九年级数学第三次月考卷（沪教版，九上全部）2024+2025学年初中上学期第三次月考

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：沪教版，第14章相似三角形40%、第15章锐角的三角比20%、第16章二次函数40%。
5．难度系数：0.69。
第一部分（选择题 共24分）
一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．如果一幅地图的比例尺为，那么实际距离是千米的两地在地图上的图距是（ ）
A．6厘米B．厘米C．厘米D．厘米
【答案】A
【详解】解：∵比例尺为，实际距离是千米，
∴图上距离，
故选：A．
2．如图，在中，，，，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解： ∵，，
．
故答案为：C．
3．二次函数图象的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：∵抛物线的解析式为，
∴二次函数图象的顶点为．
故选：D．
4．将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的二次函数解析式是（ ）
A．y=x-12-5B．
C．D．
【答案】D
【详解】解：二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的二次函数解析式是，即，
故选D
5．已知，那么下列判断错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：A．∵，
∴与是方向相反的向量，且向量的长度为向量长度的2倍，
∴，故该选项判断正确，不符合题意；
B．由得到，则，故该选项判断错误，符合题意；
C．由得到，故该选项判断正确，不符合题意；
D．由得到，则，故该选项判断正确，不符合题意；
故选：B．
6．如图，在△ABC中，AD⊥BC，点D为垂足，为了证明∠BAC＝90°，以下添加的等积式中，正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【详解】解：①∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADB=90°，
∵，
∴，
∴△ADC∽△BDA，
∴∠DAC=∠ABD，
∴∠ABD+∠BAD=∠DAC+∠BAD=90°，
即∠BAC=90°，
故①符合题意；
②∵AB•CD=AC•AD，
∴，
∵∠ADB=∠ADC=90°，
∴△ABD∽△CAD，
∴∠ABD=∠CAD，
∴∠BAD+∠CAD=90°，
∴∠BAC=90°，
故②符合题意；
③∵，
∴，
∵∠ACD=∠BCA，
∴△ACD∽△BCA，
∴∠ADC=∠BAC=90°，
故③符合题意；
④由不能证明△ABC与△ABD相似，
故④不符合题意；
故选：C．
第二部分（非选择题 共126分）
二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分）
7．若是关于x的二次函数，则 ．
【答案】
【详解】解：∵函数是二次函数，
∴，
解得：，
故答案为：．
8．二次函数的图像与y轴的交点坐标为
【答案】（0，-1）
【详解】解：∵，当x=0时，y=-1，
∴二次函数的图象与y轴交点坐标是（0，-1）.
故答案为：（0，-1）．
9．已知在中，是中线，G是重心，如果，那么 ．
【答案】6
【详解】解：由题意可知，即，
∴．
故答案为：6．
10．在中，，，，那么 ．（结果用的锐角三角函数表示）
【答案】
【详解】解：在中，，，，
∴，
故答案为：．
11．如图，正五角星中包含了许多黄金三角形，许多线段之间构成了黄金比，如点是线段的黄金分割点．已知厘米，那么 厘米．
【答案】2
【详解】解：五角星是正五角星，
厘米，
是线段的黄金分割点，
，即，
解得厘米．
故答案为：2．
12．如图，已知，是的中线，是的中点，则 ．
【答案】
【详解】解：过点作交于，
则，
是的中线，是的中点，
，，
，
．
故答案为：．
13．如图，在中，点为上的点，，则 ．

【答案】
【详解】解：∵，，
∴
∴
∵，
∴
∴，,
故答案为：．
14．如图，是平行四边形的边延长线上的一点，交于点，交于点，，设，．用向量、分别表示向量 ．
【答案】
【详解】解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
15．已知点A和 B是抛物线上的两点，如果，那么 ．（填“”、“”或“”）
【答案】
【详解】解：∵，
∴，
∴抛物线开口向上，
∵抛物线对称轴为直线，
∵，
∴．
答案为：
16．如图，矩形的一边在的边上，、分别在、上，交于，，cm，cm，则的长 cm．
【答案】/
【详解】解：设，则，
四边形是矩形，
，
，
交于，
四边形是矩形，
，
，
，
，分别是，的对应高，
，
，
解得：，
，
故答案为．
17．如图，边长分别为5，3，2的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【详解】解：如图，
根据题意，，，，
，，
∴阴影部分是直角梯形，
又∵，
∴，，
∴，，
即，，
解得，，
∴，，
∴，
故答案为：．
18．二次函数的图象如图所示，顶点坐标，且关于的一元二次方程没有实数根，有下列结论：①；②；③；④点是抛物线上任意一点，则，其中，正确的结论是 ．
【答案】①③④
【详解】解：∵抛物线与轴有两个交点，则，
∴故①正确；
根据题意可得：，，
∵顶点坐标，
∴，
∴，
∴故②错误；
由关于的一元二次方程没有实数根，可知，
∴抛物线图象与的图象没有交点，则，故③正确；
∵顶点坐标，
∴当x=1是，有最大值，
∵点是抛物线上任意一点，
∴，
∴，故④正确．
故答案为：①③④．
三、解答题（本大题共7小题，满分78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（10分）计算：．
【详解】解：
分
分
．分
20．（10分）如图，在中，，，，点在边上，且，，垂足为，联结．
(1)求线段的长；
(2)求的正切值．
【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，
∵，，
∴
∴
在中，，
∴，分
（2）∵，，
∴
∵
∴
∴，
∴
又∵，
∴分
21．（10分）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，为边上一点，且．设．
(1)填空：用向量的式子表示向量_____；
(2)如果点是线段的中点，那么用向量的线性组合表示向量______，并在图中画出向量在向量和方向上的分向量．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
，分
（2）解：四边形是平行四边形，对角线相交于点，点是线段的中点，
，
，
，
，
如图，过作的平行线，过作交与过作的平行线交于点，过作交于，
∴向量在向量和方向上的分向量分别为：，，如图所示：
．分
22．（10分）某数学兴趣小组在暑假开展社会实践活动，销售某品牌书包，平均每天可以销售20个，每个盈利12元，为了扩大销售，增加盈利，该小组决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每个书包每降价1元，平均每天可以多卖5个．
(1)若每个书包降价元，则可多卖__________个，每个盈利__________元；
(2)若该兴趣小组同学想要一天盈利300元，每个书包应降价多少元；
(3)该兴趣小组同学想要一天盈利最大，应降价多少元，所得最大利润是多少元？
【详解】（1）解：若每个书包降价元，则可多卖个，每个盈利元；
故答案为：，；分
（2）设每个书包降价元，可盈利300元，
则，
解得：（舍去），，
每个书包降价6元；分
（3）设每个书包降价元，最大利润为元，
则
，
，
当时，有最大值，最大值为320；
答：当降价4元时利润最大，最大利润为320元．分
23．（12分）已知：如图，在梯形中，，，点M在边上，且，．
(1)求证：；
(2)作，垂足为点E，并交于点F．求证：．
【详解】（1）证明：，，，
，，
，
又，即，
，
，
，
，
，分
（2）证明：如图，
，
，
，
，
，
．分
24．（12分）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
(1)求点A、B，C的坐标；
(2)抛物线的对称轴l与x轴的交点为D，连接，在抛物线上是否存在点E、F（点E、F关于直线l对称，且E在点F左侧），使得以D、E、F为顶点的三角形与相似，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由．
【详解】（1）解：在中，令，，
解得，，
∴点A的坐标为，点B的坐标为，
在中，令，，
∴点C的坐标为；分
（2）解；存在，由知抛物线的对称轴l为直线，
∴点D的坐标为；
∵，，
∴，
∴是以为斜边的等腰直角三角形，
∴，
如图，设交l于点G，
∵点E，F关于直线l对称，
∴，
∵，
则，，
∴．分
分两种情况讨论：
当点E在x轴上方时，设E1的横坐标为n，
则，，，
将其代入中，得，
解得，（舍去），
∴，
当点E在x轴下方时，设的横坐标为n，则，，
∴，
将其代入中，得，
解得，（舍去），
∴，
综上所述，在抛物线上存在点E、F（点E、F关于直线l对称，且E在点F左侧），使得以D、E、F为顶点的三角形与相似，
∴点E的坐标为，．
分
25．（14分）已知矩形中，，是边上一点，将沿直线翻折，使点落在点处，连接，直线与射线交于点．
(1)如图，当点在边上，若时，求的长；
(2)若射线交的延长线于点，设，，求与的函数解析式，并写出定义域；
(3)①如图，直线与边交于点，若与相似，求的正切值；
②如图，当直线与的延长线交于点，若和面积相等，请直接写出的长．
【详解】（1）解：如图，∵在矩形中，，且，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，，
由翻折知，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
分
（2）解：∵在矩形中，，
∴，
由折叠可得，，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的定义域为；分
（3）解：①设，
当时，，
∴，
∴，
由折叠可知，，
∵，
∴，
∴，
∴；
当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴；
综上，；分
②如图，连接，分别过作于点，交BD延长线于点，则，
由折叠知，，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
由()知垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．分