2024年江苏省宿迁市宿豫区九年级中考一模数学模拟试题（含解析）

这是一份2024年江苏省宿迁市宿豫区九年级中考一模数学模拟试题（含解析），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．若盈利10元记为元，则亏损5元记为（ ）
A．元B．元C．元D．元
2．下列运算中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，直线，点在直线上，点B在直线n上，平分，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
4．一个正方体的六个面分别写了六个字“正确对待中考”，展开后如图所示，“正”的对面是（ ）

A．对B．待C．中D．考
5．某校九年级（1）班全体学生2024年某次体育模拟考试的成绩统计如表：
根据表中的信息判断，下列结论中错误的是（ ）
A．该班一共有50名同学
B．该班学生这次考试成绩的众数是38分
C．该班学生这次考试成绩的中位数是37分
D．该班学生这次考试成绩的中位数是38分
6．关于x的方程的解是正数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．且
7．如图，在⊙O中，，点C在劣弧上．若，则度数为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，菱形在直角坐标系中，点C的坐标为，对角线，反比例函数经过点A，则k的值为（ ）
A．6B．12C．D．32
二、填空题（本大题共10小题，每题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．分解因式： ．
10．1月17日，国家统计局发布数据显示，2023年全年出生人口9020000人，该数据为连续第7年下降，进一步延续下降趋势，也是1949年以来的最低水平．数据9020000用科学记数法表示为 ．
11．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
12．如果一个多边形的内角和与外角和的比是，那么这个多边形的边数是 ．
13．若不等式组有解，则a的取值范围是 ．
14．如图，在中，D为斜边的中点，E为上一点，F为中点，，若，则的长为 ．
15．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，A、B、C三点都在格点位置，则的值是 ．

16．如图，圆锥形烟囱帽的高为，母线长为，则烟囱帽的侧面积为 ．（结果保留）

17．已知，，抛物线顶点在线段AB上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论：①；②当时，一定有y随x的增大而增大；③若点D横坐标的最小值为，则点C横坐标的最大值为3；④当四边形ABCD为平行四边形时，．其中正确的是 ．（填序号）
18．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点B在x轴正半轴上，且，点C在y轴负半轴上，点D在y轴正半轴上，且，则线段的最小值是 ．
三、解答题（本大题共10题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算：．
20．先化简，再求值：，其中x，y满足．
21．如图，已知．
(1)尺规作图：作对角线的垂直平分线，交于点E，交于点F；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)连接、．求证：四边形是菱形．
22．为落实“双减”政策．优化作业管理，某中学从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们每天完成书面作业的时间t（单位：分钟）按照完成时间分成五组：A组．“”，B组．“”，C组．“”，D组．“”，E组“”，将收集的数据整理后，绘制成如图两幅不完整的统计图．

根据以上信息，解答下列问题：
(1)这次调查的总人数是_______人，请补全条形统计图；
(2)在扇形统计图中，B组的圆心角是________度；
(3)若该校有1800名学生，请你估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数．
23．不透明的袋子中装有2个白球、1个红球，这些球除颜色外无其他差别．
(1)从袋子中随机摸出一个球，摸到白球的概率是 ；
(2)从袋子中随机摸出一个球后，放回并摇匀，再随机摸出一个球．求两次都摸到白球的概率．
24．某校组织九年级学生到三台山森林公园游玩，数学兴趣小组同学想利用测角仪测量天和塔的高度．如图，塔前有一座高为的斜坡，已知，，点E、C、A在同一条水平直线上．某学习小组在斜坡C处测得塔顶部B的仰角为45°，在斜坡D处测得塔顶部B的仰角为39°．
(1)求的长；
(2)求塔的高度．（取0.8，取1.7，取1.4，结果取整数）
25．如图，⊙O是的外接圆，是⊙O的直径，点D在⊙O上，，连接，延长交过点C的切线于点E．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
26．为全面贯彻党的教育方针，保障学生每天在校1小时体育活动时间，某班计划采购A、B两种类型的羽毛球拍．已知购买3副A型羽毛球拍和4副B型羽毛球拍共需248元；购买5副A型羽毛球拍和2副B型羽毛球拍共需264元．
(1)求A、B两种类型羽毛球拍的单价．
(2)该班准备采购A、B两种类型的羽毛球拍共30副，且A型羽毛球拍的数量不少于B型羽毛球拍数量的2倍，请给出最省钱的购买方案，求出最少费用，并说明理由．
27．背景：在数学综合实践活动中，小明利用等面积法得到了关于三角形角平分线的一个结论，如图1，已知是的角平分线，可证．小红经过思考，认为也可以构造相似三角形来证明，小红的证明思路是：如图2，过点B作，交的延长线于点E，从而证得．
证明：（1）请参照小红提供的思路，利用图2证明：；
运用：（2）如图3，是的角平分线，M是边的中点，过M点作，交的延长线于点N，交于点G．若，，求线段的长；
拓展：（3）如图4，⊙O是的外接圆，是直径，点D是半圆的中点，连接交于点E．若，，求线段的长．
28．已知点和在二次函数（是常数，）的图象上，该图象与轴交于点．
(1)当时，求a和b的值；
(2)若二次函数的图象经过点且点M不在坐标轴上，当时，求n的取值范围；
(3)若，，且，点P为直线上方抛物线上的一动点，连接交于点D，求出的最大值及此时点P的坐标．
参考答案与解析
1．A
【分析】根据“正负数是具有相反意义的两个量，规定哪一个为正，则和它意义相反的量记为负”，进行求解即可．
【解答】解：亏损5元记为元，
故选：A．
2．B
【分析】本题主要考查合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，完全平方公式．利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，完全平方公式，幂的乘方的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、与不是同类项，不能合并，本选项不符合题意；
B、，本选项符合题意；
C、，本选项不符合题意；
D、，本选项不符合题意；
故选：B．
3．D
【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
根据平行线的性质，，可求出的度数，再根据角平分的性质即可求解的度数．
【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
故选：D．
4．C
【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字．正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【解答】解：“正”字所在面的对面所写的字是：中，
故选：C．
5．C
【分析】本题主要考查众数和中位数．由题意直接根据总数，众数，中位数的定义逐一判断即可得出答案.
【解答】解：该班一共有：（人），
得38分的人数最多，众数是38分，
第25和26名同学的成绩的平均值为中位数，中位数为（分），
故选项A、B、D正确，选项C错误，
故选：C．
6．D
【分析】本题主要考查根据分式方程的解求参数，掌握解分式方程的方法，不等式的性质是解题的关键．
根据解分式方程的方法用含a的式子表示分式方程的解，再根据解为正数，不等式的性质求解即可．
【解答】解：
去分母得，
去括号得，
移项得，
合并同类项得，
系数化为1得，，
∵解为正数，且，
∴，且
∴且，
故答案为：．
7．A
【分析】本题主要考查圆周角定理．根据圆周角定理可求解的度数，连接，再利用圆周角定理结合垂直的定义可求解的度数即可．
【解答】解：连接，
∵，
，
，
，
，
故选：A．
8．B
【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用．连接交于点，根据菱形的性质，求出的长，过点作轴，设，得到，勾股定理求出的长，进而求出点坐标，即可．
【解答】解：连接交于点，过点作轴，
∵菱形，，
∴，，，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴；
故选B．
9．
【分析】直接根据平方差公式进行因式分解即可.
【解答】，
故填
【点拨】本题考查利用平方差公式进行因式分解，解题关键在于熟练掌握平方差公式.
10．
【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：数据9020000用科学记数法表示为：，
故答案为：．
11．且
【分析】本题考查二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，熟练掌握二次根式被开方数大于等于零、分式的分母不能为零是解题关键．
根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件列不等式组求解即可．
【解答】解：∵在实数范围内有意义，
∴，解得：且．
故答案为：且．
12．9
【分析】本题考查了多边形内角与外角．设这个多边形的边数为，依据多边形的内角和与外角和之比是，列出方程，即可得到的值．
【解答】解：设这个多边形的边数为，依题意得：
，
解得，
这个多边形的边数为9．
故答案为：9．
13．
【分析】本题考查了求不等式的解集．根据同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解），可得答案．
【解答】解：解不等式组得：
，
∵不等式组有解，
∴，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了直角三角形斜边中线等于斜边一半和中位线的性质，根据题意可得，从而可得，再根据三角形中位线定理可得，即可求解．
【解答】解：∵D为斜边的中点，
∴，
∵，
∴，
∵D为斜边的中点，F为中点，
∴是的中位线，
∴，
故答案为：．
15．##
【分析】本题考查了锐角三角函数，网格与勾股定理．利用面积法求得的高，再利用锐角三角函数的定义求解即可．
【解答】解：作的高，

∵，，
，
，
∴，
∴，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了圆锥的侧面积、勾股定理．根据圆锥的高、母线长求出底面圆周长，再利用S=即可求解．
【解答】解：∵圆锥的高是，母线长是，
∴底面半径为：，
∴底面圆周长，
∴圆锥的侧面积=．
故答案为：．
17．①③④
【分析】根据顶点在线段上，抛物线与轴的交点坐标为，可以判断出的取值范围，得到①正确；根据二次函数的增减性判断出②的错误；先确定时，点的横坐标取得最大值，根据二次函数的对称性求出点的坐标，即可判断③正确；令，利用根与系数关系与顶点的纵坐标求出的表达式，然后根据平行四边形的对边平行且相等可得，然后列出方程求得的值，判断出④正确．
【解答】解：∵点的坐标分别为(－3，－2)和(1，－2)，
∴线段与轴的交点坐标为(0，－2)，
又∵抛物线的顶点在线段上运动，抛物线与轴的交点坐标为，
∴，（顶点在轴上时取“＝”）故①正确；
∵抛物线的顶点在线段上运动，开口向上，
∴只有当时，一定有y随x的增大而增大，故②错误；
若点的坐标最小值为，此时抛物线的对称轴直线为，
由抛物线的对称性可得此时点的横坐标为，则，
∵抛物线的形状不变，当抛物线的对称轴直线为，此时的横坐标为，
∴的横坐标的最大值为，故③正确；
令，则，设点的坐标分别为(，0)，(，0)，
∴，，
∴，
∵顶点的纵坐标为，顶点的纵坐标公式为，
∴，即，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，解得，故④正确；
∴正确的是①③④，
故答案为：①③④
【点拨】本题考查了二次函数的综合题，主要利用了二次函数的顶点坐标，二次函数的对称性，根与系数关系，平行四边形的性质，要注意顶点在轴上的情况和顶点分别在两点的情况．
18．
【分析】本题考查了中点四边形，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质．作中点四边形，证明中点四边形是矩形，由，，当共线时，取得最小值，最小值为的长，据此求解即可．
【解答】解：连接，分别取的中点并连接得到中点四边形，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，，
∴当共线时，取得最小值，最小值为的长，
∵，
在中，，
∴的最小值为，
故答案为：．
19．
【分析】本题主要考查实数的混合运算，掌握负指数幂，非零数的零次幂，求一个数的立方根，特殊角的三角函数值的方法是解题的关键．
先算负指数幂，零次幂，立方根，特殊角的三角函数值，再算乘法，最后算加减即可求解．
【解答】解：
．
20．，
【分析】本题主要考查分式的混合运算，代入求值，掌握分式的混合运算方法是解题的关键．
根据分式的性质，分式的混合运算法则进行化简，再将变形代入即可求解．
【解答】解：
，
∵，则，
∴原式．
21．(1)作图见解答
(2)证明见解答
【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，垂直平分线的画法，掌握平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，垂直平分线的性质是解题的关键．
（1）根据垂直平分线的画法即可求解；
（2）根据平行四边形的性质可证，可得，可证四边形是平行四边形，再结合垂直平分线的性质可得，由“一组邻边相等的平行四边形是菱形”即可求证．
【解答】（1）解：分别以点为圆心，以大于为半径画弧，交于点，连接交于点，交于点，如图所示，

∴是对角线的垂直平分线；
（2）解：如图所示，连接，设与交于点，

∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，且，
在中，
，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴ 平行四边形是菱形．
22．(1)100，见解析
(2)72
(3)1710人
【分析】（1）根据C组人数及所占比例得出总人数，确定D组的人数即可补全统计图；
（2）用360度乘以B组人数所占的比例即可；
（3）总人数乘以不超过90分钟学生的比例即可得出结果．
【解答】（1）解：人，
∴D组的人数为： ，
补全的条形统计图如下图所示：

（2），
故答案为：；
（3） （人），
答：估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生有1710人．
【点拨】题目主要考查扇形统计图与条形统计图，用样本估计总体及求扇形的圆心角等，理解题意，根据扇形统计图与条形统计图获取相关信息是解题关键．
23．(1)
(2)两次摸出的球都是白球的概率为
【分析】本题主要考查用列表法进行求解概率．
（1）根据概率公式可直接进行求解；
（2）根据列表法可进行求解概率．
【解答】（1）解：由题意可得摸到白球的概率为；
故答案为；
（2）解：由题意可列表如下：
∴两次摸出球的情况总共有9种，其中两次摸出的球都是白球有4种情况，
∴两次摸出的球都是白球的概率为．
24．(1)的长为；
(2)塔的高度约为．
【分析】本题考查解直角三角形的应用．
（1）根据含30度角的直角三角形的性质求解即可；
（2）设，分别在和中，利用锐角三角函数定义求得，，过点作，垂足为．可证明四边形是矩形，得到，．在中，利用锐角三角函数定义得到，然后求解即可．
【解答】（1）解：在中，，，
．
即的长为；
（2）解：设，
在中，，
．
在中，由，，，
则．
．
如图，过点作，垂足为．

根据题意，，
四边形是矩形．
，．
可得．
在中，，，
．即．
．
答：塔的高度约为．
25．(1)见解析
(2)．
【分析】（1）利用等腰三角形的性质可得，再利用同弧所对的圆周角相等可得，即可解答；
（2）根据直径所对的圆周角是直角可得，利用勾股定理求出的长，再根据同弧所对的圆周角相等可得，进而可证，然后利用相似三角形的性质可求出的长即可解答．
【解答】（1）证明：连接，
，
，
，
；
（2）解：与相切于点，
，
四边形是圆内接四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的直径，
，
，，
，
，，
，
，
，
．
【点拨】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质，以及圆周角定理是解题的关键．
26．(1)A种球拍每副40元，B种球拍每副32元．
(2)费用最少的方案是购买A种球拍20副，B种球拍10副，所需费用1120元；见解析．
【分析】（1）设A种球拍每副x元，B种球拍每副y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设购买B型球拍a副，根据题意列出不等式，解不等式求出a的范围，根据题意列出费用关于a的一次函数，根据一次函数的性质解答即可．
【解答】（1）解：设A种球拍每副x元，B种球拍每副y元，
解得，
检验，符合题意，
答：A种球拍每副40元，B种球拍每副32元；
（2）解：设购买B型球拍a副，则A副，总费用w元，
由题意得，
解得，
，
，
随a的增大而减小，
当时，w最小，w最小（元），
此时（副），
答：费用最少的方案是购买A种球拍20副，B种球拍10副，所需费用1120元．
【点拨】本题考查的是列二元一次方程组、一元一次不等式解实际问题，正确列出二元一次方程组和一元一次不等式并正确解出方程组和不等式是解题的关键．
27．（1）证明过程见解答；
（2）线段的长为；
（3）线段的长为
【分析】（1）根据材料提示，证明，即可求解；
（2）由（1）的结论可得，设，分别用含的式子表示出的长，根据平行线分线段成比例即可求解；
（3）根据等弧所对圆周角相等可得是角平分线，根据（1）中的结论可得的值，设，用含的式子分别表示出长，根据直径所对圆心角为直角，运用勾股定理可得的值，由此可求出的长，再证，在中，根据勾股定理即可求解．
【解答】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，则，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵平分，
∴由（1）的结论可得，，则，
设，则，
∵是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴线段的长为；
（3）解：如图所示，连接，
∵是半圆的中点，
∴，
∴，即平分，
由（1）的结论可得，，
设，则，，
∴，则，
∵是直径，
∴，则，
在中，，
∴，则，
∴，，
∵，
∴，即，
在中，，
∴线段的长为：．
【点拨】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，直径所对圆周角为直角，勾股定理求线段长等知识是解题的关键．
28．(1)
(2)
(3)当时，有最大值，且最大值为，
【分析】（1）将代入点和，再把点的坐标代入解析式，运用待定系数法即可求解；
（2）根据二次函数图象可求出对称轴，且二次函数恒过点，再根据二次函数图象经过点且点M不在坐标轴上，即纵坐标相等，可得点与点关于对称轴对称，由此即可求解；
（3）根据二次函数图象的性质可求出的坐标，根据，可求出的坐标，的值，由此可求出二次函数的解析式，直线的解析式，设，且，过点作轴，交于点，可用含的式子表示出的值，再根据，可用含的式子表示出的值，结合二次函数最值，配方法的知识即可求解．
【解答】（1）解：点和在二次函数（是常数，）的图象上，且，
∴，，
∴，
解得，，
∴；
（2）解：已知点和在二次函数（是常数，）的图象上，
∴二次函数图象的对称轴为，
当时，，
∴二次函数图象恒过点，
∵二次函数的图象经过点且点M不在坐标轴上，且纵坐标相等，
∴点与点关于对称轴对称，
∴对称轴为：，即，
∵，则，
∴；
（3）解：二次函数（是常数，）的图象与轴交于点，
令，则，
∴，则
∵，，
∴二次函数图象的开口向下，点在的负半轴上，点在的正半轴上，
∴，
∵，，
∴在中，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
解得，，
∴二次函数解析式为：，
∵，，
∴设直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为：，
∵点P为直线上方抛物线上的一动点，
∴设，且，过点作轴，交于点，如图所示，
∴，
∴，且，
∵轴，
∴，
∴，
，
∵，
∴有最大值，
∴当时，有最大值，且最大值为，
∴，
∴．
【点拨】本题主要考查二次函数图象的性质，待定系数法求解析式，一次函数图象的性质，相似三角形的判定和性质，掌握二次函数图象的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．
答题注意事项1．本试卷共6页，全卷满分150分，考试时间120分钟．
2．答题全部写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔，在答题卡上对应题号的答题区域书写答案．注意不要答错位置，也不要超界．
4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．
成绩（分）
35分以下
35
36
37
38
39
40
人数（人）
5
4
6
8
10
9
8
白1
白2
红
白1
√
√
白2
√
√
红