浙江省9+1高中联盟2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试卷及参考答案

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考生须知：
1.本卷满分150分，考试时间120分钟；
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息；
3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷；
4.参加联批学校的学生可关注“启望教育”公众号查询个人成绩分析.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，且，则a等于（ ）
A．1B．C．D．3
2．设复数，在复平面内对应的点关于实轴对称，，则（ ）
A．B．
C．D．
3．若命题“，成立”是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4．在中，D是BC上一点，满足，M是AD的中点，若，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知圆锥的侧面展开图是一个面积为的半圆，则该圆锥的高为（ ）
A．B．C．D．
6．函数的部分图象如图所示，直线与其交于A，B两点，若，则（ ）
A．4B．3C．2D．1
7．已知函数，若，，，则有（ ）
A．B．
C．D．
8．已知函数（a，且）在区间上有零点，则的最小值为（ ）
A．B．C．2D．1
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．下列说法中正确的是（ ）
A．数据1，2，2，3，4，5的极差与众数之和为7
B．若随机变量X服从二项分布，且，则
C．X和Y是分类变量，若值越大，则判断“X与Y独立”的把握性越大
D．若随机变量X服从正态分布，且，则
10．已知数列的前n项和为，满足，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．为等比数列B．为等比数列
C．D．
11．已知曲线C的方程为：，，，过M的直线交曲线C于A、B两点（A在B的上方），已知，，下列命题正确的是（ ）
A．
B．的最小值是2
C．周长的最大值是
D．若，将沿MN翻折，使面面，则折后
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12．双曲线的渐近线方程为 .
13．已知展开式的二项式系数之和为64，则展开式中项的系数为 .（用数字作答）
14．一只盒子中装有4个形状大小相同的小球，小球上标有4个不同的数字.摸球人不知最大数字是多少，每次等可能地从中摸出一个球，不放回.摸球人决定放弃前面两次摸出的球，从第3次开始，如果摸出的球上标有的数字大于前面摸出的球上的数字，就把这个球保存下来，摸球结束，否则继续摸球.问摸球人最后保存下来是数字最大的球的概率是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足.
(1)求角A；
(2)若，的面积为，求的值.
16．已知函数，其中.
(1)若曲线在点处的切线垂直于直线，求a的值；
(2)讨论函数的单调性.
17．如图，三棱锥中，，平面平面，平面平面.
(1)证明：平面；
(2)若为钝角，且二面角的大小为45°，求.
18．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为：，定点，B是圆C上任意一点，线段BF的垂直平分线l和半径BC相交于点T.
(1)求点T的轨迹W的方程；
(2)已知点，过点F的一条直线，斜率不为0，交曲线W于P、Q两点，直线AP，AQ分别与直线交于M，N两点，求证：直线FM与直线FN的斜率之积为常数.
19．一般地，任何一个复数（a，）可以写成，其中r是复数的模，是以x轴非负半轴为始边，射线OZ为终边的角，称为复数的辅角.我们规定在范围内的辅角称为辅角主值，通常记作argz，如，，.发现，就是说两个复数相乘，积的模等于各复数模的积，积的辅角等于各复数辅角的和.考虑如下操作：从写有实数0，1，的三张卡片中随机抽取两张，将卡片上的两个数依次作为一个复数的实部和虚部.设n为正整数，重复n次上述操作，可得到n个复数，将它们的乘积记为.
(1)写出一次操作后所有可能的复数；
(2)当，记的取值为X，求X的分布列；
(3)求为实数的概率.
1．D
【解析】略
2．A
【解析】略
3．B
【解析】略
4．C
【解析】略
5．A
【解析】略
6．C
【解析】略
7．B
【解析】略
8．D
【详解】，故选D
9．BD
【解析】略
10．BCD
【解析】略
11．ABC
【详解】即：，故A正确；
由得：
故，当，时取到最小值是2，故B正确；
周长
设，则
故周长的最大值是，C正确；
设AB的方程是：与联立得：
解得：（舍去）或，折后故D错误.
12．
【分析】根据双曲线渐近线方程的求法求得正确答案.
【详解】由得，即，焦点在轴上，所以渐近线方程为.
故答案为：
13．
【解析】略
14．
【详解】标有数字的4只球排序共有种情况.
要摸到标有数字最大的球，有以下两种情况：
①标有数字最大的球第3次摸到，其他的小球随意在哪个位置，有种情况.
②标有数字最大的球第4次摸到，标有数字第二大的球在第1次或第2次被摸出，其他的球在哪次摸出任意，有种情况.故所求概率为.
15．(1)
(2)
【详解】解：（1）
即


（2），
由正弦定理可知：
16．(1)
(2)答案见解析
【详解】解：（1），
在点处的切线与直线垂直， .
（2）
当，即时，，在上单调递增；
当，即或时，关于x的方程有两个同号的根.
当时，关于x的方程有两个负根，在上单调递增；
当时，关于x的方程有两个正根，，，
在，上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增在上单调递减
17．(1)证明见解析
(2)
【详解】解：（1）在平面ABC内取点O，过O作于M，过O作于N.
平面平面ABC，平面平面，
平面PAC，又平面PAC，.同理可证
又，平面ABC
（2）法一：过点B作于点H，过H作于点Q，连接BQ
平面ABC，平面ABC，，又，
平面PAC，则为二面角的平面角，即
设，，则，，，或（舍去），综上
解：（1）同上
（2）法二：如图，以C为坐标原点建立空间直角坐标系，设，
则，，，，易知，面PAC的法向量，
设面PAB的法向量为，则
则，或（舍），
综上.
18．(1)
(2)证明见解析
【详解】解：（1）由题意：点T在线段BF的垂直平分线上，则，可得.由椭圆定义可得，点T的轨迹是以，为焦点的椭圆，且椭圆长轴长为，焦距为，所以点T的轨迹W的方程为
（2）由（1）知，，设直线，，，
联立消去x，整理得，则
，
根据题意可设，，则由，
可得，同理可得，
所以直线FM与直线FN的斜率之积，
.
所以直线FM与直线FN的斜率之积为定值
19．(1)1，i，，，，
(2)答案见解析
(3)
【详解】解：（1）一次操作后可能的复数为：1，i，，，，，
（2）一次操作后复数的模所有可能的取值为是：1，1，，，2，2
由，故X的取值为1，，2，3，，4
，，.
，，，
所以X的分布列为
（3）若为实数，则或.
而1，i，，，，的辅角主值分别是0，，0，，，，
设在n次操作中，得到i，的次数为，得到的次数为，得到的次数为
于是，
从而，即
因此，所有的概率即为是3的倍数的概率，下面研究与之间的关系.
（ⅰ）是3的倍数，且第次操作得到的复数是1，i，，（概率为）；
（ⅱ）被3除余1，且第次操作得到的复数是（概率为）；
（ⅲ）被3除余2，且第次操作得到的复数是（概率为）；
因此由全概率公式可以得到：
变形得，其中，故
X
1
2
3
4
P