山东省日照市东港区北京路中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

这是一份山东省日照市东港区北京路中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷，共30页。试卷主要包含了选择题；，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）纹样是我国古代艺术中的瑰宝．下列四幅纹样图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）将抛物线y＝x2+2x﹣1向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（ ）
A．（﹣4，﹣1）B．（﹣4，2）C．（2，1）D．（2，﹣2）
3．（3分）如图，△ABC中，∠B＝30°，点A，B的对应点分别为D，E，下列结论一定正确的是（ ）
A．∠ACB＝∠ACDB．AC∥DEC．AB＝EFD．BF⊥CE
4．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，则∠ADC的度数为（ ）
A．100°B．110°C．120°D．130°
5．（3分）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是864平步，问宽和长各几步？若设长为x步，则下列符合题意的方程是（ ）
A．B．x（60+x）＝864
C．x（60﹣x）＝864D．x（30﹣x）＝864
6．（3分）如图已知扇形AOB的半径为6cm，圆心角的度数为120°，若将此扇形围成一个圆锥的侧面（ ）
A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm
7．（3分）抛物线y＝（x﹣1）2+c经过三点，则y1、y2、y3的大小关系正确的是（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y2＞y3＞y1C．y3＞y1＞y2D．y1＞y3＞y2
8．（3分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，AE是以BC为直径的半圆的切线（ ）
A．B．π﹣2C．1D．
9．（3分）已知a，b是方程x2﹣3x﹣5＝0的两根，则代数式2a3﹣6a2+b2+7b+1的值是（ ）
A．﹣25B．﹣24C．35D．36
10．（3分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c过点C（0，﹣2）与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，且﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3，则下列结论：①a﹣b+c＜0；②方程ax2+bx+c+2＝0有两个不相等的实数根；③a+b＞0；④；⑤b2﹣4ac＞4a2.其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分，不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上）
11．（3分）已知点A（﹣2，b）与点B（a，3）关于原点对称 ．
12．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，PB＝10，∠DPB＝30° ．
13．（3分）某物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究，将变阻器R的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器R消耗的电功率P随电流I变化的关系图象如图所示，则变阻器R消耗的电功率P最大为 W．
14．（3分）铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，所在圆的圆心C恰好是△ABO的内心，若AB＝2（图中实线部分的长度）＝ ．（结果保留π）
15．（3分）我们把a、b两个数的较大数记作Z{a，b}，一次函数y＝﹣x+m与函数y＝Z{x+2，x2}的图象有且只有2个交点，则m的取值或范围为 ．
16．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是平面内一点，BE，且∠AEB＝90°，连接EO，线段EO绕点O逆时针旋转90°得到线段FO，则EF的最大值是 ．
三、解答题（本大题共7小题，满分72分.解答要写出必要的文字说明，证明
17．（8分）解一元二次方程：
（1）2x2﹣5x﹣3＝0；
（2）（x+1）（x﹣1）+2（x+3）＝13．
18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）．
（1）把△ABC向左平移4个单位后得到对应的△A1B1C1，请画出平移后的△A1B1C1；
（2）把△ABC绕原点O旋转180°后得到对应的△A2B2C2，请画出旋转后的△A2B2C2；
（3）观察图形可知，△A1B1C1与△A2B2C2关于点（ ， ）中心对称．
19．（8分）已知关于x的二次函数y＝3x2﹣（3+k）x+k（k为常数）．
（1）当k＝1时，求该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；
（2）是否存在k值，使得该二次函数的图象与x轴的两个交点之间的距离为3，如果存在；如果不存在，请说明理由．
20．（10分）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，AE⊥CD交DC的延长线于E，CF⊥AB于F
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，BD＝3，求AE的长．
21．（12分）某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量y（件）（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
（1）直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？
（3）设销售这种文具每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
22．（13分）问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究活动：在正方形ABCD的边BC上任意取一点G，以BG为边长向外作正方形BEFG
特例感知：（1）当BG在BC上时，连接DF，小红发现点P恰为DF的中点，如图①．针对小红发现的结论；
（2）小红继续连接EG，并延长与DF相交，发现交点恰好也是DF中点P，请判断△APE的形状，并说明理由；
规律探究：
（3）如图③，将正方形BEFG绕点B顺时针旋转α，连接DF，连接AP，EP，△APE的形状是否发生改变？请说明理由．
23．（13分）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（6，0）两点（0，6）．点D为线段BC上的一动点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图1，求△AOD周长的最小值；
（3）如图2，过动点D作DP∥AC交抛物线第一象限部分于点P，连接PA，记△PAD与△PBD的面积和为S，当S取得最大值时，并求出此时S的最大值．
2024-2025学年山东省日照市东港区北京路中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题；（本题共10个小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将符合题目要求选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）纹样是我国古代艺术中的瑰宝．下列四幅纹样图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【答案】B
【分析】一个平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，若直线两旁的图形能够完全重合，那么这个图形即为轴对称图形；一个平面内，如果一个图形绕某个点旋转180°，若旋转后的图形与原来的图形完全重合，那么这个图形即为中心对称图形；据此进行判断即可．
【解答】解：A中图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
B中图形既是轴对称图形，也是中心对称图形；
C中图形是轴对称图形，但不是中心对称图形；
D中图形不是轴对称图形，但它是中心对称图形；
故选：B．
2．（3分）将抛物线y＝x2+2x﹣1向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（ ）
A．（﹣4，﹣1）B．（﹣4，2）C．（2，1）D．（2，﹣2）
【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数的性质．
【答案】D
【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再结合所给平移方式即可解决问题．
【解答】解：因为y＝x2+2x﹣8＝（x+1）2﹣2，
所以抛物线y＝x2+2x﹣6的顶点坐标为（﹣1，﹣2），
所以将此抛物线向右平移7个单位长度后，所得新抛物线的顶点坐标为（2．
故选：D．
3．（3分）如图，△ABC中，∠B＝30°，点A，B的对应点分别为D，E，下列结论一定正确的是（ ）
A．∠ACB＝∠ACDB．AC∥DEC．AB＝EFD．BF⊥CE
【考点】旋转的性质；平行线的判定．
【答案】D
【分析】先根据旋转性质得∠BCE＝∠ACD＝60°，结合∠B＝30°，即可得证BF⊥CE，再根据同旁内角互补证明两直线平行，来分析AC∥DE不一定成立；根据图形性质以及角的运算或线段的运算得出A和C选项是错误的．
【解答】解：设BF与CE相交于点H，如图所示：
∵△ABC中，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，
∴∠BCE＝∠ACD＝60°，
∵∠B＝30°，
∴在△BHC中，∠BHC＝180°﹣∠BCE﹣∠B＝90°，
∴BF⊥CE，故D选项正确；
设∠ACH＝x°，
∴∠ACB＝60°﹣x°，
∵∠B＝30°，
∴∠EDC＝∠BAC＝180°﹣30°﹣（60°﹣x°）＝90°+x°，
∴∠EDC+∠ACD＝90°+x°+60°＝150°+x°，
∵x°不一定等于30°，
∴∠EDC+∠ACD不一定等于180°，
∴AC∥DE不一定成立，故B选项不正确；
∵∠ACB＝60°﹣x°，∠ACD＝60°，
∴∠ACB＝∠ACD不一定成立，故A选项不正确；
∵将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，
∴AB＝ED＝EF+FD，
∴BA＞EF，故C选项不正确；
故选：D．
4．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，则∠ADC的度数为（ ）
A．100°B．110°C．120°D．130°
【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．
【答案】B
【分析】连接AC，由AB是⊙O的直径得到∠ACB＝90°，根据圆周角定理得到∠CAB＝∠BEC＝20°，得到∠ABC＝90°﹣∠BAC＝70°，再由圆内接四边形对角互补得到答案．
【解答】解：如图，连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BEC＝20°，
∴∠CAB＝∠BEC＝20°，
∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝70°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝110°，
故选：B．
5．（3分）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是864平步，问宽和长各几步？若设长为x步，则下列符合题意的方程是（ ）
A．B．x（60+x）＝864
C．x（60﹣x）＝864D．x（30﹣x）＝864
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程；数学常识．
【答案】C
【分析】先求出宽为（60﹣x）步，再利用矩形的面积公式列出方程即可得．
【解答】解：由题意可知，宽为（60﹣x）步，
则可列方程为x（60﹣x）＝864，
故选：C．
6．（3分）如图已知扇形AOB的半径为6cm，圆心角的度数为120°，若将此扇形围成一个圆锥的侧面（ ）
A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm
【考点】圆锥的计算；展开图折叠成几何体．
【答案】B
【分析】设围成的圆锥的底面圆的半径为rcm，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到，然后解关于r的方程即可．
【解答】解：设围成的圆锥的底面圆的半径为rcm，
根据题意得，
解得r＝8，
即围成的圆锥的底面圆的半径为2cm．
故选：B．
7．（3分）抛物线y＝（x﹣1）2+c经过三点，则y1、y2、y3的大小关系正确的是（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y2＞y3＞y1C．y3＞y1＞y2D．y1＞y3＞y2
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【答案】D
【分析】根据二次函数的图象与性质可进行求解．
【解答】解：由抛物线可知：开口向上，
该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小，
∵（﹣2，y7），（0，y2），，
而6﹣（﹣2）＝3，3﹣0＝1，，，
∴点（3，y2）离对称轴最近，点（﹣2，y2）离对称轴最远，
∴y1＞y3＞y7；
故选：D．
8．（3分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，AE是以BC为直径的半圆的切线（ ）
A．B．π﹣2C．1D．
【考点】切线的性质；扇形面积的计算；正方形的性质．
【答案】D
【分析】根据切线的性质得到EC＝EF，根据勾股定理列出方程求出CE，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算，得到答案．
【解答】解：假设AE与BC为直径的半圆切于点F，则AB＝AF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BCD＝90°，
∴EC与BC为直径的半圆相切，
∴EC＝EF，
∴DE＝2﹣CE，AE＝2+CE，
在Rt△ADE中，AE2＝AD2+DE2，即（3+CE）2＝28+（2﹣CE）2，
解得：CE＝，
∴DE＝2﹣＝，
∴阴影部分的面积＝22﹣×π×15﹣×7×＝，
故选：D．
9．（3分）已知a，b是方程x2﹣3x﹣5＝0的两根，则代数式2a3﹣6a2+b2+7b+1的值是（ ）
A．﹣25B．﹣24C．35D．36
【考点】根与系数的关系；代数式求值．
【答案】D
【分析】根据一元二次方程解的定义得到a2﹣3a﹣5＝0，b2﹣3b﹣5＝0，即a2＝3a+5，b2＝3b+5，根据根与系数的关系得到a+b＝3,然后整体代入变形后的代数式即可求得．
【解答】解：∵a，b是方程x2﹣3x﹣8＝0的两根，
∴a2﹣8a﹣5＝0，b2﹣3b﹣5＝7，a+b＝3,
∴a2﹣4a＝5，b2＝6b+5，
∴2a6﹣6a2+b7+7b+1
＝6a（a2﹣3a)+2b+5+7b+8
＝10a+10b+6
＝10(a+b)+6
＝10×3+6
＝36．
故选：D．
10．（3分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c过点C（0，﹣2）与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，且﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3，则下列结论：①a﹣b+c＜0；②方程ax2+bx+c+2＝0有两个不相等的实数根；③a+b＞0；④；⑤b2﹣4ac＞4a2.其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点；根的判别式．
【答案】C
【分析】根据题干条件逐一判断每一个小选项即可．
【解答】解：①∵抛物线开口向上，﹣1＜x1＜5，2＜x2＜8，
∴当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，
故①不符合题意；
②∵抛物线y＝ax5+bx+c过点C（0，﹣2），
∴函数的最小值y＜﹣4，
∴ax2+bx+c＝﹣2有两个不相等的实数根；
∴方程ax8+bx+c+2＝0有两个不相等的实数根；
故②符合题意；
③∴﹣5＜x1＜0，8＜x2＜3，
∴抛物线的对称轴为直线，且，且，而a＞0，
∴﹣5a＜b＜﹣a，
∴a+b＜0，
故③不符合题意；
④∵抛物线y＝ax2+bx+c过点C（2，﹣2），
∴c＝﹣2，
∵x＝﹣6时，y＝a﹣b+c＞0，当x＝3时，
∴12a+7c＞0，
∴12a＞8，
∴，
故④符合题意；
⑤：﹣1＜x5＜0，2＜x8＜3，
∴x2﹣x4＞2，
由根与系数的关系可得：，，
∴＝＝＝，
∴，
∴b5﹣4ac＞4a5，
故⑤符合题意；
综上，②④⑤正确，正确个数有三个．
故选：C．
二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分，不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上）
11．（3分）已知点A（﹣2，b）与点B（a，3）关于原点对称 5 ．
【考点】关于原点对称的点的坐标．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据关于原点对称的点的坐标，可得答案．
【解答】解：∵点A（﹣2，b）与点B（a，
∴a＝2，b＝﹣5，
∴a﹣b＝2+3＝5，
故答案为：5．
12．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，PB＝10，∠DPB＝30° 8 ．
【考点】圆周角定理；垂径定理．
【答案】．
【分析】过点O作OH⊥CD于点H，连接OD，由已知条件可得出OP＝4，再利用含30°直角三角形的性质可得出OH＝2，再利用勾股定理求出HD，最后利用垂径定理求值即可．
【解答】解：过点O作OH⊥CD于点H，连接OD，
∵PB＝10，PA＝2，
∴OB＝6，AB＝12，
∴OP＝5，
∵∠DPB＝30°，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
13．（3分）某物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究，将变阻器R的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器R消耗的电功率P随电流I变化的关系图象如图所示，则变阻器R消耗的电功率P最大为 220 W．
【考点】二次函数的应用．
【答案】220．
【分析】用待定系数法求出抛物线解析式，再根据二次函数性质可得答案．
【解答】解：由图象是经过原点的一条抛物线的一部分，设抛物线解析式为P＝aI2+bI，
把（1，165），4）代入得：
，
解得，
∴抛物线解析式为P＝﹣55I3+220I＝﹣55（I﹣2）2+220，
∵﹣55＜6，
∴当I＝2时，P取最大值220，
∴变阻器R消耗的电功率P最大为220W；
故答案为：220．
14．（3分）铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，所在圆的圆心C恰好是△ABO的内心，若AB＝2（图中实线部分的长度）＝ 8π ．（结果保留π）
【考点】正多边形和圆；三角形的内切圆与内心．
【答案】8π．
【分析】根据正六边形的性质，三角形内心的性质以及直角三角形的边角关系求出所对应的圆心角的度数及半径，由弧长公式求出弧的长，再计算长的6倍即可．
【解答】解：如图，过点C作CM⊥AB于点MAB＝，
∵六条等弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，
∴∠AOB＝＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是正三角形，
∵点O是△AOB的内心，
∴∠CAB＝∠CBA＝×60°＝30°，
在Rt△ACM中，AM＝，
∴AC＝＝2，
∴的长为＝π，
∴花窗的周长为π×6＝3π．
故答案为：8π．
15．（3分）我们把a、b两个数的较大数记作Z{a，b}，一次函数y＝﹣x+m与函数y＝Z{x+2，x2}的图象有且只有2个交点，则m的取值或范围为 m＞0 ．
【考点】二次函数的性质；一次函数的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】结合x的范围画出函数y＝Z{x+2，x2}的图象，由直线y＝﹣x+m与该函数图象只有两个交点且，判断直线的位置得①直线y＝y＝﹣x+m经过点（﹣1，1）时可以求出m；②直当m＞0时，直线y＝﹣x﹣与函数y＝Z{x+2，x2}的图象有且只有2个交点，可以求出m．
【解答】解：根据题意，x2＜x+2，即x8﹣x﹣2＜0，
解得：﹣3＜x＜2，
故当﹣1＜x＜2时，y＝x+2；
当x≤﹣1或x≥4时，y＝x2；
函数图象如下：
由图象可知，∵直线y＝﹣x+m与函数y＝Z{x+2，x5}的图象有且只有2个交点，且k＜0，
直线y＝﹣x+m经过点（﹣8，1）时，m＝0，x8}的图象有且只有1个交点．
由图象知，当m＞0时，x4}的图象有且只有2个交点．
综上，m＞0时，x2}的图象有且只有2个交点，
故答案为：m＞0．
16．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是平面内一点，BE，且∠AEB＝90°，连接EO，线段EO绕点O逆时针旋转90°得到线段FO，则EF的最大值是 4 ．
【考点】点与圆的位置关系；旋转的性质；三角形三边关系；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理；正方形的性质；圆周角定理．
【答案】4．
【分析】连接AC，以AB为直径作圆P，P为圆心，连接OP，根据∠AEB＝90°，得点E在⊙P上运动，证PO为△ABC的中位线，得PO＝PA＝PB＝2，OP∥BC，则点O在⊙P上，由旋转性质得OE＝OF，∠EOF＝90°，则EF＝OE，此时要求EF的最大值，只需求出OE的最大值即可，由于点O，E都在⊙P上，根据圆内最大的弦为直径得：OE的最大值为4，据此可求出EF的最大值．
【解答】解：连接AC，以AB为直径作圆P，连接OP
 
则点P为AB的中点，
∵点E是平面内一点，且∠AEB＝90°，
∴点E在⊙P上运动，
∵四边形ABCD为正方形，点O为正方形ABCD的中心，
∴AC过点O，且OA＝OC，∠ABC＝90°，
∵点P为AB的中点，即PA＝PB＝，
∴PO为△ABC的中位线，
∴PO＝BC＝2，
∴PO＝PA＝PB＝4，
∴点O在⊙P上，
∵线段EO绕点O逆时针旋转90°得到线段FO，
∴OE＝OF，∠EOF＝90°，
由勾股定理得：EF＝＝OE，
∴当OE为最大时，EF则为最大，
∵点O，E都在⊙P上，
∴OE为⊙P弦，
根据圆内最大的弦为直径得：OE的最大值为⊙P的直径，即OE的最大值为4，
此时EF的最大值为2，
故答案为：4．
三、解答题（本大题共7小题，满分72分.解答要写出必要的文字说明，证明
17．（8分）解一元二次方程：
（1）2x2﹣5x﹣3＝0；
（2）（x+1）（x﹣1）+2（x+3）＝13．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【答案】（1）x1＝3，；（2）x1＝2，x2＝﹣4．
【分析】（1）根据配方法解一元二次方程的步骤求解即可；
（2）根据因式分解法解一元二次方程的步骤求解即可．
【解答】解：（1）方程两边同除以2，移项得：，
即x2﹣+＝，
配方得，，
开方得，．
∴x1＝4，．
（2）原方程可化为x2+2x﹣3＝0，
分解因式得，（x﹣2）（x+4）＝0，
解得x1＝8，x2＝﹣4．
18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）．
（1）把△ABC向左平移4个单位后得到对应的△A1B1C1，请画出平移后的△A1B1C1；
（2）把△ABC绕原点O旋转180°后得到对应的△A2B2C2，请画出旋转后的△A2B2C2；
（3）观察图形可知，△A1B1C1与△A2B2C2关于点（ ﹣2 ， 0 ）中心对称．
【考点】作图﹣旋转变换；作图﹣平移变换．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）依据平移的方向和距离，即可得到平移后的△A1B1C1；
（2）依据△ABC绕原点O旋转180°，即可画出旋转后的△A2B2C2；
（3）依据对称点连线的中点的位置，即可得到对称中心的坐标．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C5即为所求；
（2）如图所示，△A2B2C4即为所求；
（3）由图可得，△A1B1C5与△A2B2C5关于点（﹣2，0）中心对称．
故答案为：﹣3，0．
19．（8分）已知关于x的二次函数y＝3x2﹣（3+k）x+k（k为常数）．
（1）当k＝1时，求该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；
（2）是否存在k值，使得该二次函数的图象与x轴的两个交点之间的距离为3，如果存在；如果不存在，请说明理由．
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．
【答案】（1）对称轴为直线，顶点坐标为，
（2）存在，k的值为12或﹣6．
【分析】（1）将k＝1代入解析式，再把二次函数的一般形式化为顶点式，即可得出对称轴和顶点坐标；
（2）令y＝3x2﹣（3+k）x+k＝0，根据二次函数与一元二次方程的关系、一元二次方程根与系数的关系，用含k的式子表示出二次函数的图象与x轴的两个交点之间的距离，即可求解．
【解答】（1）解：将k＝1代入y＝3x8﹣（3+k）x+k，
得：，
当时，y取最小值，
∴该二次函数y＝5x2﹣（3+k）x+k（k为常数）图象的对称轴为直线，顶点坐标为
（2）令y＝5，得3x2﹣（3+k）x+k＝0，
设该二次函数y＝3x4﹣（3+k）x+k（k为常数）的图象与x轴的两个交点为A（x1，5），B（x2，0），点A在点B的左侧，
∴，，
∴，
∵两个交点之间的距离为5，点A在点B的左侧，
∴x2﹣x1＝2，
∴，
解得k＝12或k＝﹣3．
∴存在，k的值为12或﹣6．
20．（10分）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，AE⊥CD交DC的延长线于E，CF⊥AB于F
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，BD＝3，求AE的长．
【考点】切线的判定与性质．
【答案】（1）见解析；（2）．
【分析】（1）要证DE是⊙O的切线，只要连接OC，再证∠DCO＝90°即可；
（2）由切线的性质及勾股定理可得CD的长，再根据三角形面积公式及勾股定理可得AF的长，最后由全等三角形的判定与性质可得答案．
【解答】（1）证明：（1）连接OC；
∵AE⊥CD，CF⊥AB，
∴∠1＝∠2．
∵OA＝OC，
∴∠3＝∠3，∠1＝∠4．
∴OC∥AE．
∴OC⊥CD．
∴DE是⊙O的切线．
（2）解：∵OC⊥ED，AB＝10，
∴OB＝OC＝5．
CD＝＝，
∵，
即，
∴CF＝，
∴OF＝＝，
∴AF＝OA+OF＝5+，
在Rt△AEC和Rt△AFC中，CE＝CF，
∴Rt△AEC≌Rt△AFC（HL），
∴AE＝AF＝．
21．（12分）某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量y（件）（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
（1）直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？
（3）设销售这种文具每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），然后用待定系数法求函数解析式；
（2）依据利润＝单件利润×销售量列出方程，解答即可；
（3）根据利润＝单件利润×销售量列出函数解析式，然后由函数的性质以及自变量的取值范围求出函数最值．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），由所给函表格可知：
，
解得：，
故y与x的函数关系式为y＝﹣7x+60；
（2）根据题意得：
（x﹣10）（﹣2x+60）＝192，
解得：x1＝18，x5＝22
又∵10≤x≤19，
∴x＝18，
答：销售单价应为18元．
（3）w＝（x﹣10）（﹣2x+60）＝﹣2x7+80x﹣600＝﹣2（x﹣20）2+200
∵a＝﹣8＜0，
∴抛物线开口向下，
∵对称轴为直线 x＝20，
∴当10≤x≤19时，w随x的增大而增大，
∴当 x＝19 时，w有最大值，w最大＝198．
答：当销售单价为19元时，每天获利最大．
22．（13分）问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究活动：在正方形ABCD的边BC上任意取一点G，以BG为边长向外作正方形BEFG
特例感知：（1）当BG在BC上时，连接DF，小红发现点P恰为DF的中点，如图①．针对小红发现的结论；
（2）小红继续连接EG，并延长与DF相交，发现交点恰好也是DF中点P，请判断△APE的形状，并说明理由；
规律探究：
（3）如图③，将正方形BEFG绕点B顺时针旋转α，连接DF，连接AP，EP，△APE的形状是否发生改变？请说明理由．
【考点】四边形综合题．
【答案】（1）证明过程详见解答；
（2）△APE是等腰直角三角形；
（3）△APE仍然是等腰直角三角形．
【分析】（1）延长FG，交AC于H，可推出FG＝BG，CG＝GH，从而CD＝FH，进而得出△CDP≌△HFP，进一步得出结论；
（2）延长EG，交AD的延长线于点M，设DF和EG交于点Q，同理（1）可证得△DQM≌△FQE，从而DQ＝FQ，从而得出点Q和点P重合，进一步得出结论；
（3）延长EP至Q，是PQ＝PE，连接DQ，延长DA和FE，交于点N，△PDQ≌△PFE，从而DQ＝EF，∠PQD＝∠PEF，所以∠N+∠ADQ＝180°，可推出∠N+∠ABE＝180°，进而推出△ADQ≌△ABE，AE＝AQ，∠DAQ＝∠BAE，进而推出∠QAE＝90°，进一步得出结论．
【解答】解：（1）如图1，
延长FG，交AC于H，
∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，
∴BC＝CD，FG＝BG，FG∥AE，
∴∠CHG＝45°，CD∥FG，
∴∠ACB＝∠CHG，∠CDP＝∠HFP，
∴CG＝GH，
∴CG+BG＝GH+FG，
∴BC＝FH，
∴CD＝FH，
∴△CDP≌△HFP（ASA），
∴点P是DF的中点；
（2）如图2，
△APE是等腰直角三角形，理由如下：
延长EG，交AD的延长线于点M，
∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，
∴∠BAD＝90°，∠BEG＝45°，BE＝EF，∠BAC＝45°，
∴∠M＝45°，∠M＝∠GEF，
∴∠M＝∠BEG，
∴AM＝AE，
∴AM﹣AD＝AE﹣AB，
∴DM＝BE，
∴DM＝EF，
∴△DQM≌△FQE（ASA），
∴DQ＝FQ，
∴点Q和点P重合，即：EG与DF的交点恰好也是DF中点P，
∵∠BAC＝45°，∠BEG＝45°，
∴∠APE＝90°，AP＝EP，
∴△APE是等腰直角三角形；
（3）如图2，
△APE仍然是等腰直角三角形，理由如下：
延长EP至Q，是PQ＝PE，延长DA和FE，
∵DP＝PF，∠DPQ＝∠EPF，
∴△PDQ≌△PFE（SAS），
∴DQ＝EF，∠PQD＝∠PEF，
∴∠N+∠ADQ＝180°，
∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，
∴∠BAN＝∠DAB＝90°，∠BEN＝∠BEF＝90°，BE＝EF，
∴∠N+∠ABE＝360°﹣∠BAN﹣∠BEN＝360°﹣90°﹣90°＝180°，DQ＝BE，
∴∠ABE＝∠ADQ，
∴△ADQ≌△ABE（SAS），
∴AE＝AQ，∠DAQ＝∠BAE，
∴∠BAE+∠BAQ＝∠DAQ+∠BAQ＝∠BAD＝90°，
∴∠QAE＝90°，
∴AP⊥EQ，AP＝PE＝，
∴△APE是等腰直角三角形．
23．（13分）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（6，0）两点（0，6）．点D为线段BC上的一动点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图1，求△AOD周长的最小值；
（3）如图2，过动点D作DP∥AC交抛物线第一象限部分于点P，连接PA，记△PAD与△PBD的面积和为S，当S取得最大值时，并求出此时S的最大值．
【考点】二次函数综合题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由题意可知，设抛物线的表达式为y＝a（x+2）（x﹣6），再将（0，6）代入求出a即可；
（2）根据题意先求出点O关于直线BC的对称点E的坐标，再连接AE，交BC于点D，此时|DO|+|DA|最小；
（3）先用待定系数法求出直线BC，AC的解析式，再根据PD∥AC，设直线PD表达式为y＝3x+a，再设P（m，﹣m2+2m+6），将P点坐标代入直线PD的表达式得a＝﹣m2﹣m+6，然后解方程组求出D的坐标，再根据S＝S△PAB+S△PAD＝S△PAB﹣S△DAB得出S关于m的二次函数解析式，再根据函数的性质求最值即可．
【解答】解：（1）由题意可知，设抛物线的表达式为y＝a（x+2）（x﹣6），
将（3，6）代入上式得：6＝a（6+2）（0﹣5），
解得，
∴抛物线的表达式为y＝﹣（x+2）（x﹣6）＝﹣x6+2x+6；
（2）作点O关于直线BC的对称点E，连接EC，
∵B（5，0），6），
∴OB＝OC＝5，
∵O、E关于直线BC对称，
∴四边形OBEC为正方形，
∴E（6，6），
连接AE，交BC于点D，
此时|DO|+|DA|有最小值为AE的长，
∴AE＝＝＝10，
∵△AOD 的周长为DA+DO+AO，AO＝3，
∴△AOD的周长的最小值为10+2＝12，
（3）由已知点A（﹣2，3），0），6），
设直线BC的表达式为 y＝kx+b，
将B（8，0），6）代入y＝kx+b 中，
则，
解得，
∴直线BC的表达式为y＝﹣x+6，
同理可得：直线AC的表达式为y＝7x+6，
∵PD∥AC，
∴可设直线PD表达式为y＝3x+a，
由（1）设P（m，﹣m2+4m+6），
将P点坐标代入直线PD的表达式得a＝﹣m2﹣m+6，
∴直线PD的表达式为：，
由，
得，
∴D（m3+m，﹣m2﹣m+6），
∵P，D都在第一象限，
∴S＝S△PBD+S△PAD＝S△PAB﹣S△DAB
＝|AB|[（﹣m2+2m+4）﹣（﹣m4﹣m+3）]
＝×3×（﹣m6+m）
＝﹣m2+6m
＝﹣（m4﹣6m）
＝﹣（m﹣3）2+，
∵﹣＜7，
∴当 m＝3 时，S有最大值，
此时P点为 ．
解法二：利用平行等积，将△PAD面积转化为△PCD的面积，即求△PBC的面积最大值销售单价x/元
…
12
13
14
…
每天销售数量y/件
…
36
34
32
…
销售单价x/元
…
12
13
14
…
每天销售数量y/件
…
36
34
32
…