江苏省宿迁市沭阳县2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

这是一份江苏省宿迁市沭阳县2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题，共27页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．3a﹣1＝0B．ax2+bx+c＝0
C．3x2+1＝0D．x2+＝0
2．（3分）⊙O的半径为3，点A到圆心O的距离为4，点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在⊙O外B．点A在⊙O内C．点A在⊙O上D．不能确定
3．（3分）某校组织青年教师教学竞赛活动，包含教学设计和现场教学展示两个方面．其中教学设计占20%，现场展示占80%．某参赛教师的教学设计90分，现场展示95分，则她的最后得分为（ ）
A．95分B．94分C．92.5分D．91分
4．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程变形为（ ）
A．（x+1）2＝6B．（x﹣1）2＝6C．（x+1）2＝9D．（x﹣1）2＝9
5．（3分）如图，AB是⊙O直径，点C在⊙O上，AE是⊙O的切线，A为切点，连接BC并延长交AE于点D．若∠AOC＝80°，则∠ADB的度数为（ ）
A．40°B．50°C．60°D．20°
6．（3分）如图，在⊙O中，直径EF与弦CD相交于点M，F为中点．若CD＝2，EM＝5，则⊙O的半径长为（ ）
A．4B．3C．D．
7．（3分）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，书中有一个关于门和竹竿的问题，简译为：今有一扇门，不知门的高和宽．另有一竹竿，也不知竹竿的长短．竹竿横着放时比门的宽长4尺，竹竿竖着放时比门的高长2尺，竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等，求门的对角线长．若设门的对角线长为x尺，则可列方程为（ ）
A．（x+2）2＝（x﹣4）2+x2B．（x+4）2＝x2+（x﹣2）2
C．x2＝（x﹣4）2+（x﹣2）2D．（x+4）2＝（x+2）2+x2
8．（3分）如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其他两边AC，BC分别交于点D，E，且E为BC的中点，若AB＝8，BC＝4，则BD的长为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共10小题.每小题3分，共30分.请把答案直接填写在答题纸相应的
9．（3分）方程（x﹣1）2＝9的解是 ．
10．（3分）如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠B＝60°，则∠D＝ ．
11．（3分）关于x的一元二次方程x2+6x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 ．
12．（3分）一组数据2，3，x，4的众数与中位数相等，则这组数据的方差是 ．
13．（3分）已知圆锥的底面半径为4cm，侧面积为24πcm2，则其母线长为 cm．
14．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，若BD＝3，AD＝2，则⊙O的半径为 ．
15．（3分）若α，β是方程x2+2x﹣2026＝0的两个实数根，则α2+3α+β的值为 ．
16．（3分）如图，将半径OB＝6的半圆绕点B按顺时针方向旋转30°，此时点A到了点A'，则图中涂色部分的面积为 ．
17．（3分）等腰△ABC的一边长为3，另外两边的长是关于x的方程x2﹣10x+m＝0的两个实数根，则m的值是 ．
18．（3分）如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝3，∠ACB＝30°，D是△ABC内一动点，⊙O为△ACD的外接圆，⊙O交直线BD于点P，交边BC于点E，若 ，则AD的最小值为 ．
三、解答题（本大题共10大题，共96分.请在答题纸指定的区域答题，解答时应写出必要的计算过程，推演步骤或文字说明.画图或作图痕迹用黑色签字笔加粗加黑）
19．（8分）解下列方程：
（1）x2﹣2x﹣11＝0；
（2）x（x﹣4）＝5（4﹣x）．
20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣5＝0．
（1）求证：无论m取何值，方程一定有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一根为2，求m的值．
21．（8分）如图，AB，CD是⊙O的两条弦，且AB＝CD，E是弧AC的中点．求证：BE＝DE．
22．（8分）2022年3月25日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来．某校为了解该校学生一周的课外劳动情况，随机抽取部分学生调查了他们一周的课外劳动时间，将数据进行整理并制成如一统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列的问题：
（1）求图1中的m＝ ，本次调查数据的中位数是 h，本次调查数据的众数是 h；
（2）若该校共有2000名学生，请根据统计数据，估计该校学生一周的课外劳动时间不小于3h的人数．
23．（10分）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）作一个圆，使圆心O在AC边上，且与AB、BC所在直线相切（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若AC＝6，BC＝8，求（1）中所作的⊙O的半径．
24．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从A点沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向C以2cm/s的速度移动．
（1）几秒后△PBQ的面积等于8cm2；
（2）△PDQ的面积能为8cm2吗？为什么？
25．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点B作经过点C的直线CD的垂线，垂足为E（即BE⊥CD），BE交⊙O于点F，且BC平分∠ABE．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若AB＝10，CE＝4，求线段EF的长．
26．（10分）受近期台风影响，矿泉水紧缺．某店以每桶8元的成本价购进了一批桶装水，七月份以一桶14元的价格销售了256桶，八、九月该桶装水十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，九月份的销售量达到400桶．
（1）求八、九两个月销售量的月平均增长率；
（2）为回馈客户，该店决定十月降价促销．经调查：在九月份销量的基础上，该桶装水每桶降价1元，销量就增加40桶，当桶装水每桶降价多少元时，十月份可获利1920元？
27．（12分）（1）证明定理：圆内接四边形的对角互补．
已知：如图①，四边形ABCD内接于⊙O．求证：∠A+∠C＝∠B+∠D＝180°．
（2）逆命题证明：
若四边形的一组对角∠A+∠C＝180°，则这个四边形的4个顶点共圆（图②），可以用反证法证明如下：
在图②中，经过点A，B，D画⊙O．
假设点C落在⊙O外，BC交⊙O于点E，连接DE，
∵四边形ABED内接于⊙O，∴可得 ＝ 180°，
∵∠A+∠C＝180°，∴∠BED＝ ，与∠BED＞∠C得出矛盾；
同理点C也不会落在⊙O内，∴A，B，C，D共圆．
（3）结论运用：如图③，AB⊥BC，AB＝9，点E、F分别是线段AB、射线BC上的动点，以EF为斜边向上作等腰Rt△DEF，∠EDF＝90°，连接AD，求AD的最小值．
28．（12分）定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根为x1，x2（x1＜x2），分别以x1，x2为横坐标和纵坐标得到点M（x1，x2），则点M为该一元二次方程的衍生点．
（1）若一元二次方程x2＝4x，写出该方程的衍生点M的坐标 ．
（2）若关于x的一元二次方程为x2﹣（2m﹣3）x+m2﹣3m＝0．
①求该方程的衍生点M的坐标．
②若以点M为圆心，r为半径的⊙M与x轴、y轴都相切，求r的值．
（3）是否存在b，c，使得不论k（k≠0）为何值，关于x的方程x2+bx+c＝0的衍生点M始终在直线y＝kx+2（4﹣k）的图象上？若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由．
2024-2025学年江苏省宿迁市沭阳县九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，正确选项的字母代号填涂在答题纸相应的位置上）
1．（3分）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．3a﹣1＝0B．ax2+bx+c＝0
C．3x2+1＝0D．x2+＝0
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．该选项的方程是一元一次方程，故本选项不符合题意；
B．ax2+bx+c＝0，a＝0，b≠0时是一元一次方程，故本选项不符合题意；
C．该选项的方程是一元二次方程，故本选项符合题意；
D．该选项的方程是分式方程，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一次未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．
2．（3分）⊙O的半径为3，点A到圆心O的距离为4，点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在⊙O外B．点A在⊙O内C．点A在⊙O上D．不能确定
【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
【解答】解：∵⊙O的半径为3，点A到圆心O的距离为4，
即点到圆心的距离大于圆的半径，
所以点A在⊙O外．
故选：A．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
3．（3分）某校组织青年教师教学竞赛活动，包含教学设计和现场教学展示两个方面．其中教学设计占20%，现场展示占80%．某参赛教师的教学设计90分，现场展示95分，则她的最后得分为（ ）
A．95分B．94分C．92.5分D．91分
【分析】根据题目中的数据和加权平均数的计算方法，可以计算出她的最终得分．
【解答】解：由题意可得，
90×20%+95×80%＝94（分），
即她的最后得分为9（4分），
故选：B．
【点评】本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确题意，列出相应的算式．
4．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程变形为（ ）
A．（x+1）2＝6B．（x﹣1）2＝6C．（x+1）2＝9D．（x﹣1）2＝9
【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案．
【解答】解：移项得x2﹣2x＝5，
配方得x2﹣2x+1＝6，
（x﹣1）2＝6，
故选：B．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
5．（3分）如图，AB是⊙O直径，点C在⊙O上，AE是⊙O的切线，A为切点，连接BC并延长交AE于点D．若∠AOC＝80°，则∠ADB的度数为（ ）
A．40°B．50°C．60°D．20°
【分析】由AB是⊙O直径，AE是⊙O的切线，推出AD⊥AB，∠DAC＝∠B＝∠AOC＝40°，推出∠AOD＝50°．
【解答】解：∵AB是⊙O直径，AE是⊙O的切线，
∴∠BAD＝90°，
∵∠B＝∠AOC＝40°，
∴∠ADB＝90°﹣∠B＝50°，
故选：B．
【点评】本题主要考查圆周角定理、切线的性质，解题的关键在于连接AC，构建直角三角形，求∠B的度数．
6．（3分）如图，在⊙O中，直径EF与弦CD相交于点M，F为中点．若CD＝2，EM＝5，则⊙O的半径长为（ ）
A．4B．3C．D．
【分析】如图，连接OC，设OC＝OE＝OF＝r．利用垂径定理，勾股定理解决问题即可．
【解答】解：如图，连接OC，设OC＝OE＝OF＝r．
∵EF⊥CD，EF是直径，
∴CM＝MD＝1，
在Rt△COM中，OC2＝OM2+CM2，
∴r2＝12+（5﹣r）2，
∴r＝，
故选：C．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
7．（3分）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，书中有一个关于门和竹竿的问题，简译为：今有一扇门，不知门的高和宽．另有一竹竿，也不知竹竿的长短．竹竿横着放时比门的宽长4尺，竹竿竖着放时比门的高长2尺，竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等，求门的对角线长．若设门的对角线长为x尺，则可列方程为（ ）
A．（x+2）2＝（x﹣4）2+x2B．（x+4）2＝x2+（x﹣2）2
C．x2＝（x﹣4）2+（x﹣2）2D．（x+4）2＝（x+2）2+x2
【分析】根据各边之间的关系，可得出门的高为（x﹣2）尺，宽为（x﹣4）尺，再利用勾股定理，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：若设门的对角线长为x尺，则门的高为（x﹣2）尺，宽为（x﹣4）尺，
根据题意得：x2＝（x﹣4）2+（x﹣2）2．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程、数学常识以及勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．（3分）如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其他两边AC，BC分别交于点D，E，且E为BC的中点，若AB＝8，BC＝4，则BD的长为（ ）
A．B．C．D．
【分析】连接AE．首先证明AC＝AB，再利用面积法求解．
【解答】解：如图，连接AE，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝∠AEB＝90°，
∴AE⊥BC，BD⊥AC，
∵E为BC的中点，
∴AE是BC的垂直平分线，EB＝EC＝2，
∴AC＝AB，
∴∠CAE＝∠EAB，∠C＝∠ABC，
∴AC＝AB＝8，
∴AE＝＝＝2，
∵AC•BD＝BC•AE，
∴BD＝＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查圆周角定理，等腰三角形的判定，勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
二、填空题（本大题共10小题.每小题3分，共30分.请把答案直接填写在答题纸相应的
9．（3分）方程（x﹣1）2＝9的解是 x＝﹣2或x＝4 ．
【分析】两边直接开平方得：x﹣1＝±3，再解一元一次方程即可．
【解答】解：（x﹣1）2＝9，
两边直接开平方得：x﹣1＝±3，
则x﹣1＝3，x﹣1＝﹣3，
解得：x1＝4，x2＝﹣2，
故答案为：x＝4或﹣2．
【点评】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．
10．（3分）如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠B＝60°，则∠D＝ 120° ．
【分析】利用圆内接四边形的性质解决问题即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠B+∠D＝180°，
∵∠B＝60°，
∴∠D＝120°，
故答案为：120°．
【点评】本题考查圆内接四边形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
11．（3分）关于x的一元二次方程x2+6x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 9 ．
【分析】根据一元二次方程根的判别式的意义，方程x2+6x+m＝0有两个相等的实数根，则有Δ＝0，得到关于m的方程，解方程即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+6x+m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，即62﹣4×1×m＝0，
解得m＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
12．（3分）一组数据2，3，x，4的众数与中位数相等，则这组数据的方差是 ．
【分析】分别假设众数为2，3，4，分类讨论，找到符合题意的x的值，再根据方差的定义求解可得．
【解答】解：若众数为2，则数据为2，3，2，4，此时中位数为2.5，不符合题意；
若众数为3，则数据为2，3，3，4，中位数为3，符合题意，
此时平均数为＝3，方差为[（2﹣3）2+（3﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2]＝；
若众数为4，则数据为2，3，4，4，中位数为3.5，不符合题意；
故答案为：．
【点评】本题主要考查众数、中位数及方差，根据众数的可能情况分类讨论求解是解题的关键．
13．（3分）已知圆锥的底面半径为4cm，侧面积为24πcm2，则其母线长为 6 cm．
【分析】圆锥的侧面积＝π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．
【解答】解：设母线长为l cm，
则：24π＝π×4l，
解得l＝6，
所以母线长为6（cm）．
故答案为：6．
【点评】本题考查圆锥的计算，掌握圆锥的侧面积公式是关键．
14．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，若BD＝3，AD＝2，则⊙O的半径为 1 ．
【分析】连接OE、OF．由已知条件可得出OE⊥BC，OF⊥AC，结合已知条件证明四边形OECF是正方形，由正方形的性质可得出CE＝CF＝OE＝OF＝r，根据切线长定理可得BD＝BE，AD＝AF，进而可得出AB＝5，BC＝3+r，AC＝2+r．，最后利用勾股定理列出方程求解即可．
【解答】解：连接OE、OF．
∵OE⊥BC，OF⊥AC，
又∵∠C＝90°，
∴四边形OECF是矩形，
∵OE＝OF，
∴四边形OECF是正方形，
∴．CE＝CF＝OE＝OF＝r．
∵BD＝BE，AD＝AF，
∵BD＝3，AD＝2，
∴AB＝5，BC＝3+r，AC＝2+r．
∵AB2＝BC2+AC2
52＝（3+r）2+（2+r）2．
r1＝1，r2＝﹣6（舍去），
故⊙O的半径为1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了三角形内切圆的性质，正方形的判定以及性质，切线长定理，勾股定理，掌握三角形内切圆的性质，正方形的判定以及性质，切线长定理是解题的关键．
15．（3分）若α，β是方程x2+2x﹣2026＝0的两个实数根，则α2+3α+β的值为 2024 ．
【分析】根据根与系数的关系得到α+β＝﹣2，根据一元二次方程解的定义得到α2+2α＝2026，再由α2+3α+β＝（α2+2α）+（α+β），利用整体代入法求解即可．
【解答】解：∵α，β是方程x2+2x﹣2026＝0的两个实数根，
∴α+β＝﹣2，α2+2α﹣2026＝0，
∴α2+2α＝2026，
∴α2+3α+β
＝（α2+2α）+（α+β）
＝2026+（﹣2）
＝2024，
故答案为：2024．
【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．也考查了一元二次方程的解的定义．
16．（3分）如图，将半径OB＝6的半圆绕点B按顺时针方向旋转30°，此时点A到了点A'，则图中涂色部分的面积为 12π ．
【分析】由半圆A′B面积+扇形ABA′的面积﹣空白处半圆AB的面积即可得出阴影部分的面积．
【解答】解：∵半圆AB，绕B点顺时针旋转30°，
∴S阴影＝S半圆A′B+S扇形ABA′﹣S半圆AB
＝S扇形ABA′
＝
＝12π．
故答案为：12π．
【点评】本题考查了扇形面积的计算以及旋转的性质，熟记扇形面积公式和旋转前后不变的边是解题的关键．
17．（3分）等腰△ABC的一边长为3，另外两边的长是关于x的方程x2﹣10x+m＝0的两个实数根，则m的值是 25 ．
【分析】结合根与系数的关系，分已知边长3是底边和腰两种情况讨论．
【解答】解：设关于x的方程x2﹣10x+m＝0的两个实数根分别为a、b．
∵方程x2﹣10x+m＝0有两个实数根，
∴Δ＝100﹣4m≥0，得m≤25．
①当底边长为3时，另两边相等时，a+b＝10，
∴另两边的长都是为5，
则m＝ab＝25；
②当腰长为3时，另两边中至少有一个是3，
则3一定是方程x2﹣10x+m＝0的根，
而a+b＝10，
∴另一根为：7．
∵3+3＜7，不能构成三角形．
∴m的值为25．
故答案为：25．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质．
18．（3分）如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝3，∠ACB＝30°，D是△ABC内一动点，⊙O为△ACD的外接圆，⊙O交直线BD于点P，交边BC于点E，若 ，则AD的最小值为 ﹣3 ．
【分析】根据＝得∠ACB＝∠CDP．再由∠ACB＝30°可得到∠BDC＝150°，于是点D在以BC为弦，∠BDC＝150°的圆弧上运动，再由∠BMC＝60°可证明∠ACM＝90°，从而算出AM＝，再由当A、D、M三点共线时，AD最小，求出此时AD的长即可．
【解答】解：∵＝，
∴∠ACB＝∠CDP．
∵∠ACB＝30°，
∴∠CDP＝30°，
∴∠BDC＝180°﹣30°＝150°，
∴点D在以BC为弦，∠BDC＝150°的圆弧上运动，
如图，设D点运动的圆弧圆心为M，取优弧BC上一点N，
连接MB，MC，NB，NC，AM，MD，
则∠BNC＝180°﹣∠BDC＝30°，
∴∠BMC＝60°，
∵BM＝CM，
∴△BMC为等边三角形，
∴∠MCB＝60°，MC＝BC＝3，
∵∠ACB＝30°，
∴∠ACM＝90°，
∴AM＝＝＝，
∴当A、D、M三点共线时，AD最小，
此时，AD＝AM﹣MD＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】此题主要考查了圆周角定理、等边三角形的性质、勾股定理、三角形三边关系，解决此题的关键是证明出∠BDC＝150°，分析出D在以BC为弦，∠BDC＝150°的圆弧上运动．
三、解答题（本大题共10大题，共96分.请在答题纸指定的区域答题，解答时应写出必要的计算过程，推演步骤或文字说明.画图或作图痕迹用黑色签字笔加粗加黑）
19．（8分）解下列方程：
（1）x2﹣2x﹣11＝0；
（2）x（x﹣4）＝5（4﹣x）．
【分析】（1）先求出一元二次方程根的判别式为48＞0，然后再代入一元二次方程的求根公式法即可得出该方程的解；
（2）先移项，再利用提取公因式法进行因式分解得（x﹣4）（x+5）＝0，由此得x﹣4＝0或x+5＝0，然后再解这两个一元一次方程即可得出该方程的解．
【解答】解：（1）x2﹣2x﹣11＝0，
∵根的判别式b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣11）＝4+44＝48＞0，
∴x＝，
∴该方程的解为：，；
（2）x（x﹣4）＝5（4﹣x），
移项：得：x（x﹣4）+5（x﹣4）＝0，
∴（x﹣4）（x+5）＝0，
∴x﹣4＝0或x+5＝0，
由x﹣4＝0，解得：x＝4，
由x+5＝0，解得：x＝﹣5，
∴该方程的解为：x1＝4，x2＝﹣5．
【点评】此题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握求根公式法，因式分解法解一元二次方程是解决问题的关键．
20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣5＝0．
（1）求证：无论m取何值，方程一定有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一根为2，求m的值．
【分析】（1）根据根的判别式得出Δ＝m2﹣4×1×（m﹣5）＝（m﹣2）2+16＞0，据此可得答案；
（2）把x＝2代入x2﹣mx+m﹣5＝0，求得m＝可得答案．
【解答】（1）证明：∵Δ＝m2﹣4×1×（m﹣5）＝m2﹣4m+20＝（m﹣2）2+16＞0，
∴无论m取何值，方程一定有两个不相等的实数根；
（2）解：将x＝2代入方程得4﹣2m+m﹣5＝0，
解得m＝1．
故m的值为1．
【点评】本题主要考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．
21．（8分）如图，AB，CD是⊙O的两条弦，且AB＝CD，E是弧AC的中点．求证：BE＝DE．
【分析】本题连接OA，OC，OB，OD，OE，再证明∠AOB＝∠COD，∠AOE＝∠COE，可得∠BOE＝∠DOE，从而可得答案．
【解答】证明：如图，连接OA，OC，OB，OD，OE，
∵AB＝CD，E是弧AC的中点．
∴∠AOB＝∠COD，∠AOE＝∠COE，
∴∠BOE＝∠DOE，
∴BE＝DE．
【点评】本题考查的是圆心角，弧，弦之间的关系的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22．（8分）2022年3月25日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来．某校为了解该校学生一周的课外劳动情况，随机抽取部分学生调查了他们一周的课外劳动时间，将数据进行整理并制成如一统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列的问题：
（1）求图1中的m＝ 25 ，本次调查数据的中位数是 3 h，本次调查数据的众数是 3 h；
（2）若该校共有2000名学生，请根据统计数据，估计该校学生一周的课外劳动时间不小于3h的人数．
【分析】（1）用劳动时间为1小时的人数除以其人数占比求出参与调查的总人数，再用劳动时间为4小时的人数除以总人数得出m的值，最后根据中位数与众数的意义结合统计图即可求解；
（2）用2000乘以3小时及以上的人数的百分比即可求解．
【解答】解：（1）4÷10%＝40人，
∴参与调查的学生人数为40人，
∴，
∴m＝25，
∵参与调查的学生人数一共有40人，将他们的劳动时间从低到高排列，处在第20名和第21名的劳动时间分别为3h，3h
∴中位数为，
由条形统计图可知，劳动时间为3h的人数最多，
∴众数为3h，
故答案为：25，3，3；
（2）解：（人），
答：估计该校学生一周的课外劳动时间不小于3h的人数为1400人．
【点评】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
23．（10分）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）作一个圆，使圆心O在AC边上，且与AB、BC所在直线相切（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若AC＝6，BC＝8，求（1）中所作的⊙O的半径．
【分析】（1）作∠ABC的平分线，交AC于点O，再以点O为圆心，OC的长为半径画圆，则⊙O即为所求．
（2）设⊙O与AB相切于点D，连接OD，可得∠ODB＝90°，BC＝BD＝8．由勾股定理得，AB＝＝10，则AD＝AB﹣BD＝2．设所作的⊙O的半径为r，则OD＝r，OA＝6﹣r，在Rt△AOD中，由勾股定理得，OA2＝AD2+OD2，代入求出r的值，即可得出答案．
【解答】解：（1）如图，作∠ABC的平分线，交AC于点O，再以点O为圆心，OC的长为半径画圆，
则⊙O即为所求．
（2）设⊙O与AB相切于点D，连接OD，
∵AB，BC为⊙O的切线，
∴∠ODB＝90°，BC＝BD＝8．
由勾股定理得，AB＝＝＝10，
∴AD＝AB﹣BD＝2．
设所作的⊙O的半径为r，则OD＝r，OA＝6﹣r，
在Rt△AOD中，由勾股定理得，OA2＝AD2+OD2，
即（6﹣r）2＝22+r2，
解得r＝，
∴所作的⊙O的半径为．
【点评】本题考查作图—复杂作图、切线的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
24．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从A点沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向C以2cm/s的速度移动．
（1）几秒后△PBQ的面积等于8cm2；
（2）△PDQ的面积能为8cm2吗？为什么？
【分析】（1）当运动时间为t s时，AP＝t cm，BP＝（6﹣t）cm，BQ＝2t cm，CQ＝（12﹣2t）cm，根据△PBQ的面积等于8cm2，可列出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论；
（2）假设△PDQ的面积能为8cm2，根据△PDQ的面积为8cm2，可列出关于t的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣76＜0，可得出原方程无实数根，进而可得出假设不成立，即△PDQ的面积不能为8cm2．
【解答】解：（1）当运动时间为t s时，AP＝t cm，BP＝（6﹣t）cm，BQ＝2t cm，CQ＝（12﹣2t）cm，
根据题意得：（6﹣t）•2t＝8，
整理得：t2﹣6t+8＝0，
解得：t1＝2，t2＝4．
答：经过2秒或4秒后△PBQ的面积等于8cm2；
（2）△PDQ的面积不能为8cm2，理由如下：
假设△PDQ的面积能为8cm2，则S△PDQ＝S长方形ABCD﹣S△APD﹣S△PBQ﹣S△CDQ，
即12×6﹣×12•t﹣（6﹣t）•2t﹣×6•（12﹣2t）＝8，
整理得：t2﹣6t+28＝0，
∵Δ＝（﹣6）2﹣4×1×28＝﹣76＜0，
∴原方程无实数根，
∴假设不成立，即△PDQ的面积不能为8cm2．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
25．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点B作经过点C的直线CD的垂线，垂足为E（即BE⊥CD），BE交⊙O于点F，且BC平分∠ABE．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若AB＝10，CE＝4，求线段EF的长．
【分析】（1）连接OC，如图，先由BC平分∠ABE得的∠1＝∠2，加上∠1＝∠3，则∠2＝∠3，于是可判断OC∥BE，然后根据平行线的性质可得到OC⊥CD，则可根据切线的判定定理得到CD为⊙O的切线；
（2）连接AF，交OC于H，如图，先证明四边形CHFE为矩形得到HF＝CE＝4，CH＝EF，OH⊥AF，利用垂径定理得AH＝HF＝4，然后在Rt△OAH中根据勾股定理计算出OH＝3，再计算出CH的长，从而得到EF的长．
【解答】（1）证明：连接OC，如图，
∵BC平分∠ABE，
∴∠1＝∠2，
∵OB＝OC，
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∴OC∥BE，
∵BE⊥CD，
∴OC⊥CD，
∴CD为⊙O的切线；
（2）解：连接AF，交OC于H，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∵∠OCE＝∠CEF＝90°，
∴四边形CHFE为矩形，
∴HF＝CE＝4，CH＝EF，OH⊥AF，
∴AH＝HF＝4，
在Rt△OAH中，∵OA＝5，AH＝4，
∴OH＝＝3，
∴CH＝OC﹣OH＝5﹣3＝2，
∴EF＝2．
【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
26．（10分）受近期台风影响，矿泉水紧缺．某店以每桶8元的成本价购进了一批桶装水，七月份以一桶14元的价格销售了256桶，八、九月该桶装水十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，九月份的销售量达到400桶．
（1）求八、九两个月销售量的月平均增长率；
（2）为回馈客户，该店决定十月降价促销．经调查：在九月份销量的基础上，该桶装水每桶降价1元，销量就增加40桶，当桶装水每桶降价多少元时，十月份可获利1920元？
【分析】（1）设八、九这两个月销售量的月平均增长率为x，根据七月份及九月份桶装水的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设桶装水每桶降价y元，则十月份的销售量为（400+40y）桶，根据总利润＝每桶桶装水的销售利润×月销售数量结合五月份可获利1920元，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）设八、九这两个月销售量的月平均增长率为x，依题意得：
256（1+x）2＝400，
解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不合题意，舍去）．
答：八、九两个月销售量的月平均增长率为25%；
（2）设桶装水每桶降价y元，则十月份的销售量为（400+40y）桶，依题意得：
（14﹣y﹣8）（400+40y）＝1920，
化简得：y2+4y﹣12＝0，
解得：y1＝2，y2＝﹣6（不合题意，舍去），
答：当桶装水每桶降价2元时，十月份可获利1920元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
27．（12分）（1）证明定理：圆内接四边形的对角互补．
已知：如图①，四边形ABCD内接于⊙O．求证：∠A+∠C＝∠B+∠D＝180°．
（2）逆命题证明：
若四边形的一组对角∠A+∠C＝180°，则这个四边形的4个顶点共圆（图②），可以用反证法证明如下：
在图②中，经过点A，B，D画⊙O．
假设点C落在⊙O外，BC交⊙O于点E，连接DE，
∵四边形ABED内接于⊙O，∴可得 ∠BED ＝ 180°，
∵∠A+∠C＝180°，∴∠BED＝ ∠C ，与∠BED＞∠C得出矛盾；
同理点C也不会落在⊙O内，∴A，B，C，D共圆．
（3）结论运用：如图③，AB⊥BC，AB＝9，点E、F分别是线段AB、射线BC上的动点，以EF为斜边向上作等腰Rt△DEF，∠EDF＝90°，连接AD，求AD的最小值．
【分析】（1）连接BD，AC，根据圆周角与弧的关系即可得出结论．
（2）用反证法即可求解；
（3）证明F、B、E、D四点共圆，得到BD为∠ABD的角平分线，故当AD⊥BD时，AD最小，即可求解．
【解答】（1）证明：连接BD，AC，
∵∠BCD＝的度数，∠DAC＝的度数，∠ABC＝的度数，∠ADC＝的度数，
则的度数+的度数＝360°，的度数+的度数＝360°，
∴∠BCD+∠DAC＝180°，∠ABC+∠ADC＝180°，即∠A+∠C＝180°，∠B+∠D＝180°，
即：∠A+∠C＝∠B+∠D＝180°；
（2）证明：在图②中，经过点A，B，D画⊙O．
假设点C落在⊙O外，BC交⊙O于点E，连接DE，
∵四边形ABED内接于⊙O，
∴可得∠BED＝ 180°，
∵∠A+∠C＝180°，
∴∠BED＝∠C，与∠BED＞∠C得出矛盾；
同理点C也不会落在⊙O内，
∴A，B，C，D共圆．
故答案为：∠BED，∠C；
（3）解：∵∠EDF＝∠EBF＝90°，
由（2）知，F、B、E、D四点共圆，作射线BD，
∵∠DEF＝45°，
∴∠FBD＝∠DEF＝45°＝∠ABD，
即BD为∠ABD的角平分线，
故当AD⊥BD时，AD最小，
此时△ABD为大家直角三角形，
此时AD＝AB＝，
即AD的最小值为：．
【点评】本题属于圆的综合题，考查了圆内接四边形的性质，等补四边形的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
28．（12分）定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根为x1，x2（x1＜x2），分别以x1，x2为横坐标和纵坐标得到点M（x1，x2），则点M为该一元二次方程的衍生点．
（1）若一元二次方程x2＝4x，写出该方程的衍生点M的坐标 （0，4） ．
（2）若关于x的一元二次方程为x2﹣（2m﹣3）x+m2﹣3m＝0．
①求该方程的衍生点M的坐标．
②若以点M为圆心，r为半径的⊙M与x轴、y轴都相切，求r的值．
（3）是否存在b，c，使得不论k（k≠0）为何值，关于x的方程x2+bx+c＝0的衍生点M始终在直线y＝kx+2（4﹣k）的图象上？若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由．
【分析】（1）由x2＝4x得：x＝0或4，即可求解；
（2）①由x2﹣（2m﹣3）x+m2﹣3m＝0得：x＝m﹣3或m，即可求解；②以点M为圆心，r为半径的⊙M与x轴、y轴都相切，则|m﹣3|＝|m|，即可求解；
（3）存在b，c，使得不论k（k≠0）为何值，关于x的方程x2+bx+c＝0的衍生点M始终在直线y＝kx+2（4﹣k）的图象上，得到无论k（k≠0）为何值，直线y＝kx+2（4﹣k）始终经过点（2，8），进而求解．
【解答】解：（1）由x2＝4x得：x＝0或4，
即点M（0，4），
故答案为：（0，4）；
（2）①由x2﹣（2m﹣3）x+m2﹣3m＝0得：x＝m﹣3或m，
即点M（m﹣3，m），
②∵以点M为圆心，r为半径的⊙M与x轴、y轴都相切，
则|m﹣3|＝|m|，
解得：m＝1.5＝r，
即r＝1.5；
（3）有，理由：
存在b，c，使得不论k（k≠0）为何值，关于x的方程x2+bx+c＝0的衍生点M始终在直线y＝kx+2（4﹣k）的图象上．
∵直线y＝kx+2（4﹣k）＝k（x﹣2）+8，
∴当x＝2时，y＝8，
∴无论k（k≠0）为何值，直线y＝kx+2（4﹣k）始终经过点（2，8），
∴关于x的方程x2+bx+c＝0的衍生点M的坐标为（2，8），
∴方程x2+bx+c＝0的两个根为x1＝2，x2＝8，
∴x1+x2＝2+8＝﹣b，x1•x2＝2×8＝c，
解得：b＝﹣10，c＝16．
【点评】本题为圆的综合题，考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，直线与圆相切，一次函数的图象和性质，一元二次方程根和系数的关系，理解题意是解题的关键