江苏省连云港市灌南县2024—2025学年上学期八年级期中数学试卷

这是一份江苏省连云港市灌南县2024—2025学年上学期八年级期中数学试卷，共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录．下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4B．3，4，5C．4，5，6D．5，6，7
3．（3分）如图所示，两个三角形全等，则∠α等于（ ）
A．72°B．60°C．58°D．50°
4．（3分）等腰三角形一边长等于2，一边长等于3，则它的周长是（ ）
A．5B．7C．8D．7或8
5．（3分）如图①是两位同学玩跷跷板的场景，如图②跷跷板示意图，支柱OC与地面垂直，点O是AB的中点，AB绕着点O上下转动．若A端落地时，∠OAC＝30°，则跷跷板上下可转动的最大角度（即∠A′OA）是（ ）
A．45°B．50°C．60°D．75°
6．（3分）如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝10，DE＝3，则△BCE的面积为（ ）
A．16B．15C．14D．13
7．（3分）已知△ABC的三边长分别为3，5，7，△DEF的三边长分别为3，3x﹣2，2x﹣1，若这两个三角形全等，则x为（ ）
A．B．4C．3D．不能确定
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝20°．若某个三角形与△ABC能拼成一个等腰三角形（无重叠），则拼成的等腰三角形有（ ）
A．4种B．5种C．6种D．7种
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．（3分）若△ABC≌△DEF，则AB的对应边是 ．
10．（3分）如图，已知∠B＝∠C，在不添加任何字母的情况下，添加一个合适的条件 使△ABD≌△ACD．（只需填写一个符合题意的条件即可）
11．（3分）小强从镜子中看到的电子表的读数如图所示，则电子表的实际读数是 ．
12．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．以AB、AC为边的正方形的面积分别为S1、S2．若S1＝20，S2＝11，则BC的长为 ．
13．（3分）王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为 cm．
14．（3分）如图，在Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝12，BC＝6，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，要使△ABC和△QPA全等，则AP＝ ．
15．（3分）如图，将直角三角形纸片ABC折叠，恰好使直角顶点C落在斜边AB的中点D的位置，EF是折痕，已知DE＝3，DF＝4，则AB＝ ．
16．（3分）如图，△ABC中，BC＝10，AC﹣AB＝6．过C作∠BAC的角平分线的垂线，垂足为D，点E为DC边的中点，连结BD，CD，则S△BEC的最大值为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共102分。请在答题卡上指定区域内作答．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（8分）如图，已知点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB＝AC，∠B＝∠C．
求证：△ABE≌△ACD．
18．（8分）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸莺”．又到了放风筝的最佳时节，某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．求风筝的垂直高度CE．
19．（8分）在边长为1的小正方形组成的10×10网格中（我们把组成网格的小正方形的顶点称为格点），△ABC的三个顶点都在格点上，请利用网格线和直尺画图．
（1）在图中画出△ABC关于直线l成轴对称的△A′B′C′；
（2）在直线l上找一点P，使PA+PB的长最短．
20．（10分）如图，△ABC与△DEF中，B、E、C、F在同一条直线上，BE＝CF，∠A＝∠D，AC∥DF，求证：AC＝DF．
21．（10分）如图，已知△ABC，∠B＝90°，AB＜BC．
（1）尺规作图：在AC上作一点D，使点D到A、B两点的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接BD，若∠A＝46°，则∠DBC＝ °．
22．（10分）写出下面定理的已知、求证，并完成证明过程．
定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：“等角对等边”）．
已知：如图，在△ABC中， ．
求证： ．
证明：
23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分线AD交BC于点D，E为AB的中点，若BC＝6，AD＝4，求DE的长．
24．（12分）在边长为9的等边三角形ABC中，点P是AB上一动点，以每秒1个单位长度的速度从点A向点B运动，设运动时间为t秒．
（1）如图1，若点Q是BC上一定点，BQ＝6，PQ∥AC，求t的值；
（2）如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以每秒2个单位长度的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，△APQ为等边三角形？
25．（12分）定义：若过三角形的一个顶点作射线与其对边相交，将这个三角形分成的两个三角形中有等腰三角形，那么这条射线就叫做原三角形的“等腰分割线”．
（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．
①如图1，若O为AB的中点，则射线OC △ABC的等腰分割线；（填“是”或“不是”）
②如图2，已知△ABC的一条等腰分割线BP交AC边于点P，且PB＝PA，请求出CP的长度．
（2）如图3，△ABC中，CD为AB边上的高，F为AC的中点，过点F的直线l交AD于点E，作CM⊥l，DN⊥l，垂足为M，N，BD＝3，AC＝5，且∠A＜45°．若射线CD为△ABC的“等腰分割线”，求CM+DN的最大值．
26．（14分）如图1，在△ABC中，延长AC到D，使CD＝AB，E是AD上方一点，且∠A＝∠BCE＝∠D，连接BE．
（1）线段BC与CE的大小关系是：BC CE（填“＞”或“＜”或“＝”）；
（2）如图2，若∠ACB＝90°，将DE沿直线CD翻折得到DE′，连接BE′，BE′与CE交于F，若BE′∥ED，求证：F是BE′的中点；
（3）如图3，若∠ACB＝90°，AC＝BC，将DE沿直线CD翻折得到DE′，连接BE′交CE于F，交CD于G，若AB＝m，AC＝n，（m＞n＞0），求线段CG的长度（用含m、n的式子表示）．
2024-2025学年江苏省连云港市灌南县八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填写在答题卡相应位置上）
1．（3分）中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录．下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形的知识求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2．（3分）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4B．3，4，5C．4，5，6D．5，6，7
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形，逐一判定即可．
【解答】解：A、22+32≠42，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、32+42＝52，能构成直角三角形，故本选项符合题意；
C、42+52≠62，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、52+62≠72，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
3．（3分）如图所示，两个三角形全等，则∠α等于（ ）
A．72°B．60°C．58°D．50°
【分析】根据图形得出DE＝AB＝a，DF＝AC＝c，根据全等三角形的性质得出∠D＝∠A＝50°，即可得出选项．
【解答】解：
∵DE＝AB＝a，DF＝AC＝c，
又∵△ABC和△DEF全等，
∴∠D＝∠A＝50°，
∴∠α＝50°，
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
4．（3分）等腰三角形一边长等于2，一边长等于3，则它的周长是（ ）
A．5B．7C．8D．7或8
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为2和3，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：分两种情况：
当腰为2时，2+2＞3，所以能构成三角形，周长是2+2+3＝7；
当腰为3时，3+2＞3，所以能构成三角形，周长是：2+3+3＝8．
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
5．（3分）如图①是两位同学玩跷跷板的场景，如图②跷跷板示意图，支柱OC与地面垂直，点O是AB的中点，AB绕着点O上下转动．若A端落地时，∠OAC＝30°，则跷跷板上下可转动的最大角度（即∠A′OA）是（ ）
A．45°B．50°C．60°D．75°
【分析】根据∠OAC＝30°，易得∠OB′A＝30°，根据三角形的外角的性质，即可得解．
【解答】解：∵O是AB的中点，
∴OA＝OB，
由题意，可得：OB＝OB′，
∴OA＝OB′，
∴∠OB′A＝∠OAC＝30°，
∴∠A′OA＝∠OB′A+∠OAC＝60°；
∴跷跷板上下可转动的最大角度（即∠A′OA）是60°；
故选：C．
【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质．熟练掌握等边对等角，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，是解题的关键．
6．（3分）如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝10，DE＝3，则△BCE的面积为（ ）
A．16B．15C．14D．13
【分析】过E作EEF⊥BC于F，根据角平分线性质得出EF＝DE＝3，根据三角形面积公式求出即可．
【解答】解：过E作EF⊥BC于F，
∵CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，
∴EF＝DE＝3，
∵BC＝10，
∴△BCE的面积为＝15，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的面积和角平分线性质，能根据角平分线性质求出DE＝EF是解此题的关键，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
7．（3分）已知△ABC的三边长分别为3，5，7，△DEF的三边长分别为3，3x﹣2，2x﹣1，若这两个三角形全等，则x为（ ）
A．B．4C．3D．不能确定
【分析】根据全等三角形的性质：全等三角形的周长相等可得出等式方程求出答案．
【解答】解：∵△ABC与△DEF全等，
∴3+5+7＝3+3x﹣2+2x﹣1，
解得：x＝3，
故选：C．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握性质定理．
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝20°．若某个三角形与△ABC能拼成一个等腰三角形（无重叠），则拼成的等腰三角形有（ ）
A．4种B．5种C．6种D．7种
【分析】（1）取一个△EFD和△ABC全等，其中EF＝AC，FD＝BC，AB＝ED，∠C＝∠F＝90°，①将EF与AC拼接在一起即可；②将DF于BC拼接在一起即可；
（2）取一个△EFD，使AC＝EF，∠F＝90°，∠D＝55°，∠FED＝35°，将EF于AC拼接在一起即可；
（3）取一个△EFD，使EF＝BC，∠F＝90°，∠D＝80°，∠FED＝10°，将EF与BC拼接在一起即可；
（4）取一个△EFD，使EF＝AC，∠F＝90°，∠D＝40°，∠FED＝50°，将EF与AC拼接在一起即可；
（5）取一个△EFD，使EF＝AB，∠EFD＝110°，∠D＝45°，∠FED＝25°，将EF与AB拼接在一起即可；
（6）取一个△EFD，是EF＝BC，∠D＝20°，∠FED＝110°，∠EFD＝50°，将EF与AB拼接在一起即可；综上所述即可得出答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝20°，则∠ABC＝70°，
（1）取一个△EFD和△ABC全等，其中EF＝AC，FD＝BC，AB＝ED，∠C＝∠F＝90°，
此时有两种拼图方法：
①将EF与AC拼接在一起，如图1所示：
∵AB＝ED，∠C＝∠F＝90°，
∴点B，C（F），D在一条直线上，
∴△ABD为等腰三角形，且∠B＝∠D＝70°，∠BAD＝40°；
②将DF于BC拼接在一起，如图2所示：

∵AB＝BD，∠C＝∠F＝90°，
∴点A，C（F），D在一条直线上，
∴△ABD为等腰三角形；
（2）取一个△EFD，使AC＝EF，∠F＝90°，∠D＝55°，∠FED＝35°，
将EF于AC拼接在一起，如图3所示：

∵∠C＝∠F＝90°，
∴点B，C（F），D在一条直线上，
此时∠BAD＝∠BAC+∠FED＝20°+35°＝55°，
∴∠BAD＝∠D＝55°，
∴△ABD为等腰三角形；
（3）取一个△EFD，使EF＝BC，∠F＝90°，∠D＝80°，∠FED＝10°，
将EF与BC拼接在一起，如图4所示：

∵∠C＝∠F＝90°，
∴点A，C（F），D在一条直线上，
此时∠ABD＝∠ABC+∠FED＝70°+10°＝80°，
∴∠ABD＝∠D，
∴△ABD为等腰三角形；
（4）取一个△EFD，使EF＝AC，∠F＝90°，∠D＝40°，∠FED＝50°，
将EF与AC拼接在一起，如图5所示：

∵∠C＝∠F＝90°，
∴点B，C（F），D在一条直线上，
此时∠BAD＝∠BAC+∠FED＝20°+50°＝70°，
∴∠BAD＝∠ABC，
∴△ABD为等腰三角形；
（5）取一个△EFD，使EF＝AB，∠EFD＝110°，∠D＝45°，∠FED＝25°，
将EF与AB拼接在一起，如图6所示：

∵∠EFD＝110°，∠ABC＝70°，
∴∠EFD+∠ABC＝180°，
∴点C，B（F），D在一条直线上，
此时∠CAD＝∠BAC+∠FED＝20°+25°＝45°，
∴∠CAD＝∠D，
∴△ABD为等腰三角形；
（6）取一个△EFD，是EF＝BC，∠D＝20°，∠FED＝110°，∠EFD＝50°，
将将EF与AB拼接在一起，如图7所示：

∵∠FED＝110°，∠ABC＝70°，
∴∠FED+∠ABC＝180°，
∴点A，B（E），D在一条直线上，
此时∠D＝∠A＝20°，
∴△ABD为等腰三角形；
综上所述：拼成的等腰三角形有7种．
故选：D．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，在拼接的过程中根据平角定义进行构图是解决问题的关键，此题种类繁多，漏解是易错点．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．（3分）若△ABC≌△DEF，则AB的对应边是 DE ．
【分析】根据全等三角形的对应边的定义判断即可．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴AB的对应边是DE，
故答案为：DE．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质，熟记全等三角形的对应边相等是解题的关键．
10．（3分）如图，已知∠B＝∠C，在不添加任何字母的情况下，添加一个合适的条件 ∠BAD＝∠CAD 使△ABD≌△ACD．（只需填写一个符合题意的条件即可）
【分析】根据全等三角形的判定方法解决此题．
【解答】解：添加：∠BAD＝∠CAD，理由如下：
在△BAD和△CAD中，
，
∴△BAD≌△CAD（AAS）．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决本题的关键．
11．（3分）小强从镜子中看到的电子表的读数如图所示，则电子表的实际读数是 10：21 ．
【分析】根据镜面成像原理，所成的像为反像，可判断电子表的实际读数．
【解答】解：∵镜面所成的像为反像，
∴此时电子表的实际读数是10：21．
故答案为10：21．
【点评】本题考查的是镜面成像原理，镜面成的像是实际的反像．
12．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．以AB、AC为边的正方形的面积分别为S1、S2．若S1＝20，S2＝11，则BC的长为 3 ．
【分析】根据勾股定理求出BC2，则可得出答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∵S1＝20，S2＝11，
∴BC2＝AB2﹣AC2＝20﹣11＝9，
∴BC＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
13．（3分）王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为 20 cm．
【分析】根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可，利用全等三角形的性质进行解答．
【解答】解：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠BCE＝∠DAC，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
由题意得：AD＝EC＝6cm，DC＝BE＝14cm，
∴DE＝DC+CE＝20（cm），
答：两堵木墙之间的距离为20cm．
故答案为：20．
【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．
14．（3分）如图，在Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝12，BC＝6，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，要使△ABC和△QPA全等，则AP＝ 6或12 ．
【分析】本题要分情况讨论：①Rt△APQ≌Rt△CBA，此时AP＝BC＝6，可据此求出P点的位置．②Rt△QAP≌Rt△BCA，此时AP＝AC＝12，P、C重合．
【解答】解：①当AP＝CB时，
∵∠C＝∠QAP＝90°，
在Rt△ABC与Rt△QPA中，，
∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），
即AP＝BC＝6；
②当P运动到与C点重合时，AP＝AC，
在Rt△ABC与Rt△QPA中，，
∴Rt△QAP≌Rt△BCA（HL），
即AP＝AC＝12，
∴当点P与点C重合时，△ABC才能和△APQ全等．
综上所述，AP＝6或12．
故答案为：6或12．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．
15．（3分）如图，将直角三角形纸片ABC折叠，恰好使直角顶点C落在斜边AB的中点D的位置，EF是折痕，已知DE＝3，DF＝4，则AB＝ ．
【分析】连接CD交EF于点G，根据翻转变换的性质得到EC＝ED＝3，FC＝DF＝4，根据勾股定理求出EF，根据三角形的面积公式求出CG，根据直角三角形的性质计算即可．
【解答】解：连接CD交EF于点G，
∵翻折前后对应边相等，
∴EC＝ED＝3，FC＝DF＝4，EF是CD的垂直平分线，
∴EF⊥CD于G，G为CD中点，
∵∠ACB＝90°，
∴EF＝＝5，
×CE×CF＝×EF×CG，
∴CG＝＝，
∴CD＝2CG＝，
∵D为AB中点，
∴AB＝2CD＝，
故答案为：．
【点评】本题考查的是翻转变换的性质，翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
16．（3分）如图，△ABC中，BC＝10，AC﹣AB＝6．过C作∠BAC的角平分线的垂线，垂足为D，点E为DC边的中点，连结BD，CD，则S△BEC的最大值为 7.5 ．
【分析】延长AB，CD交点于F，可证△ADF≌△ADC（ASA），得出AC＝AF，DF＝CD，则S△BEC＝S△BCF，当BF⊥BC时，S△BFC最大面积为30，即S△BEC最大面积为7.5．
【解答】解：如图：延长AB，CD交点于F，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠EAD，
∵CD⊥AD，
∴∠ADC＝∠ADE＝90°，
在△ADF和△ADC中，
，
∴△ADE≌△ADC（ASA），
∴AC＝AF，DF＝CD；
∵AC﹣AB＝6，
∴AF﹣AB＝6，即BF＝6；
∵DF＝DC，
∵E是CD的中点，
∴S△BEC＝S△BFC，
∴当BF⊥BC时，S△BFC面积最大，
即S△BEC最大面积＝××10×6＝7.5．
故答案为：7.5．
【点评】本题考查了角平分线定义、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；利用三角形中线的性质得到S△BEC＝S△BFC是解题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，共102分。请在答题卡上指定区域内作答．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（8分）如图，已知点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB＝AC，∠B＝∠C．
求证：△ABE≌△ACD．
【分析】根据全等三角形的判定定理ASA推出即可．
【解答】证明：∵在△ABE和△ACD中，
∴△ABE≌△ACD（ASA）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
18．（8分）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸莺”．又到了放风筝的最佳时节，某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．求风筝的垂直高度CE．
【分析】利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度．
【解答】解：在Rt△CDB中，
由勾股定理得，CD2＝BC2﹣BD2＝252﹣152＝400，
所以，CD＝20（负值舍去），
所以，CE＝CD+DE＝20+1.6＝21.6（米），
答：风筝的高度CE为21.6米．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．
19．（8分）在边长为1的小正方形组成的10×10网格中（我们把组成网格的小正方形的顶点称为格点），△ABC的三个顶点都在格点上，请利用网格线和直尺画图．
（1）在图中画出△ABC关于直线l成轴对称的△A′B′C′；
（2）在直线l上找一点P，使PA+PB的长最短．
【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．
（2）连接AB'交直线l于点P，则点P即为所求．
【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求．
（2）如图，连接AB'交直线l于点P，连接BP，
此时PA+PB＝PA+PB'＝AB'，为最小值，
则点P即为所求．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、轴对称﹣最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
20．（10分）如图，△ABC与△DEF中，B、E、C、F在同一条直线上，BE＝CF，∠A＝∠D，AC∥DF，求证：AC＝DF．
【分析】利用全等三角形的判定方法，证明△ABC和△DEF全等即可．
【解答】证明：∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠F．
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC．
即BC＝EF．
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS）．
∴AC＝DF．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，掌握三角形全等的判定方法是解决本题的关键．
21．（10分）如图，已知△ABC，∠B＝90°，AB＜BC．
（1）尺规作图：在AC上作一点D，使点D到A、B两点的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接BD，若∠A＝46°，则∠DBC＝ 44 °．
【分析】（1）作线段AB的垂直平分线，交AC于点D，则点D即为所求．
（2）由题意可得∠A＝∠ABD＝46°，再根据∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD可得答案．
【解答】解：（1）如图，作线段AB的垂直平分线，交AC于点D，
则点D即为所求．
（2）∵AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD＝46°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝90°﹣46°＝44°．
故答案为：44．
【点评】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．
22．（10分）写出下面定理的已知、求证，并完成证明过程．
定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：“等角对等边”）．
已知：如图，在△ABC中， ∠B＝∠C ．
求证： AB＝AC ．
证明：
【分析】根据命题的条件和结论写出已知和求证，然后过点A作AD⊥BC，垂足为D，再根据垂直定义可得：∠ADB＝∠ADC＝90°，从而利用AAS证明△ABD≌△ACD，最后利用全等三角形的性质即可解答．
【解答】解：已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C，
求证：AB＝AC，
证明：过点A作AD⊥BC，垂足为D，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（AAS），
∴AB＝AC，
故答案为：∠B＝∠C；AB＝AC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分线AD交BC于点D，E为AB的中点，若BC＝6，AD＝4，求DE的长．
【分析】利用勾股定理求出AB，再利用直角三角形斜边中线的性质求解即可．
【解答】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD＝CD＝BC＝3，
∴∠ADB＝90°，
∴AB＝＝＝5，
∵AE＝EB，
∴DE＝AB＝．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
24．（12分）在边长为9的等边三角形ABC中，点P是AB上一动点，以每秒1个单位长度的速度从点A向点B运动，设运动时间为t秒．
（1）如图1，若点Q是BC上一定点，BQ＝6，PQ∥AC，求t的值；
（2）如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以每秒2个单位长度的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，△APQ为等边三角形？
【分析】（1）由平行线的性质得∠BQP＝∠C＝60°，∠BPQ＝∠A＝60°，从而得出△BPQ是等边三角形，列方程求解即可；
（2 ）根据点Q所在的位置不同，分类讨论△APQ是否为等边三角形，再根据等边三角形的性质得到等量关系，列方程求解即可．
【解答】解：（1）如图1，∵△ABC是等边三角形，PQ∥AC，
∴∠BQP＝∠C＝60°，∠BPQ＝∠A＝60°，
又∠B＝60°，
∴∠B＝∠BQP＝∠BPQ，
∴△BPQ是等边三角形，
∴BP＝BQ，
由题意可知：AP＝t，则BP＝9﹣t，
∴9﹣t＝6，
解得：t＝3，
∴当t的值为3时，PQ∥AC；
（2）如图2，①当点Q在边BC上时，
此时△APQ不可能为等边三角形；
②当点Q在边AC上时，
若△APQ为等边三角形，则AP＝AQ，
由题意可知，AP＝t，BC+CQ＝2t，
∴AQ＝BC+AC﹣（BC+CQ）＝9+9﹣2t＝18﹣2t，
即：18﹣2t＝t，解得：t＝6，
∴当t＝6时，△APQ为等边三角形．
【点评】本题是三角形综合题，考查了等边三角形、等腰三角形、以及全等三角形的综合运用，以动点问题为背景，根据等边三角形、等腰三角形以及全等三角形的性质寻找等量关系，再列方程求解，能根据题目要求进行分类讨论是解题的关键．
25．（12分）定义：若过三角形的一个顶点作射线与其对边相交，将这个三角形分成的两个三角形中有等腰三角形，那么这条射线就叫做原三角形的“等腰分割线”．
（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．
①如图1，若O为AB的中点，则射线OC 是 △ABC的等腰分割线；（填“是”或“不是”）
②如图2，已知△ABC的一条等腰分割线BP交AC边于点P，且PB＝PA，请求出CP的长度．
（2）如图3，△ABC中，CD为AB边上的高，F为AC的中点，过点F的直线l交AD于点E，作CM⊥l，DN⊥l，垂足为M，N，BD＝3，AC＝5，且∠A＜45°．若射线CD为△ABC的“等腰分割线”，求CM+DN的最大值．
【分析】（1）①由直角三角形的性质得出OA＝OC＝OB，则可得出结论；
②设CP＝x，由勾股定理得出x2+62＝（8﹣x）2，解方程可得出答案；
（2）过点A作AG⊥l于点G．由勾股定理求出AD＝4，证明△CMF≌△AGF，由全等三角形的性质得出CM＝AG．由直角三角形的性质可得出DN≤DE，AG≤AE，则可得出答案．
【解答】解：（1）①∵Rt△ABC中，∠C＝90°，O是AB的中点，
∴OA＝OC＝OB，
∴射线OC是△ABC的等腰分割线，
故答案为：是；
②设PC＝x，则AP＝BP＝8﹣x，
在Rt△BCP中，PC2+BC2＝PB2，
∴x2+62＝（8﹣x）2，
解得x＝，
∴PC＝．
（2）如图3，过点A作AG⊥l于点G．
∵CD为AB边上的高，
∴∠CDB＝∠CDA＝90°．
∵∠A＜45°，
∴△CDA不是等腰三角形．
∵CD为△ABC的“等腰分割线”，
∴△CDB和△CDA中至少有一个是等腰三角形．
∴△CDB是等腰三角形，且CD＝BD＝3．
∵AC＝5
∴AD＝＝＝4，
∵CM⊥l于M，
∴∠CMF＝∠AGF＝90°．
∵F为AC的中点，
∴CF＝AF，
在△CMF和△AGF中，
∴△CMF≌△AGF（ASA），
∴CM＝AG．
在Rt△DEN和Rt△AEG中，∠CMF＝∠DNE＝90°，
∴DN≤DE，AG≤AE，
∴AG+DN≤AE+DE，
∴CM+DN≤AE+DE，
即CM+DN≤AD，
∴CM+DN≤4，
∴CM+DN的最大值为4．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
26．（14分）如图1，在△ABC中，延长AC到D，使CD＝AB，E是AD上方一点，且∠A＝∠BCE＝∠D，连接BE．
（1）线段BC与CE的大小关系是：BC ＝ CE（填“＞”或“＜”或“＝”）；
（2）如图2，若∠ACB＝90°，将DE沿直线CD翻折得到DE′，连接BE′，BE′与CE交于F，若BE′∥ED，求证：F是BE′的中点；
（3）如图3，若∠ACB＝90°，AC＝BC，将DE沿直线CD翻折得到DE′，连接BE′交CE于F，交CD于G，若AB＝m，AC＝n，（m＞n＞0），求线段CG的长度（用含m、n的式子表示）．
【分析】（1）结合条件中角的关系，由三角形外角的性质，得∠ABC＝∠ECD，证出△ABC≌△DCE，得BC＝CE；
（2）同（1）证出△ABC≌△DCE，由翻折得CE′＝CB，结合BE′∥ED易得∠CFE′＝∠DEC＝90°，即CF⊥BE′，由三线合一得F是BE′的中点；
（3）先利用折叠的性质，证明△BGC≌△MGC，易得CE＝CB＝CM，利用三角形内角和可得∠BEM＝∠CED，由角的转化得到∠BEC＝∠GED，最后证明△BCE≌△GDE，进而求得CG＝CD﹣GD＝n﹣m．
【解答】（1）解：∵∠ABC+∠A＝∠BCD，∠BCE+∠ECD＝∠BCD，∠A＝∠BCE，
∴∠ABC＝∠ECD，
在△ABC与△DCE中，
，
∴△ABC≌△DCE（ASA），
∴BC＝CE，
故答案为：＝；
（2）证明：∵∠ABC+∠A＝∠BCD，∠BCE+∠ECD＝∠BCD，∠A＝∠BCE，
∴∠ABC＝∠ECD，
在△ABC与△DCE中，
，
∴△ABC≌△DCE（ASA），
∴BC＝CE，
∴∠ACB＝∠DEC＝90°，
如图2，连接CE′，
∵将DE沿直线CD翻折得到DE′，
∴CE＝CE′＝CB，
∵BE′∥ED，
∴∠CFE′＝∠DEC＝90°，即CF⊥BE′．
由三线合一，F是BE′的中点；
（3）解：如图3，连EG，延长EG交BC于M，
根据折叠的性质，则∠DGE＝∠DGE′，
∵∠DGE＝∠CGM，∠DGE′＝∠BGC，
∴∠BGC＝∠CGM，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠BCG＝∠MCG＝90°，
在△BGC与△CGM中，
，
∴△BGC≌△MGC（ASA），
∴BC＝CM，
由（2）知，△ABC≌△DCE，
∴BC＝CE，∠ACB＝∠DEC＝90°，
∴CE＝CB＝CM，
∴∠CBE＝∠CEB，∠CEM＝∠CME，
∴∠BEM＝∠CEB+∠CEM＝（∠CBE+∠CEB+∠CEM+∠CME）＝×180°＝90°，
∴∠BEM＝∠CED，
∴∠BEM﹣∠CEM＝∠CED﹣∠CEM，
∴∠BEC＝∠GED，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠EDC＝∠A＝45°，
∴∠ECD＝∠EDC，CE＝DE，
在△BCE与△GDE中，
，
∴△BCE≌△GDE（ASA），
∴BC＝GD＝AC＝m，
∵CD＝AB＝n，
∴CG＝CD﹣GD＝n﹣m．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和，平行线的性质，等腰三角形三线合一，其中能够利用全等三角形的性质与翻折性质得到的边、角相等进行等量代换是解题关键