2023年山东省日照市东港区北京路中学中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2023年山东省日照市东港区北京路中学中考数学一模试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年山东省日照市东港区北京路中学中考数学一模试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  的相反数是(    )A.  B.  C.  D. 2.  下列图案中，任意选取一个图案，既是中心对称图形也是轴对称图形的为(    )
 A.  B.  C.  D. 3.  若与互为相反数，则的值为(    )A.  B.  C.  D. 4.  下列说法正确的是(    )A. “人中必有人的生日是同一天”是必然事件
B. 了解一批灯泡的使用寿命采用全面调查
C. 一组数据，，，，的众数是，中位数是
D. 一组数据，，，，的平均数是，方差是5.  在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于，的方程组的解为(    )A.  B.  C.  D. 6.  下列命题中，错误的是(    )A. 三角形三边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等
B. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
C. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形
D. 顺次连接菱形各边中点所得的四边形是正方形7.  一个几何体的三视图及相应的棱长如图所示，则左视图的面积为(    )
 A.  B.  C.  D. 8.  如图，一只正方体箱子沿着斜面向上运动，，箱高米，当米时，点离地面的距离是米．(    )A.
B.
C.
D. 9.  关于的分式方程的解为正数，且关于的不等式组的解集为，则所有满足条件的整数的个数为(    )A.  B.  C.  D. 10.  如图，点是反比例函数图象上一动点，连接并延长交图象另一支于点又为第一象限内的点，且，当点运动时，点始终在函数的图象上运动则的正切值为(    )A.
B.
C.
D. 11.  如图，矩形中，，，点、分别为、边上的点，且，点为的中点，点为上一动点，则的最小值为(    )
 
  
 A.  B.  C.  D. 12.  如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析如下结论：；；当时，随的增大而增大；若一次函数的图象经过点，则点在第四象限；点是抛物线的顶点，若，则其中正确的有(    )A. 个 B. 个 C. 个 D. 个二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.  若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为        ．14.  如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，四边形是平行四边形，点的坐标为，点的坐标为，点在第二象限，反比例函数的图象恰好经过点，则的值为______ ．
 15.  如图，在矩形中，，，为中点，连接动点从点出发沿边向点运动，动点从点出发沿边向点运动，两个动点同时出发，速度都是每秒个单位长度，连接，，，设运动时间为秒，则 ______ 时，为直角三角形．16.  如图，四边形是边长为的正方形，是等边三角形，连接并延长交的延长线于点，连接交于点，下列结论：；∽；：：；其中正确的有______ 填序号
三、解答题（本大题共6小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
计算：
先化简，再求值：，其中．18.  本小题分
为了了解全校名学生对学校设置的篮球、羽毛球、乒乓球、踢毽子、跳绳共项体育活动的喜爱情况，在全校范围内随机抽查部分学生，对他们喜爱的体育项目每人只选一项进行了问卷调查，将统计数据绘制成如图两幅不完整统计图，请根据图中提供的信息解答下列各题．

______，这次共抽取了______名学生进行调查；并补全条形图；
请你估计该校约有______名学生喜爱打篮球；
现学校准备从喜欢跳绳活动的人三男一女中随机选取人进行体能测试，请利用列表或画树状图的方法，求抽到一男一女学生的概率是多少？19.  本小题分
某工厂制作，两种手工艺品，每天每件获利比多元，获利元与获利元时的数量相等．
制作一件和一件分别获利多少元？
工厂安排人制作，两种手工艺品，每人每天制作件或件在的条件下，每天制作不少于件．当每天制作件时，每件获利不变，若每增加件，则当天平均每件获利减少元．求每天制作二种手工艺品的人数及可获得的总利润元的最大值．20.  本小题分
如图，四边形内接于，，、的延长线交于点，点在上，且．
求证：是的切线；
当时，若，，求的半径．
21.  本小题分
操作与研究：如图，被平行于的光线照射，于，在投影面上．

指出图中线段的投影是______ ，线段的投影是______ ．
问题情景：如图，中，，，我们可以利用与相似证明，这个结论我们称之为射影定理，请证明这个定理．
【结论运用】如图，正方形的边长为，点是对角线，的交点，点在上，过点作，垂足为，连接，
试利用射影定理证明∽；
若，求的长．22.  本小题分
如图，对称轴为直线的抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且．
求抛物线的解析式；
抛物线顶点为，直线交轴于点；
设点为线段上一点点不与、两点重合，过点作轴的垂线与抛物线交于点，求面积的最大值；
在线段上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：的相反数是．
故选：．
利用相反数的定义判断．
本题考查了相反数，掌握相反数的定义是关键．
 2.【答案】 【解析】解：图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
图形既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
图形既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意．
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 3.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了绝对值的非负性，二次根式的非负性，代数式的值，完全平方公式，相反数根据相反数的定义得到，再根据非负数的性质得，，然后利用完全平方公式变形得到，求出，再求出，最后计算它们的和即可．
【解答】解：根据题意得，
，，
即，，
，，
．
故选A．  4.【答案】 【解析】【分析】
本题主要考查了必然事件、抽样调查、众数、中位数以及方差，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．根据必然事件、抽样调查、众数、中位数以及方差的概念进行判断即可．
【解答】
解：“人中必有人的生日是同一天”是必然事件，故本选项正确；
B.了解一批灯泡的使用寿命采用抽样调查，故本选项错误；
C.一组数据，，，，的众数是，中位数是，故本选项错误；
D.一组数据，，，，的平均数是，
方差是，故本选项错误
故选A．  5.【答案】 【解析】解：将点代入，
得，
，
关于，的方程组的解为，
故选：．
先将点代入，求出，即可确定方程组的解．
本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，求出两直线的交点坐标是解题的关键．
 6.【答案】 【解析】解：、三角形三边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，所以选项为真命题；
B、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以选项为真命题；
C、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，所以选项为真命题；
D、顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形，所以选项为假命题．
故选：．
根据三角形外心的性质对进行判断；根据平行四边形的判定方法对进行判断；根据矩形的判定方法对进行判断；根据三角形中位线性质和菱形的性质对进行判断．
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
 7.【答案】 【解析】解：观察图形可知，该几何体为长，宽，高的长方体，
左视图的面积为．
故选：．
由三视图得该几何体为长方体，长为，宽为，高为，列式计算即可求解．
本题考查了由三视图判断几何体，得到该几何体长，宽，高是解决本题的突破点．
 8.【答案】 【解析】解：过点作，垂足为，

由题意得：，，
，，
，
，
在中，米，
米，
在中，米，
米，
米，
米，
点离地面的距离是米，
故选：．
过点作，垂足为，根据题意可得，，再利用等角的余角相等可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 9.【答案】 【解析】解：解分式方程得：，
且，
且，
且，
解不等式组得：，
不等式组的解集为，
，
，
且，
所有满足条件的整数的值有，，，共个，
故选：．
解分式方程得得出，结合题意及分式方程的意义求出且，解不等式组得出，结合题意得出，进而得出且，继而得出所有满足条件的整数的值，即可得出答案．
本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式组，解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解，掌握求解分式方程，一元一次不等式组，一元一次不等式是解决问题的关键．
 10.【答案】 【解析】解：连接，过点作轴于点，过点作轴于点，如图所示：
由直线与反比例函数的对称性可知、点关于点对称，
．
又，
．
，，
，
又，，
∽，
，
，，
，，
，
解得：负值舍去，
的正切值为，
故选：．
连接，过点作轴于点，过点作轴于点，如图所示：根据轴对称的性质得到根据等腰三角形的性质得到根据相似三角形的性质得到，得到，，即可得到结论．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质以及相似三角形的判定及性质，解题的关键是求出本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，巧妙的利用了相似三角形的性质找出对应边的比例，再结合反比例函数图象上点的坐标特征找出结论．
 11.【答案】 【解析】【分析】
因为，点为的中点，根据直角三角形斜边上中线的性质得出，所以是以为圆心，以为半径的圆上的点，作关于的对称点，连接，交于，交以为圆心，以为半径的圆于，此时的值最小，最小值为的长；根据勾股定理求得，即可求得，从而得出的最小值．
本题考查了轴对称最短路线问题，判断出点的轨迹是解题的关键．凡是涉及最短距离的问题，一般要结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
【解答】
解：，点为的中点，
，
是以为圆心，以为半径的圆弧上的点，
作关于的对称点，连接，交于，交以为圆心，以为半径的圆于，
此时的值最小，最小值为的长；
，，
，
，
，
的最小值为，
故选：．  12.【答案】 【解析】解：抛物线开口向上，
，
对称轴是直线，
，

抛物线交轴的负半轴，
，
，故正确，
，，
，故正确，
观察图象可知，当时，随的增大而减小，故错误，
一次函数的图象经过点，
有两种情形：当时，，此时在第二象限，
当时，，此时在第四象限，故错误．
抛物线经过，，
可以假设抛物线的解析式为，
，，
过点作轴于点，设对称轴交轴于点．
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，故正确，
故选：．
正确，根据抛物线的位置判断即可；
正确，利用对称轴公式，可得，可得结论；
错误，应该是时，随的增大而增大；
错误，分两种情形，讨论求解；
正确，设抛物线的解析式为，可得，，过点作轴于点，设对称轴交轴于点利用相似三角形的性质，构建方程求出即可．
本题考查二次函数的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
 13.【答案】且． 【解析】解：关于的一元二次方程有实数根，
，
，
解得：且．
故答案为：且．
根据二次项系数非零结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围．
本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据一元二次方程的定义结合根的判别式，列出关于的一元一次不等式组是解题的关键．
 14.【答案】 【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，，，
，，
解得，，
，
将代入并解得，
故答案为：．
根据平行四边形的性质和点，，的坐标求出点的坐标，再把点的坐标代入即可求解．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
 15.【答案】或 【解析】解：过点作的垂线，交于点，交于点，如图，
点是的中点，
，
，
由勾股定理可求：，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
当，
由勾股定理可求：，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
当，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
当，
由题意知：此情况不存在，
综上所述，为直角三角形时，或．
是直角三角形时，有三种情况，一是，二是，三是，然后进行分类讨论求出的值．
本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，有一定的综合性．
 16.【答案】 【解析】解：是等边三角形，四边形是正方形，
，，，
，
则，故正确；
，
，
，
∽，
故正确；
如图，过点作于，

设，则，，
，
由知，
解得，
，
，
，
故错误；
，，
，
，
，
，
，
故正确；
故答案为：．
由等边三角形及正方形的性质求出，，从而判断；证可判断；作，设，则，，，由求出，从而求得、的长，据此可判断，证，根据求解可判断．
本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形和正方形的性质、等腰三角形的判定与性质及相似三角形的判定等知识点是解题的关键．
 17.【答案】解：原式

；
原式

，
，
，
或，
又，
，，，
当时，
原式． 【解析】化简零指数幂，绝对值，负整数指数幂，代入特殊角的三角函数值，然后算乘法，再去括号，算加减；
将小括号内的式子进行通分计算，然后算括号外面的除法，最后利用因式分解法解一元二次方程，根据分式有意义的条件选取合适的的值代入求值．
本题考查分式的化简求值，因式分解法解一元二次方程，掌握分式混合运算的运算顺序先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的和计算法则是解题关键．
 18.【答案】，  ；
不全条形图如下：

；
列表如下： 男男男女男 男，男男，男女，男男男，男 男，男女，男男男，男男，男 女，男女男，女男，女男，女 所有可能出现的结果共种情况，并且每种情况出现的可能性相等．
其中一男一女的情况有种．
抽到一男一女的概率． 【解析】【分析】
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及扇形统计图、条形统计图的知识．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
首先由扇形图可求得；由跳绳的人数有人，占的百分比为，可得总人数；
由，即可求得该校约有名学生喜爱打篮球；
首先根据题意画出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与抽到一男一女学生的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】
解：；
跳绳的人数有人，占的百分比为，
人；
故答案为：，；
选择乒乓球的人数为人，由此可补全条形图．
；
故答案为：；
见答案．  19.【答案】解：设制作一件种手工艺品获利元，则制作一件种手工艺品获利元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：制作一件种手工艺品获利元，制作一件种手工艺品获利元．
设安排人制作种手工艺品，则安排人制作种手工艺品，每件种手工艺品获利元，
依题意得：，
即．
，
当时，取得最大值，最大值为，此时．
答：当安排人制作种手工艺品，人制作种手工艺品时，总利润取得最大值，最大值为元． 【解析】设制作一件种手工艺品获利元，则制作一件种手工艺品获利元，根据获利元与获利元时的数量相等，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出制作一件种手工艺品获得的利润，再将其代入中即可求出制作一件种手工艺品获得的利润；
设安排人制作种手工艺品，则安排人制作种手工艺品，每件种手工艺品获利元，利用获得的总利润制作每件种手工艺品获得的利润制作数量制作每件种手工艺品获得的利润制作数量，即可得出关于的函数关系式，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了分式方程的应用以及二次函数的应用，解题的关键：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．
 20.【答案】解：如图，连接，
，
点必在上，即：是直径，
，
，
，
，
，
，
，即：，
点在上，
是的切线；
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
∽，
，
，
的半径． 【解析】先判断出是圆的直径，再判断出，即可得出结论；
根据余角的性质和等腰三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．
此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理，求出是解本题的关键．
 21.【答案】   【解析】解：根据题意，图中线段的投影是，线段的投影是．
故答案为：，；
证明：如图，

，，
，
而，
∽，
：：，
；
证明：如图，

四边形为正方形，
，，
，
，
，
，
即，
而，
∽；
解：，
而，
，，
在中，，
在中，，
∽，
，
即，
．
根据题意，即可解答；
通过证明∽得到：：，然后利用比例性质即可得到；
根据射影定理得，，则，即，加上，于是可根据相似三角形的判定得到结论；
先计算出，，，，再利用中结论∽得到，代入数据即可求解．
本题考查了相似三角形的判定与性质和正方形的性质，掌握直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项是解题的关键．
 22.【答案】解：抛物线对称轴为直线
，
，
由一元二次方程根与系数关系：
，，
，
，
则，
抛物线解析式为：；
由点坐标为，
当时，，
解得，，
点坐标为；
设点坐标为，
的面积，
整理的，
，
，
，
当时，；
存在，
由已知点坐标为，点坐标为，
直线解析式为：，
则点坐标为，
连、，则由勾股定理，

，
，
，
，
，
，
，
点纵坐标为，
代入，
，
存在点坐标为． 【解析】本题是二次函数综合题，考查一元二次方程根与系数关系、二次函数图象性质及勾股定理逆定理．在求面积时，合理设出未知数可以简化计算．
应用对称轴方程、根与系数关系求，
设出点坐标表示面积，求最大值；
利用勾股定理逆定理，证明，则轴，问题可解．