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2023-2024学年云南省昆明三中滇池校区九年级（上）开学数学试卷

1.  下列各式中，y是关于x的二次函数的是.(    )

A.  B.
C.  D.

2.  抛物线的顶点坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  对于二次函数的图象的特征，下列描述正确的是(    )

A. 开口向上 B. 经过原点 C. 对称轴是y轴 D. 顶点在x轴上

4.  将函数的图象向上平移2个单位，再向左平移1个单位，可得到的抛物线的解析式为(    )

A.  B.
C.  D.

5.  对于二次函数的图象，下列说法不正确的是(    )

A. 开口向上 B. 对称轴是直线
C. 顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而增大

6.  抛物线，点，，，则a，b，c的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D. 无法比较大小

7.  抛物线与x轴只有一个公共点，则c的值为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，甲、乙两人于某日下午从M地前往N地，图中的折线ABC和线段EF分别表示甲与乙所行驶的路程s和时间t的关系.以下结论：
①M，N两地相距50千米；
②甲出发1小时后，乙才开始出发；
③甲在BC段路程中的平均速度是20千米/小时；
④乙出发后经过小时就追上甲.
其中正确的有(    )

A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个

9.  已知二次函数的图象如图所示，当时，x的取值范围是(    )

A.
B.
C.
D. 或

10.  二次函数的图象与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是(    )

A.  B.
C.  D.

11.  若二次函数的图象的对称轴是经过点且平行于y轴的直线，则关于x的方程的解为(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

12.  在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给以下结论：
①；
②；
③；
④为实数；
⑤
其中错误结论的个数有(    )

A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个

13.  若是二次函数，则m的值是__________.

14.  抛物线与x轴的一个交点的坐标为，则代数式______.

15.  已知四个二次函数的图象如图所示，那么，，，的大小关系是______请用“>”连接排序

16.  若关于x的不等式组无解，则m的取值范围为__________  .

17.  ；
；
解二元一次方程组；
解不等式组；
；
 

18.  抛物线过点与，且抛物线最大值是
求此抛物线的解析式；
通过计算，判断点是否在此函数图象上？

19.  如图，一次函数的图象为直线，经过和两点；一次函数的图象为直线，与x轴交于点C；两直线，相交于点
求k、b的值；
求点B的坐标；
求的面积．

20.  已知：如图直线与抛物线交于A、B两点，C是抛物线顶点.
求A、B、C点的坐标；
求的面积；
直接写出的解集.

21.  某学校为改善办学条件，计划采购A、B两种型号的空调，已知采购3台A型空调和2台B型空调，需费用39000元；4台A型空调比5台B型空调的费用多6000元.
求A型空调和B型空调每台各需多少元；
若学校计划采购A、B两种型号空调共30台，且A型空调的台数不少于B型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过217000元，该校共有哪几种采购方案？
在的条件下，采用哪一种采购方案可使总费用最低，最低费用是多少元？

22.  数和形是数学研究客观物体的两个方面，数代数侧重研究物体数量方面，具有精确性，形几何侧重研究物体形的方面，具有直观性.数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系.数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题.
同学们，请你结合所学的数学解决下列问题.
在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点.设函数实数a为常数的图象为图象
求证：无论a取什么实数，图象T与x轴总有公共点；
是否存在整数a，使图象T与x轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数a的值；若不存在，请说明理由.

答案和解析

1.【答案】C 

【解析】【分析】
本题考查了二次函数的定义，函数是二次函数．
根据二次函数的定义，可得答案．
【解答】
解：是一次函数，故A错误；
B.二次函数都是整式，故B错误；
C.是二次函数，故C正确；
D.是一次函数，故D错误；
故选

2.【答案】C 

【解析】解：抛物线，
抛物线的顶点坐标是：，
故选：
直接由抛物线解析式可求得答案．
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，顶点坐标为，对称轴为

3.【答案】D 

【解析】解：，
抛物线开口向下，顶点为，对称轴为直线，
故选：
由二次函数解析式可得抛物线开口方向，顶点坐标及对称轴，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的顶点式，掌握二次函数图象与系数的关系．

4.【答案】D 

【解析】解：将函数的图象向上平移2个单位，再向左平移1个单位，
则平移后的抛物线的解析式：，即，
故选：
根据函数图象平移的法则即可得出结论．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．

5.【答案】D 

【解析】解：因为二次函数的表达式为，
所以抛物线的开口向上．
故A说法正确；
又抛物线的对称轴是直线，
故B说法正确；
因为抛物线的顶点坐标为，
故C说法正确；
因为抛物线对称轴为直线，且开口向上，
所以当时，y随x的增大而减小．
故D说法不正确；
故选：
根据二次函数的表达式，可得出抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标及增减性，据此可解决问题．
本题考查二次函数的图象和性质，能根据所给函数表达式得出开口向下、对称轴、顶点坐标和增减性是解题的关键．

6.【答案】A 

【解析】解：，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
、，，
点离直线最远，离直线最近，
；
故选：
先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线，然后比较三个点都直线的远近得到a、b、c的大小关系．
此题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．

7.【答案】A 

【解析】解：抛物线与x轴只有一个公共点，
方程有两个相等的实数根，
，
故选：
抛物线与x轴有一个交点，的方程就有两个相等的实数根，根的判别式就等于
本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知二次函数是常数，的交点与一元二次方程根之间的关系是解题的关键．

8.【答案】B 

【解析】解：由图象可知，MN两地路程为50km，
①正确；
甲在1时出发，乙在2时出发，小时，
②正确；
甲在BC段2小时行驶的路程为，
甲在BC段路程中的平均速度为千米/时，
③错误；
设乙出发t小时追上了甲，根据题意得，
，
解得，
④正确．
故选
由图象可知，MN两地路程为50km，故①正确；甲在1时出发，乙在2时出发，故②正确；根据甲在BC段2小时行驶的路程为，可得甲在BC段路程中的平均速度为10千米/时，故③错误；设乙出发t小时追上了甲，根据题意得，解得，故④正确．即可得解．
本题考查了函数图象，一元一次方程的应用，从图象中获取正确的信息是解题的关键．

9.【答案】A 

【解析】解：由图象可知，
当时，x的取值范围是，
故选：
根据抛物线与x轴的交点和图象，可以写出当时，x的取值范围．
本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

10.【答案】A 

【解析】解：一次函数经过点，二次函数图象的对称轴是直线，
一次函数经过二次函数对称轴与x轴的交点，
故选：
由二次函数的图象得到对称轴与x轴的交点，由一次函数的图象得到与x轴的交点，对比即可得到答案．
本题考查二次函数和一次函数的图象，解题的关键是明确一次函数和二次函数性质．

11.【答案】D 

【解析】【解答】解：对称轴是经过点且平行于y轴的直线，
，
解得：，
解方程，
解得，，
故选：
【分析】根据对称轴方程，得，解即可．
本题主要考查二次函数的对称轴和二次函数与一元二次方程的关系，难度不大．

12.【答案】A 

【解析】解：①由抛物线可知：，，
对称轴，
，
，故①正确；

②由对称轴可知：，
，
时，，
，
，故②正确；

③关于的对称点为，
时，，故③正确；
④当时，y的最小值为，
时，，
，
即，故④错误；

⑤抛物线与x轴有两个交点，
，
即，
，故⑤正确；
故选：
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．

13.【答案】2 

【解析】解：由题意得：，且，
解得：，
故答案为：
利用二次函数定义可得，且，再解即可．
此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如、b、c是常数，的函数，叫做二次函数．

14.【答案】2022 

【解析】解：抛物线与x轴的交点坐标为，
，
，
，
故答案为：
根据抛物线与x轴的交点坐标为，可以求得的值，然后代入所求式子即可．
本题考查抛物线与x轴的交点、代数式求值，解答本题的关键是求出的值．

15.【答案】 

【解析】解：如图所示：①的开口小于②的开口，则，
③的开口大于④的开口，开口向下，则，
故
故答案为；
直接利用二次函数的图象开口大小与a的关系进而得出答案．
此题主要考查了二次函数的图象，正确记忆开口大小与a的关系是解题关键．

16.【答案】 

【解析】解：由得：，
由得：，
不等式组无解，
，
解得，
故答案为：
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大大小小找不到，结合不等式组的解集可得关于m的不等式，解之即可得出答案．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

17.【答案】解：原式
；
原式
；
，
①得：③，
③-②得：，
把代入①得：，
方程组的解为：；
，
由①得：，
由②得：，
，
，
，
不等式组的解集为：；
，
，
，，
，；
，
，
，，
 

【解析】根据二次根式的性质、绝对值的性质、负指数幂的性质进行解答即可；
利用平方差公式、完全平方公式和零指数幂的性质进行解答；
①②，消去y，求出x，再把x的值代入求出y即可；
先求出各个不等式的解集，然后找出解集的公共部分即可；
均把方程左侧分解因式，把二次方程转换成两个一元一次方程，求出解即可．
本题主要考查了实数的计算，解不等式组和解方程组，解题关键是熟练掌握二次根式的性质、绝对值的性质、负指数幂的性质，平方差公式、完全平方公式和零指数幂的性质．

18.【答案】解：因为抛物线过点与，
所以抛物线的对称轴为直线
又抛物线的最大值是3，
所以抛物线的顶点坐标为
则令抛物线的解析式为，
将代入得，
，得
所以抛物线的解析式为
将代入抛物线解析式得，
又，
所以点P不在此函数图象上． 

【解析】根据题意可得出关于a，b，c的方程，进而解决问题．
将点P的坐标代入验证即可．
本题考查二次函数的图象与性质，由抛物线经过和得出抛物线的对称轴是解题的关键．

19.【答案】解：把和代入得：
，
解得；

由得，联立，
解得，
所以；

由，当时，，解得，
所以点
所以； 

【解析】将A点和D点的坐标代入到一次函数的一般形式，求得k、b的值即可；
两函数联立组成方程组求得方程组的解后即可求得点B的坐标；
首先求得点C的坐标，然后利用求解即可．
本题考查了两条直线平行或相交的问题，求两条直线的交点坐标时通常联立后组成方程组求解．

20.【答案】解：对于，当时，，则点，
联立，解得：，
即点A、B、C的坐标分别为：、、；

设直线AB交y轴于点，

则的面积；

观察函数图象知，的解集为 

【解析】对于，当时，，则点，联立，解得：，即可求解；
由的面积，即可求解；
观察函数图象即可求解．
本题考查的是抛物线和x轴的交点，涉及到三角形的面积、解不等式等，有一定的综合性，难度适中．

21.【答案】解：设A型空调和B型空调每台各需x元、y元，
，解得，，
答：A型空调和B型空调每台各需9000元、6000元；
设购买A型空调a台，则购买B型空调台，
，
解得，，
、11、12，共有三种采购方案，
方案一：采购A型空调10台，B型空调20台，
方案二：采购A型空调11台，B型空调19台，
方案三：采购A型空调12台，B型空调18台；
设总费用为w元，
，
当时，w取得最小值，此时，
即采购A型空调10台，B型空调20台可使总费用最低，最低费用是210000元． 

【解析】根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题；
根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以求得有几种采购方案；
根据题意和中的结果，可以解答本题．
本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数和不等式的思想解答．

22.【答案】证明：当时，函数表达式为，
令得，
此时函数实数a为常数的图象与x轴有交点；
当时，为二次函数，
，
函数实数a为常数的图象与x轴有交点；
综上所述，无论a取什么实数，图象T与x轴总有公共点；
解：存在整数a，使图象T与x轴的公共点中有整点，理由如下：
当时，不符合题意；
当时，
在中，令得：，
解得或，
，a是整数，
当是6的因数时，是整数，
或或或或或或或，
解得或或或或或或或，
是整数，
或或或 

【解析】分一次函数和二次函数分别证明函数图象T与x轴总有交点即可；
当时，不符合题意；当时，由，得或，即，因a是整数，故当是6的因数时，是整数，可得或或或或或或或，分别解方程并检验可得或或或
本题考查二次函数的应用，涉及一次函数，二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是理解整点的意义．