北京市一七一中学2024-2025学年九年级上学期月考数学试卷（10月份）

这是一份北京市一七一中学2024-2025学年九年级上学期月考数学试卷（10月份），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.风力发电机可以在风力作用下发电.如图的转子叶片图案绕中心O旋转后能与原来的图案重合，那么n的值可能是( )
A. 120B. 90C. 6D. 45
2.用配方法解方程，变形后结果正确的是( )
A. B. C. D.
3.将抛物线向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到的解析式是( )
A. B. C. D.
4.根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功的找到三角形内心的是( )
A. B.
C. D.
5.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上的概率是( )
A. B. C. D.
6.如图，点A、B、C都在上，若，则的度数( )
A.
B.
C.
D.
7.如图，在一块长30m，宽20m的矩形苗圃基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，设道路的宽为xm，若种植花苗的面积为，依题意列方程( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是边DC，CB上的动点，且始终满足，AE，DF交于点连接CP，线段CP长的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.请写出一个开口向上，经过点的抛物线的解析式______.
10.平面直角坐标系中，若点，则点A关于原点中心对称的点的坐标是______.
11.半径为4的圆中，圆心角为的扇形面积为______.
12.如图，在的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，则的正弦值是____.
13.关于x的一元二次方程，有一个根是0，则______.
14.如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边AD，BD上，，DE：：3，，则CD的长为______.
15.如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B的对应点D恰好落在边BC上，则__________用含的式子表示
16.2019年11月，联合国教科文组织将每年的3月14日定为“国际数学日”，也被许多人称为“节”.某校今年“节”策划了五个活动，规则见图：
小云参与了所有活动.
若小云只挑战成功一个，则挑战成功的活动名称为______；
若小云共挑战成功两个，且她参与的第四个活动成功，则小云最终剩下的“币”数量的所有可能取值为______.
三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题5分
解一元二次方程：
18.本小题5分
下面是“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程.
已知：如图1，和外一点
求作：过点P的的切线.
作法：如图2，
①连结OP，作线段OP的中点M；
②以M为圆心，MP的长为半径作圆，交于点A，B；
③作直线PA和PB，直线PA，PB即为所求作的切线.
请在图2中补全图形，并完成下面的证明.
证明：连接OA，如图2，
由作法可知，OP为的直径，
______填推理的依据，
，
点A在上，
直线PA是圆的切线______填推理的依据，
同理，直线PB也是圆的切线.
19.本小题5分
如图，AB为的直径，弦于点E，若，，求半径的长.
20.本小题5分
已知二次函数
补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画出该函数图象；
根据图象回答：时，x的取值范围是______；
根据图象回答：当时，y的取值范围是______.
21.本小题5分
如图，三个顶点的坐标分别为，，
请在图中作出绕点A逆时针方向旋转后得到的图形；
求点C运动到点所经过的路径的长结果保留
22.本小题5分
关于x的一元二次方程
求证：方程总有两个实数根；
若方程有一个根小于1，求m的取值范围.
23.本小题6分
2021年6月17日，神舟十二号成功发射，标志着我国载人航天踏上新征程．某学校举办航天知识讲座，需要两名引导员，决定从A，B，C，D四名志愿者中通过抽签的方式确定两人．抽签规则：将四名志愿者的名字分别写在四张完全相同且不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下名字．
“A志愿者被选中”是______事件填“随机”、“不可能”或“必然”；
用画树状图或列表的方法求出A，B两名志愿者同时被选中的概率．
24.本小题6分
某公园在垂直于湖面的立柱上安装了一个多孔喷头，从喷头每个孔喷出的水柱形状都相同，可以看作是抛物线的一部分，当喷头向四周同时喷水时，形成一个环状喷泉．安装后，通过测量其中一条水柱，获得如下数据，在距立柱水平距离为d米的地点，水柱距离湖面的高度为h米．
请解决以下问题：
在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用
平滑的曲线连接；
结合表中所给数据或所画图象，直接写出这条水柱最高点距离湖面的高度；
求所画图象对应的函数表达式；
从安全的角度考虑，需要在这个喷泉外围设立一圈正方形护栏，这个喷泉的任何一条水柱在湖面上的落点到护栏的距离不能小于1米，请通过计算说明公园至少需要准备多少米的护栏不考虑接头等其他因素
25.本小题6分
如图，已知AB为的直径，D是上的一点，且点C是的中点，过点C作直线AD于点
求证：直线CE是的切线；
连接AC，过点O作于F，延长FO交于M，若B为的中点，半径为4，求OF的长
26.本小题6分
在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线
若抛物线过点，求该抛物线的对称轴；
若，，在抛物线上，且满足，当抛物线对称轴为直线时，求t的取值范围.
27.本小题7分
如图，在中，，，过点A作BC的垂线AD，垂足为D，E为线段DC上一动点不与点C重合，连接AE，以点A为中心，将线段AE逆时针旋转得到线段AF，连接BF，与直线AD交于点
依题意补全图形；并直接写出BC与CF的位置关系；
求证：点G为BF的中点.
写出AE，BE，AG之间的数量关系，并证明.
28.本小题7分
在平面直角坐标系xOy中，已知点A和B，对于点P定义如下：以点A为对称中心作点P的对称点，再将对称点绕点B逆时针旋转，得到点Q，称点Q为点P的反转点.
如图，点，，点，点Q为点P的反转点.
①当时，在图中画出点Q，并写出点Q的坐标为______；
②当时，求线段AQ长的取值范围；
已知的半径为，点A是上一点，点B和P是外两个点，点Q为点P的反转点.若点P在第一象限内，点B在第四象限内，当点A在上运动时，直接写出线段PQ长的最大值和最小值的差.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：，
的值为120；
故选：
列式求出叶片之间的夹角即可．
本题考查旋转对称图形，解题的关键是读懂题意，列出算式．
2.【答案】A
【解析】解：，
两边加上4可得，即，
故选：
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，进行配方即可．
本题考查解一元二次方程，解题的关键是根据方程的特点选择合适的方法．
3.【答案】C
【解析】解：将抛物线向右平移3个单位得，再向上平移1个单位得到的解析式得
故选：
根据右减上加的规律求解即可．
本题考查了二次函数图象的平移，其规律是：将二次函数解析式转化成顶点式为常数，，“左加右减括号内，上加下减括号外”，熟练掌握这一规律是解答本题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：三角形内心为三角形内角平分线的交点，选项B中作了两个角的平分线．
故选：
利用基本作图和三角形内心的定义进行判断．
本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线也考查了线段垂直平分线的性质．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了求随机事件的概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．得到所求的情况数是解决本题的关键．
画树状图，共4种等可能的结果，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的有2种结果，再由概率公式求解即可．
【解答】
解：画树形图得：
由树形图可知共4种等可能的结果，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的有2种结果，
一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的的概率为
6.【答案】C
【解析】解：如图，在优弧AC上取点D，连接AD，CD，
，
，
故选：
在优弧AC上取点D，连接AD，CD，根据圆周角定理求出的度数，进而可得出结论．
本题考查了圆周角定理，圆心角，弧，弦的关系，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：设道路的宽为x m，则种植花苗的部分可合成长，宽的矩形，
依题意得：，
故选：
设道路的宽为xm，则种植花苗的部分可合成长，宽的矩形，根据种植花苗的面积为，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是边DC，CB上的动点，且始终满足，AE，DF交于点P，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
取AD的中点O，连接OP，则定值，
根据两点之间线段最短得C、P、O三点共线时线段CP的值最小，
在中，由勾股定理得，
的最小值，
故选：
根据“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，取AD的中点O，连接OP，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得点P到AD的中点的距离不变，再根据两点之间线段最短可得C、P、O三点共线时线段CP的值最小，然后根据勾股定理列式求出OC，再求解即可．
本题考查了正方形的性质，三角形三边关系，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，确定出点P到AD的中点的距离是定值是解题的关键．
9.【答案】答案不唯一
【解析】解：根据函数开口向上和过点可得：答案不唯一，
故答案为：答案不唯一
根据开口向上和过点，可知二次项系数大于0，与y轴交于，即可写出解析式．
本题主要考查了二次函数的解析式求解，熟练运用二次函数的顶点式是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：点A关于原点中心对称的点的坐标是
故答案为：
根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标均互为相反数解答即可．
本题考查了关于原点对称的点的坐标．掌握两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标均互为相反数是解题关键．
11.【答案】
【解析】解：由题意得，，，
扇形的面积，
故答案为：
根据扇形面积计算公式直接计算即可求解．
本题考查了扇形的面积，掌握据扇形面积计算公式是解题的关键．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是勾股定理的逆定理以及锐角三角函数，关键是熟知：在一个三角形中，如果两条边的平方之和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
先根据勾股定理的逆定理判断出的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．
【解答】
解：、、，
，
为直角三角形，且，
则，
故答案为：
13.【答案】2
【解析】解：因为关于x的一元二次方程，有一个根是0，
所以，
解得
故答案为：
根据一元二次方程解的定义，将代入方程即可解决问题．
本题主要考查了一元二次方程的解，熟知一元二次方程解得定义是解题的关键．
14.【答案】10
【解析】解：在▱ABCD中，点E，F分别在边AD，BD上，，
∽，
，
：：3，，
：：，即DE：：5，
，
，
四边形ABCD是平行四边形，
，
故答案为：
根据平行判定相似，根据相似三角形的性质，结合平行四边形的性质求解．
本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：由旋转的性质可知，，，
，
，
，
，
故答案为：
根据旋转的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，利用三角形的内角和定理求得，即可求得
本题考查的是旋转变换的性质、等腰三角形的性质，掌握旋转前、后的图形全等是解题的关键．
16.【答案】鲁班锁 1枚或2枚或3枚
【解析】解：小云参与了所有活动，且小云只挑战成功一个，
小云用活动前发放的一枚“币”参与了鲁班锁，且挑战成功，赢得4枚“币”，再次参与了其余四个活动，未挑战成功，
故答案为：鲁班锁；
小云共挑战成功两个，且参与的第四个活动成功，
小云参与的第一个活动成功，且为华容道、魔方或鲁班锁，
若参与的第一个活动为华容道，则参与的第四个活动可能为24点、数独、魔方或鲁班锁，最终剩下的“币”数量可能是1枚、2枚或3枚，
若参与的第一个活动为魔方，则参与的第四个活动可能为24点、数独、华容道或鲁班锁，最终剩下的“币”数量可能是1枚、2枚或3枚，
若参与的第一个活动为鲁班锁，则参与的第四个活动可能为24点、数独、华容道或魔方，最终剩下的“币”数量可能是2枚或3枚，
故答案为：1枚、2枚或3枚．
因为小云参与了所有活动，且小云只挑战成功一个，所以推断小云只能参与了鲁班锁，且挑战成功，赢得4枚“币”，足够她参与其余四个活动；
小云共挑战成功两个，且参与的第四个活动成功，所以推断小云参与的第一个活动成功，且为华容道、魔方或鲁班锁，分别讨论参与的第一个活动为华容道、魔方或鲁班锁，最终剩下的“币”数量的可能．
本题考查了推理能力，关键是注意分类讨论．
17.【答案】解：，
，
，
或，
所以，
【解析】先把方程化为一般式，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
18.【答案】直径所对的圆周角为直角 经过圆半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线
【解析】解：补画图形如下，
证明：连接OA，OB，如图2，
由作法可知，OP为的直径，
直径所对的圆周角为直角，
，
点A在上，
直线PA是圆的切线经过圆半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，
同理，直线PB也是圆的切线．
故答案为：直径所对的圆周角为直角，经过圆半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
根据题干步骤补全作图即可；根据圆周角定理的推论和切线的判定定理即可填空．
本题主要考查了作图-过圆外一点作圆的切线、圆周角定理的推论和切线的判定定理等知识，熟练掌握基本作图方法和熟记直径所对的圆周角为直角是解题关键．
19.【答案】解：连接OC，
设的半径为R，则，
，AB为的直径，
，
在中，由勾股定理得，，
即，
整理得，，
解得，，
则的半径为
答：的半径为
【解析】连接OC，设的半径为R，根据垂径定理“垂直于弦的直径平分这条弦”求出CE，根据勾股定理列式计算，得到答案．
本题考查的是垂径定理、勾股定理，关键是垂径定理的熟练应用．
20.【答案】
【解析】解：，
时，，时，，时，，
填表如下：
描点、连线、绘制函数图象如下：
观察函数图象知：时，；
故答案为：；
观察函数图象知，当时，y的取值范围是；
故答案为：
将x的值代入解析式，求出y值，填表，进而画出函数图象即可；
图象法进行求解即可；
图象法进行求解即可．
本题考查二次函数的图象和性质，正确的画出函数图象，是解题的关键．
21.【答案】解：如图所示；
，
点C运动到点所经过的路径的长为：
【解析】根据旋转的性质得出点B、C的对应点、的位置，顺次连接即可；
根据勾股定理求出AC，再利用弧长公式计算即可．
本题考查了作图-旋转变换，勾股定理以及弧长公式，熟练掌握旋转的性质，找出对应点的位置是解题的关键．
22.【答案】证明：，，，
，
此方程总有两个实数根．
解：，
，
此方程有一个根小于

【解析】先根据方程有两个相等的实数根列出关于m的一元二次方程，求出m的值即可；
利用求根公式得到，根据题意得到即可求得
本题考查的是根的判别式及一元二次方程解的定义，在解答时得到方程的两个根是解题的关键．
23.【答案】解：随机；
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中A，B两名志愿者同时被选中的结果有2种，
，B两名志愿者同时被选中的概率为
【解析】此题考查的是树状图法求概率以及随机事件的概念．树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
根据随机事件、不可能事件及必然事件的概念求解即可；
画树状图，共有12种等可能的结果，其中A，B两名志愿者同时被选中的结果有2种，再由概率公式求解即可．
24.【答案】解：如图，
由和可知，抛物线的对称轴为，
当时，，
水柱最高点距离湖面的高度是5米；
由图象可得，顶点，
设二次函数的关系式为，
把代入可得，
；
当时，即，
解得舍去或，
正方形的周长为米，
至少需要准备栏杆米，
公园至少需要准备72米的护栏．
【解析】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
根据对应点画图象即可；
由图象可得答案；
利用待定系数法可得关系式；
求出落水点距离喷头的水平距离，进而求出正方形的边长，进而可以求出正方形的周长．
25.【答案】证明：连接BD，OC，交于点S，
为的直径，
，
点C是的中点，
，，
，
，
四边形DECS是矩形，
，
是半径，
直线CE是的切线；
解：如图，过点O作于F，延长FO交于M，
为的中点，
，
，
，而，
，
，
，
半径为，

【解析】连接BD，OC，交于点S，证明四边形DECS是矩形，从而可得结论；
证明，结合三角形的外角的性质可得：，再求解，从而可得答案．
本题考查的是矩形的判定与性质，圆周角定理的应用，弧，圆心角之间的关系，垂径定理的应用，圆的切线的判定，熟练的运用圆的基本性质与圆中基本定理是解本题的关键．
26.【答案】解：抛物线，
当时，，故
抛物线经过点，
又抛物线过点，
抛物线的对称轴为直线，即直线；
若抛物线对称轴为直线，则，即，
抛物线的解析式为，
，，在抛物线上，
，，，
又，
，

【解析】求出抛物线与y轴的交点为，对称性求出对称轴即可；
由抛物线对称轴为直线，得到，即，将，，分别代入，得，，，根据，建立不等式组，计算可得．
本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
27.【答案】解：如图，
将线段AE逆时针旋转得到线段AF，
，，
，
，，
，，
，
在和中，
≌，
，
，
；
证明：，，
，
，，
∽，
，
，，
，
，
，
，
；
解：，证明如下：
延长BA交CF延长线于H，如图，
，，
平分，
，
，，
，，
∽，
，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
在中，根据勾股定理，
在中，，
即，
【解析】①如图，根据将线段AE逆时针旋转得到线段AF，得出，，可证≌，得出，即可解答；
根据，，可得，可证∽，可得，得出即可；
，延长BA交CF延长线于H，根据等腰三角形性质可得AD平分，可得，可证∽，得出，再证≌，得出，利用勾股定理得出，，即即可．
本题考查几何变换的综合应用，主要考查图形旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，掌握旋转的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键．
28.【答案】
【解析】解：①当时，点，画图如下：
记点P关于点A的对称点为，而，
，
由旋转得，，
，
过点，Q分别作x轴的垂线，垂足为M，N，
，
，
，
≌，
，，
，
；
故答案为：；
②由≌得，
点Q的轨迹为一条线段，
而，则，
由≌得，
，
，
，
而，
令，抛物线开口向上，
当，，即，
当时，，时，，
，
QA的取值范围为：；
如图，固定变量，假设点P为第一象限定点，
过点P作点O的对称点记为M，连接OA，，则点M为定点，
则OA为的中位线，
，
点轨迹为以M为圆心，为半径的圆，
连接BM，将BM绕点B逆时针旋转得到BN，则，，点N为定点，
由题意得，，
，
≌，
，
点Q的轨迹为以N为圆心，为半径的圆，
连接PN，
由，可得
①记点P关于点A的对称点为，则，过点，Q分别作x轴的垂线，垂足为M，N，可证明≌，继而可求，②由≌得，故点Q的轨迹为一条线段，而，则，由≌得，可求，则，而，令，抛物线开口向上，当，，即，当时，，时，，，即可求解；
若点P为第一象限定点，过点P作点O的对称点记为M，连接OA，，则OA为的中位线，则，故点轨迹为以M为圆心，为半径的圆，连接BM，将BM绕点B逆时针旋转得到BN，则，，点N为定点，可证明≌，故，则点Q的轨迹为以N为圆心，为半径的圆，连接PN，由得
本题考查了新定义，旋转的不变性，全等三角形的判定与性质，二次函数求最值，三角形的中位线定理，正确理解题意，对于多变量问题采取固定变量法，将问题进行转化思考，难点在于找到动点的轨迹．x
…
0
1
2
3
…
y
…
0
3
…
米
0
米
x
…
0
1
2
3
…
y
…
0
3
4
3
0
…