湖北省鄂州市花湖实验学校2024-2025学年上学期九年级第一次月考数学试卷

这是一份湖北省鄂州市花湖实验学校2024-2025学年上学期九年级第一次月考数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.关于x的一元二次方程，方程的根的情况是( )
A. 没有实数根B. 有一个实数根
C. 有两个相等的实数根D. 有两个不相等的实数根
2.已知a，b是一元二次方程的两个根，则的值等于( )
A. 2020B. 2021C. 2022D. 2023
3.已知函数，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.如图，的半径为1，AB是的一条弦，且，则弦AB所对圆周角的度数为( )
A.
B.
C. 或
D. 或
5.如图，BD为的直径，，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
6.若，是方程的两个根，则实数，，a，b的大小关系为( )
A. B. C. D.
7.将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为( )
A. B. C. D.
8.如图，四边形ABDC中，是由绕顶点C旋转所得，顶点A恰好转到AB上一点E的位置，则( )
A.
B.
C.
D.
9.在平面直角坐标系中，某二次函数图象的顶点为，此函数图象与x轴交于P、Q两点，且若此函致图象经过，，，四点，则实数a，b，c，d中为正数的是( )
A. aB. bC. cD. d
10.已知抛物线与x轴交于、两点，且，与y轴交于，下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数为( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为______.
12.如果关于x的方程为常数有两个相等实数根，那么______.
13.已知、是方程的两根，则的值为______.
14.如图，半圆O的直径AB为15，弦BC为9，弦BD平分，则BD的长是______.
15.在平面直角坐标系中，给出如下定义：P为图形M上任意一点，如果点P到直线EF的距离等于图形M上任意两点距离的最大值时，那么点P称为直线EF的“伴随点”.例如：如图1，已知点，，在线段AB上，则点P是直线EF：x轴的“伴随点”.如图2，x轴上方有一等边三角形ABC，轴，顶点A在y轴上且在BC上方，，点P是上一点，且点P是直线EF：x轴的“伴随点”，当点P到x轴的距离最小时，则等边三角形ABC的边长为______.
三、解答题：本题共8小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题6分
用适当的方法解方程：
；
17.本小题7分
已知关于x的一元二次方程
Ⅰ求证：方程有两个不相等的实数根；
Ⅱ若的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当是等腰三角形时，求的周长．
18.本小题8分
如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上.
将绕点F顺时针旋转得到，画出
若由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为______.
19.本小题9分
如图，在四边形ABCD中，，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与四边形ABCD的边AD，BC交于M，N两点，连接CM，AN，使得MN平分
求证：四边形ANCM为菱形；
当四边形ABCD是矩形时，若，，求DM的长.
20.本小题10分
某公司生产中考专用跳绳，每条需要成本50元，销售单价不低于62元，且不高于80元．根据市场调研，当每条定价为70元时，日均销量为1100条，销售单价每提高1元，则日均销售量减少50条．
求出该跳绳的日均销量y与销售单价x之间的函数关系式；
当跳绳的单价定为多少元时，公司所获的总利润最大？最大利润为多少元？
公司决定每销售一条跳绳，就捐赠n元给农村留守儿童基金会．捐款后，公司的日销售利润最少为13500元，求n的值．
21.本小题9分
已知为等边三角形，点P为直线l上一动点不与点A重合，直线l，连CP，将线段CP绕点C按逆时针方向旋转得到线段
如图1，求证：≌
如图2，当时，连接PB，试判断BP与CQ的位置关系，并说明理由.
22.本小题9分
跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分如图中实线部分所示，落地点在着陆坡如图中虚线部分所示上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度OA为66m，基准点K到起跳台的水平距离为75m，高度为设运动员从起跳点A起跳后的高度与水平距离之间的函数关系为
若时，运动员落地点要超过K点，求b的取值范围为多少？
若运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由.
23.本小题12分
已知抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点
求抛物线解析式；
如图①，若点P是第一象限内抛物线上一动点，过点P作于点D，求线段PD长的最大值；
如图②，若点N是抛物线上另一动点，点M是平面内一点，是否存在以点B、C、M、N为顶点，且以BC为边的矩形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：，
，
方程没有实数根，
故选：
先求出，判断的正负，即可得出选项．
本题考查了根的判别式的应用，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：由题意可知：，
由根与系数的关系可知：，
则原式
故选：
根据根与系数的关系以及方程的解的定义即可求出答案．
本题考查一元二次方程的解，根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．
3.【答案】C
【解析】解：，抛物线开口向上，对称轴，
当时，y随x的增大而减小．
故选
，抛物线开口向上，在对称轴左边，y随x的增大而减小，利用对称轴公式，先求对称轴，再求符合条件的取值范围．
抛物线的增减性由对称轴方程和开口方向来判断．
4.【答案】D
【解析】解：如图，连接OA、OB，过O作AB的垂线；
在中，，；
，；
；
四边形ADBE是的内接四边形，
；
因此弦AB所对的圆周角有两个：或；
故选
连接OA、OB，过O作AB的垂线，通过解直角三角形，易得出的度数；由于弦AB所对的弧有两段：一段是优弧，一段是劣弧；所以弦AB所对的圆周角也有两个，因此要分类求解．
本题考查的是圆周角定理、垂径定理以及圆内接四边形的性质；注意：弦AB所对圆周角有两个，不要漏解．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题利用了直径所对的圆周角是直角和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．由BD为的直径，可证，又由圆周角定理知，，即可求
【解答】
解：为的直径，
，
，
故选
6.【答案】C
【解析】【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，结合图象得出答案是解决问题的关键.
因为和为方程的两根，所以满足方程，再由已知条件、结合图象，可得到，，a，b的大小关系.
【解答】
解：画出二次函数的图象与直线，
如图所示，两图象的交点的横坐标就是方程的两个根，即，，
而a，b是二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标，
结合图象知
故选
7.【答案】B
【解析】解：将化为顶点式，得
将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为，
故选：
根据函数图象向上平移加，向右平移减，可得函数解析式．
本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象的平移规律是：左加右减，上加下减．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了旋转的性质的运用．旋转前后对应边相等，对应点与旋转中心的连线相等，且夹角为旋转角．由旋转的性质可知，，，在中，由内角和定理求，根据外角定理可求
【解答】解：在中，，，
为等腰三角形，
，
为的外角，
，而与为对应角，
，
，
故选
9.【答案】D
【解析】解：二次函数图象的顶点坐标为，此函数图象与x轴相交于P、Q两点，且，
该函数图象开口向上，对称轴为直线，与x轴的交点坐标为，，
已知图形通过、、三点，
如图，
由图形可知：，，
故选：
根据题意可以得到该函数的对称轴，开口方向和与x轴的交点坐标，从而可以判断a、b、c、d的正负，本题得以解决．
本替考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
10.【答案】B
【解析】解：如图：，，并且图象与y轴相交于点，
可知该抛物线开口向下即，，
①当时，，即；
，
，
，
故①错误；
②当时，，
，
，
，
故②错误；
③，，
，
又，
，
，
故③正确；
④，，
又，
故④正确．
故选：
由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
本题考查了抛物线与x轴的交点及二次函数图象与系数的关系，根据图象找到所需的条件，同时利用根与系数的关系及不等式的性质是解题的基本思路．
11.【答案】
【解析】解：对于一元二次方程，
设，
所以，
而关于x的一元二次方程有一根为，
所以有一个根为，
则，
解得，
所以必有一根为
故答案为：
对于一元二次方程，设，则，利用有一个根为，所以，从而可判断一元二次方程必有一根为
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
12.【答案】1
【解析】【分析】
本题需先根据已知条件列出关于m的等式，即可求出m的值．
本题主要考查了根的判别式，在解题时要注意对根的判别式进行灵活应用是本题的关键．
【解答】
解：的方程为常数有两个相等实数根
故答案为：1
13.【答案】10
【解析】解：根据题意得，，
，
故答案为：
根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和等于，两根之积等于，进行计算即可．
本题考查一元二次方程根与系数的关系．熟练掌握两根之和等于，两根之积等于，是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：如图，连接AD、AC、OD，AC与OD相交于H点，
，
为直径，
，
在中，，
弦BD平分，
，
，
，
，
，
，
在中，，
在中，，
故答案为：
连接AD、AC、OD，AC与OD相交于H点，根据圆周角定理得到，利用勾股定理计算出，再利用垂径定理得出，则，，，再利用勾股定理计算出AD，再计算出BD即可．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径，也考查了垂径定理和勾股定理．
15.【答案】2
【解析】解：当P到x轴的距离最小时，
点P在线段BC上，
设的边长为a，以C为圆心a为半径作圆，当与x轴相切时，如图所示，切点为H，此时点P是直线EF：x轴的“伴随点”．且点P到x轴的距离最小，

则C的纵坐标为a，即，
是等边三角形，且轴，设BC交于点D，则，
，
，
，
，
解得：或舍去，
等边三角形ABC的边长为2；
故答案为：
当P到x轴的距离最小时，点P在线段BC上，设的边长为a，以C为圆心a为半径作圆，当与x轴相切时，如图所示，切点为H，此时点P是直线EF：x轴的“伴随点”．且点P到x轴的距离最小，则C的纵坐标为a，即，是等边三角形，且轴，设BC交于点D，则，得出，根据即可求解．
本题考查了坐标与图形性质，等边三角形的性质，勾股定理，熟练运用勾股定理解决问题是解题的关键．
16.【答案】解：原方程变形为：，
，
或，
，
，
，
，
，
，
或；
解得：，
【解析】先移项，然后根据配方法解一元二次方程，即可；
先计算，然后再移项，最后根据十字相乘法解方程，即可．
本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法十字相乘法、因式分解法．
17.【答案】Ⅰ证明：，
，
无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
Ⅱ﹚解：是等腰三角形；
当时，，
，
解得k不存在；
当或时，则方程的一个根为5，代入方程可得：
，
整理得：，
解得或4，
当时，原方程为，解得：或，
等腰三角形的底边长为4，
此时，等腰三角形的周长为；
当时，原方程为，解得：或，
等腰三角形的底边长为6，
此时，等腰三角形的周长为，
的周长为14或
【解析】【试题解析】
本题考查了一元二次方程为常数的根的判别式当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．同时考查了一元二次方程的解法．
要证明无论k为何值时，方程总有两个不相等的实数根，就是证明，而，所以；
根据等腰三角形的性质，分三种情况讨论：①，②，③；后两种情况可放在一起分析.
18.【答案】
【解析】解：如图所示，即为所求．
如图所示，点P即为所求，其坐标为
分别作出点D、E绕绕点F顺时针旋转得到的对应点，再首尾顺次连接即可；
根据旋转变换的性质可确定旋转中心．
本题主要考查旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点．
19.【答案】证明：，O为对角线AC的中点，，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
四边形ANCM为平行四边形；
平分，
，
，
，
，
，
平行四边形ANCM为菱形；
解：四边形ABCD是矩形，
，，
，
，
在中，根据勾股定理得：，
，
解得
故DM的长为
【解析】根据全等三角形的性质得到，可得平行四边形，再根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，得到，根据菱形的判定定理得到平行四边形ANCM为菱形；
根据菱形的性质得到，，根据勾股定理得到即可得到结论．
本题考查了矩形的性质、菱形的判定和性质，全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是证明≌
20.【答案】解：根据题意得，，
即日均销量y与销售单价x之间的函数关系式为；
设跳绳的单价定为x元时，公司所获的利润为w元，
根据题意得，，
，
当跳绳的单价定为71元时，公司所获的总利润最大，最大利润为22050元；
根据题意可得，利润，
的对称轴为直线，
且，
当时，最小，即，
解得
综上，n的值为
【解析】根据“销售单价每提高1元，则日均销售量减少50条”可得出y与x的关系；
设跳绳的单价定为x元时，公司所获的利润为w元，根据“日利润=单件利润日销量”可得出w与x之间的关系；再根据二次函数的性质可得出结论；
利润，结合二次函数的性质可得出当时，利润最小，列出关于n的方程，解之即可．
本题考查一次函数解析式的求解，二次函数的应用，在解题的过程中，注意正确找出等量关系是解题的关键，属于基础题目．
21.【答案】证明：将线段CP绕点C按逆时针方向旋转得到线段CQ，
，，
是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
≌；
解：且平分理由如下：
延长PB交CQ于点D，如图，
由知：≌，
，
，是等边三角形，
，
点B在CQ的垂直平分线上，
线段CP绕点C按逆时针方向旋转得到线段CQ，
，，
是等边三角形，
，
点P在CQ的垂直平分线上，
在CQ的垂直平分线上，
且平分
【解析】根据旋转的性质可得，，根据等边三角形的性质可得，，利用SAS即可得证；
延长PB交CQ于点D，连接PQ，证明点B在CQ的垂直平分线上、点P在CQ的垂直平分线上，则PB在CQ的垂直平分线上，即可得出结论．
本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
22.【答案】解：，
，
运动员落地点要超过K点，
当时，，
即，
解得；
他的落地点能超过K点，理由如下：
运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，
抛物线的顶点为，
设抛物线解析式为，
把代入得：
，
解得，
抛物线解析式为，
当时，，
，
他的落地点能超过K点．
【解析】运动员落地点要超过K点，即是时，，故，即可解得答案；
运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，即是抛物线的顶点为，设抛物线解析式为，可得抛物线解析式为，当时，，从而可知他的落地点能超过K点．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能根据题意把实际问题转化为数学问题．
23.【答案】解：设，
将点代入，
，
解得，
；
过点P作轴交于点E，交BC于点F，
，，
，
，
，
，
，
设直线BC的解析式为，
，
解得，
，
设，则，
，
，
当时，DP的长的最大值为；
存在以点B、C、M、N为顶点，且以BC为边的矩形，理由如下：
设，
当M、N在直线BC的上方时，过点N作轴交于点G，过点M作轴交于点H，
，
，
，
，
∽，
，即，
解得，
，
，
，
，
，
；
当MN在直线BC下方时，过点B作轴，过点C作交于P点，过点N作交于Q点，过点M作交于点R，
同理可得∽，
，即，
解得舍或，
，
，
，
，
，
；
综上所述：M点坐标为或
【解析】设，将点代入求出a的值，即可求函数的解析式；
过点P作轴交于点E，交BC于点F，则，设，则，可得，当时，DP的长的最大值为；
设，当M、N在直线BC的上方时，过点N作轴交于点G，过点M作轴交于点H，可证明∽，则，即，求出点，再由，再由是等腰直角三角形，可求；当MN在直线BC下方时，过点B作轴，过点C作交于P点，过点N作交于Q点，过点M作交于点R，同理可得∽，可得，再由，再由是等腰直角三角形，可求得
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，矩形的性质，三角形相似的判定及性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键．