上海市大同中学2024-2025学年高二上学期开学考试（暑期作业检查）数学试题

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班级 姓名 学号 成绩
一、填空题（1-8 每题 3 分 ，9-12 每题 4 分，满分 40 分）
1. 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角 .
2. 已知向量 ，若a 与b 平行，则实数λ 的值为 .
3. 已知复数z1 与z = 4 − 2i在复平面内对应的点关于实轴对称，则 = _________.
4. 如图直角△O 'A 'B '是一个平面图形的直观图，斜边O 'B ' = 4，则原平面图
形的面积是 .
5．已知某扇形的圆心角为 2 弧度，弧长为 6，则扇形的面积为 .
6．已知sin = 2sin ，则tan 的值为__________.
7. 已知关于x 的实系数方程x2 − 2ax + a2 − 4a + 4 = 0两个虚根为x1 ，x2 ，且
x1 + x2 = 3 ，则a = .
8. 在复平面内，复数z 满足z = 2 ，i 为虚数单位，则z − 3+ 4i 的最小值为 .
9. 在空间四边形ABCD 中，AB = CD = 8 ，M 、N 分别是对角线AC 、BD的中点，若
。
异面直线AB 、 CD 所成角的大小为30 ，则MN 的长为 .
10. 已知 a1 ， a2 ， a3 ， a4 ， a5 成等比数列，且其中两项分别为 1，9，则a5 的最小值为
.
11. 空间四个平面最多能把空间分成 部分.
12. 设点Q 在半径为 1 的圆P上运动，同时，点P在半径为 2 的圆O 上运动．O 为定点， P、Q 两点的初始位置如图所示，其中OP 丄 PQ ，当点P转过角度α 时，点Q 转过角度2α ,
则在运动过程中 的取值范围为 .
二、选择题（第 13、14 题每题 3 分，第 15 、16 题每题 4 分，满分 14 分）
13．在下列函数中，同时满足 上递增；②以2π 为周期；③是奇函数的是
（ ）
A. y = tan x B. y = cs x C. y = tan D. y = − tan x
14. 若{an } 是无穷数列，则“ {an } 为等比数列”是“ {an } 满足
an . an+3 = an+1 . an+2 (n∈ N* ) ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
15. 已知a1 ， a2 ，… ，an 是单位平面向量，若对任意的1 ≤ i < j ≤ n(n∈ N* ) ，都有
1
ai .aj <
2
A. 3
，则 n 的最大值为（ ）
B. 4
C. 5 D. 6
16. 已知函数 在区间[t, t +1](t∈ R) 上的最大值记为g(t) ，则
g(t) 的最小值为（ ）
A. B. −1 C. D. 1
三、解答题（满分 46 分）
17.（本题共 10 分，每小问 5 分）
如图所示，在正方体ABCD − A1B1C1D1 中，E、F 分别是AB、AA1 的中点. 求证：
（1） CE、D1F、DA 三线共点；
（2）直线BC 和直线D1F 是异面直线.
18.（本题共 10 分，每小问 5 分）
已知数列 满足a1 = ，且an+1 = .
求证：数列 是等比数列，并求出{an } 的通项公式；
若 < 2025 ，求满足条件的最大整数n .
a1 a2 an
19.（本题共 13 分，第一小问4 分，第二小问 5 分）
→ →
如图，设Ox, Oy 是平面内相交成α(0 < α < τ) 角的两条射线，e1 , e2 分别为Ox, Oy 同向的单
→ → →
位向量，定义平面坐标系xOy 为α 仿射坐标系. 在 仿射坐标系中，若OP = xe1 + ye2 ，
记 .
（1）在α 仿射坐标系中.
→
→
①若a = (m, n) ，求 a ；
→ → → → τ
②若a = (−1,2), b = (−2,1) ，且a ，b 的夹角为 3 ，求csα;
（2）如图所示，在仿射坐标系中，B、C 分别在 x 轴，y 轴正半轴上， , E、F 分别为BD、BC 中点，求 . 的最大值.
20.（本题共 13 分，第一小问4 分，第二小问4 分，第三小问 5 分）
集合X = {(a, b, c) a , b, c∈ N}称为三元有序数组集，对于 A0 = (a0,b0, c0 ) ∈ X ，a0 , b0 , c0 互 不相等. 令Ai+1 = (ai+1,bi+1, ci+1) ，其中ai+1 = ai − bi ,bi+1 = bi − ci , ci+1 = ci − ai ，
i = 0,1, 2,3,
（1）当 A0 = (1, 2, 4) 时，试求出A2 和A2024 ；
（2）证明：对于任意的k ∈N, Ak 中的三个数ak,bk, ck 至多有一个为 0；
证明：存在t∈N* ．当i ≥ t 时，向量 满足aibici = 0 .