相切求斜率：

①设直线方程与椭圆方程联立，消元得关于“”的一元二次方程；

②通过建立关于“”的方程，由“”的唯一性得斜率；

③要注意椭圆上的点的坐标满足椭圆方程，且要适时回代化简代数式.