全国通用 中考数学 二次函数压轴题专题练习 14相似三角形存在性问题（含答案解析版）

这是一份全国通用 中考数学 二次函数压轴题专题练习 14相似三角形存在性问题（含答案解析版），共41页。
判定2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形是相似三角形；
判定3：有两组角对应相等的三角形是相似三角形．
以上也是坐标系中相似三角形存在性问题的方法来源，根据题目给的已知条件选择恰当的判定方法，解决问题．
1.（2024春•渠县校级月考）如图，一次函数与x轴、y轴分别交于A、C两点，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A、C两点，与x轴交于另一点B，其对称轴为直线
（1）求该二次函数表达式；
（2）在y轴的负半轴上是否存在一点M，使以点M、O、B为顶点的三角形与△AOC相似，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
【解答】解：（1）对于，当x＝0时，y＝﹣2，即点C（0，﹣2），
令，则x＝﹣4，即点A（﹣4，0）．
∵抛物线的对称轴为直线，则点B（1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣4，0），
设二次函数表达式为：y＝a（x﹣1）（x+4）＝a（x2+3x﹣4），
∵抛物线过点C（0，﹣2），
则﹣4a＝﹣2，
解得：，
故抛物线的表达式为：；
（2）存在，
理由：在Rt△AOC中，AO＝4，CO＝2，则，
∵以点M、O、B为顶点的三角形与△AOC相似，∠AOC＝∠MOB＝90°，
∴∠MBO＝∠CAO或∠MBO＝∠ACO，
∴或tan∠MBO＝tan∠ACO＝2，
即或，
解得：或2，
∵点M在y轴的负半轴上，
即点M（0，﹣2）或；
2．（2023秋•大丰区月考）如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣4，0）和点B，与y轴相交于点C（0，4）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）点D在线段OA上运动，过点D作x轴的垂线，与AC交于点Q，与抛物线交于点P．探究是否存在点P使得以点P，C，Q为顶点的三角形与△ADQ相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c过A（﹣4，0）与点C（0，4），
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣3x+4；
（2）存在，
当△ADQ∽△CPQ时；
则∠PCQ＝∠DAQ，∠CPQ＝∠ADQ＝90°；
∵OA＝OC＝4，
∴∠DAO＝∠ACO＝45°，
∴∠PCQ＝∠DAQ＝45°，
∴∠PCQ＝∠PQC＝45°，
∴PQ＝PC，
即﹣m2﹣4m＝﹣m，
解得：m＝﹣3，m＝0（舍去），
此时P（﹣3，4）；
当△ADQ∽△PCQ时，如图，
则∠PCQ＝∠ADQ＝90°，∠QPC＝∠QAD＝45°，
则有∠PQC＝∠QPC＝45°，
∴PC＝QC；
过点C作CE⊥PQ于E，则PQ＝2CE，
∵CE＝﹣m，
∴﹣m2﹣4m＝﹣2m，
解得：m＝﹣2，m＝0（舍去），
此时P（﹣2，6）；
综上，P（﹣3，4）或P（﹣2，6）．
3．（2024秋•仓山区校级月考）如图，二次函数y＝ax2+bx﹣4的图象与x轴交于A，B两点，且经过点C，点A，C的坐标分别为A（﹣1，0），C（2，﹣6）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）点G是线段AC上的动点（点G与线段AC的端点不重合），若△ABG与△ABC相似，求点G的坐标．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），C（2，﹣6）代入y＝ax2+bx﹣4
得：，
解得：，
∴解析式为：y＝x2﹣3x﹣4；
（2）对于y＝x2﹣3x﹣4，令y＝0时，即x2﹣3x﹣4＝0，
解得：x＝4或﹣1，
∴B（4，0），
∴AB＝5，
由点A、C的坐标得，直线AC的函数解析式为y＝﹣2x﹣2．
设点G的坐标为（k，﹣2k﹣2）．
∵点G与点C不重合，
∴△ABG与△ABC相似只有△AGB∽△ABC这一种情况．
由△AGB∽△ABC，得．
∵AB＝5，，
，
∴，
解得：或（舍去），
∴点G的坐标为．
4．（2023秋•开福区校级月考）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+3交x轴负、正半轴于A，B两点，交y轴于点C，连接AC，tan∠OAC＝3，△ABC的外接圆的圆心为M．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）在AC段的抛物线上是否存在一点P，使，若存在请求出点P坐标，若不存在，说明理由；
（3）圆上是否存在Q点，使△AOC与△BQC相似？若存在，直接写出点Q坐标；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+3交y轴于点C，
∴C（0，3），
∴OC＝3，
∵，
∴OA＝1，
∴A（﹣1，0），
代入抛物线解析式y＝﹣x2+bx+3得：
0＝﹣1﹣b+3，
解得b＝2，
∴该二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）在AC段的抛物线上存在一点P，使；理由如下：
令y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣3）（x+1）＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴B（3，0），
设P（x，﹣x2+2x+3），
∵点P在AC段的抛物线上，
∴﹣1≤x≤0，
如图1，过P作PL⊥x轴于L，
则：S△BCP＝S△BOC+S梯形PLOC﹣S△PLB
＝
＝，
∴，x2﹣3x＝1，
解得，或（舍去），
∴点P纵坐标为：，
∴点P坐标为；
（3）圆上存在Q点，使△AOC与△BQC相似；理由如下：
如图2，
由（1）可知：B（3，0），
∵C（0，3），
∴，
∵AB的垂直平分线是抛物线的对称轴x＝1，
∴点M的横坐标是1，
∵△AOC是直角三角形，△AOC与△BQC相似，
∴△BQC是直角三角形，
∵BC不是直径，
∴点Q是⊙M的直径的一个端点，
①当∠BCQ是直角，则BQ是直径，
∴CQ⊥BC，
∵△AOC∽△QCB，
∴，即，
∴，，
∴，
设点M（1，t），
∴，
解得，t＝1或﹣1（舍去），
∴M（1，1），
∵B（3，0），
设点Q（m，n），
∵点M是BQ的中点，
∴，
解得：，
∴Q（﹣1，2）；
②当∠BQC＝90°时，则CQ是直径，
设Q（m，n），
∵点M是CQ的中点，
∴，
解得：，
∴Q（2，﹣1）；
综上，满足条件的Q（﹣1，2）或Q（2，﹣1）．
5．（2024•内蒙古）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点和点A（4，0）．经过点A的直线与该二次函数图象交于点B（1，3），与y轴交于点C．
（1）求二次函数的解析式及点C的坐标；
（2）点P是二次函数图象上的一个动点，当点P在直线AB上方时，过点P作PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，设点P的横坐标为m．
①m为何值时线段PD的长度最大，并求出最大值；
②是否存在点P，使得△BPD与△AOC相似．若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛二次函数经过O（0，0），A（4，0），B（1，3），
∴将三点坐标代入解析式得，
解得：a＝﹣1，b＝4，c＝0，
∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2+4x；
∵直线经过A、B两点，设直线AB解析式为：y＝kx+n，
∴将A、B两点代入得，
解得：k＝﹣1，n＝4，
∴直线AB解析式为：y＝﹣x+4，
∵点C是直线与y轴交点，
∴令x＝0，则y＝4，
∴C（0，4）．
（2）①∵点P在直线AB上方，
∴0≤m≤4，
由题知P（m，﹣m2+4m），D（m，﹣m+4），
∴PD＝yP﹣yD＝﹣m2+4m+m﹣4＝﹣m2+5m﹣4＝﹣（m﹣）+，
∵﹣1＜0
∴当m＝时，PD＝是最大值．
②存在，理由如下：
∵∠PDB＝∠ADE，∠ADE＝∠ACO，
∴∠BDP＝∠ACO，
∵△AOC是直角三角形，
∴要使△BPD与△AOC相似，只有保证△BPD是直角三角形就可以．
（Ⅰ）当△BPD∽△AOC时，
∵∠AOC＝90°，
∴∠BPD＝90°，
此时BP∥x轴，B、P关于对称轴对称，
∴P（3，3）；
（Ⅱ）法一：当△PBD∽△AOC时，
∴∠PBD＝∠AOC＝90°，
∵OC＝OA＝4，
∴∠BDP＝∠ADE＝∠OAC＝45°，
∴△BDE为等腰直角三角形，
∴PD＝BD，
由①知PD＝﹣m2+5m﹣4，
∵B（1，3），D（m，﹣m+4），
∴BD＝＝（m﹣1），
∵PD＝BD，
∴﹣m2+5m﹣4＝2（m﹣1），
解得m1＝2，m2＝1（舍），
∴P（2，4）．
法二：当△PBD∽△AOC时，
∴∠PBD＝∠AOC＝90°，
过B作GH∥y轴，作PG⊥GH，作DH⊥GH，
则易证△PGB∽△BHD，
∴，
∵PG＝m﹣1，BG＝﹣m2+4m﹣3，BH＝m﹣1，DH＝m﹣1，
∴，
解得m1＝2，m2＝1（舍），
∴P（2，4）．
法三：当△PBD∽△AOC时，
∴∠PBD＝∠AOC＝90°，
∴AB⊥PB，
∵kAC＝﹣1，
∴kBP＝1，
∴直线BP的解析式为：y＝x+2，
联立方程组得，
解得：或，
∴P（2，4）
综上，存在点P使△BPD与△AOC相似，此时P的坐标为（3，3）或（2，4）．
6．（2024•南皮县三模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝ax+b1与x轴交于点B（﹣2，0），与y轴交于点C（0，2），二次函数y＝﹣x2+b2x+c的图象过B、C两点，且与x轴交于另一点A，点M为线段OB上的一个动点，过点M作直线l平行于y轴交BC于点F，交二次函数y＝﹣x2+b2x+c的图象于点E．
（1）求一次函数及二次函数的表达式；
（2）求△ABC的面积；
（3）当以点C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似时，求线段EF的长度．
【解答】解：（1）∵直线y＝ax+b1与x轴交于点B（﹣2，0），与y轴交于点C（0，2），
∴，
解得，
∴一次函数的表达式为y＝x+2；
把B（﹣2，0），C（0，2）代入y＝﹣x2+b2x+c，
得，
解得，
∴二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣x+2；
（2）在y＝﹣x2﹣x+2中，令y＝0，得x＝﹣2或x＝1，
∴A（1，0），
∴AB＝3，OC＝2，
∴．
（3）如图，连接CE，
∵B（﹣2，0），C（0，2），
∴OB＝OC，AB＝3，，
∴∠ABC＝∠MFB＝∠CFE＝45°，
∴以C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，B和F为对应点，
设E（n，﹣n2﹣n+2），则F（n，n+2），
∴EF＝（﹣n2﹣n+2）﹣（n+2）＝﹣n2﹣2n，，
①当△ABC∽△CFE 时，，
∴，
∴或n＝0（舍去），
∴；
②当△ABC∽△EFC时，，
∴，
解得或n＝0（舍去），
∴，
综上所述，或．
7．（2024•阎良区校级二模）如图，二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接AC，P为第一象限内抛物线上一点，过点P作PD⊥x轴于点D，连接PA，是否存在一点P，使得△PDA与△COA相似，若存在，请求出满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），
∴OA＝1，
∵OB＝3OA，OC＝OB，
∴OB＝OC＝3，
∴B（3，0），C（0，3），
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象经过点A，B，C，
∴
解得，
∴该二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）设P（m，﹣m2+2m+3），
∵PD⊥x轴，P为第一象限内抛物线上一点，
∴m＞0，OD＝m，PD＝﹣m2+2m+3，
∴AD＝OA+OD＝m+1，
∵△PDA与△COA相似，
∴或，
∴或，
解得m1＝0，m2＝﹣1或m3＝﹣1，，
∵m＞0，
∴，
∴△PDA与△COA相似，满足条件的P点坐标为．
8．（2024•涟水县模拟）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A（，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）作直线x＝t（0＜t＜4），分别交x轴、线段BC、抛物线于D、E、F三点，连接CF，若以B、D、E为顶点的三角形与以C、E、F为顶点的三角形相似，求t的值；
（3）点M为y轴负半轴上一点，且OM＝2，将抛物线沿x轴的负方向平移得到新抛物线，点B的对应点为点B'，点C的对应点为点C′，C′B与CB′交于点N．在抛物线平移过程中，当MB′+MC′的值最小时，试求△B′NC′的面积．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A（，0）、B（4，0）两点，
∴，
解得，
∴这个二次函数的表达式为y＝﹣x2+x+2；
（2）以B、D、E为顶点的三角形与以C、E、F为顶点的三角形相似，则存在∠CFE或∠FCE为直角，
当∠CFE＝90°时，
则点C、F关于抛物线的对称轴对称，
∵抛物线y＝﹣x2+x+2的对称轴为直线x＝，
∴点F（，2），
则t＝；
当∠FCE＝90°时，
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+2，
则直线CF的表达式为：y＝2x+2，
联立上式和抛物线的表达式得：2x+2＝x2+x+2，
解得：x＝0（舍去）或x＝﹣（舍去），
综上，t＝；
（3）设抛物线沿x轴的负方向平移m个单位长度得到新抛物线，
将点M向右平移m个单位长度得到点M'，作出图形如下：
由平移的性质可知，MC'＝M'C，MB'＝M'B，
∴MC'+MB'的值最小就是M'C+M'B最小值，
显然点M'在直线y＝﹣2上运动，
作出点B关于直线y＝﹣2对称的对称点B″，连接CB″交直线y＝﹣2于点M'，连接M'B，则此时M'C+M'B取得最小值，
∵点B关于直线y＝﹣2对称的对称的点是点B″，C（4，0），
∴B″（4，﹣4），
设直线CB″的解析式是：y＝k1x+b1，
将点C（0，2），B″（4，﹣4）代入得，
解得，
∴直线CB″的解析式是：y＝﹣x+2，
令y＝﹣x+2＝﹣2，解得：x＝，
∴M'＝（，﹣2），
∴平移的距离是m＝，
∴BB′＝，
∵四边形BB′C′C是平行四边形，C′B与CB′交于点N，
∴△B′NC′的面积＝四边形BB′C′C的面积＝××2＝．
9．（2024•工业园区校级二模）已知，关于x的二次函数y＝ax2+2ax﹣3a（a＞0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，图象顶点为D，连接AC、BC、CD．
（1）请直接写出点A、B、C、D的坐标（用数字或含a的式子表示）：
A （﹣3，0） ；B （1，0） ；C （0，﹣3a） ；D （﹣1，﹣4a） ；
（2）作出点C关于对称轴的对称点E，连接AE、CE、DE，若△ACE和△DCE相似，求a的值；
（3）若∠ACB≥90°，直接写出a的取值范围．
【解答】解：（1）把x＝0代入y＝ax2+2ax﹣3a得，y＝﹣3a，
∴C（0，﹣3a），
把y＝0代入y＝ax2+2ax﹣3a得，ax2+2ax﹣3a＝0，
∵a＞0，
∴x2+2x﹣3＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝1，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
∴抛物线的对称轴为直线，
把x＝﹣1代入y＝ax2+2ax﹣3a得，y＝a﹣2a﹣3a＝﹣4a，
∴顶点为D（﹣1，﹣4a），
故答案为：（﹣3，0）；（1，0）；（0，﹣3a）；（﹣1，﹣4a）；
（2）如图1，∵点C、E关于对称轴x＝﹣1对称，C（0，﹣3a），点D在对称轴上，
∴E（﹣2，﹣3a），DC＝DE，
∴CE＝2，
∵△ACE和△DCE相似，
∴AE＝CE，
∴，
整理得，3a2＝1，
解得或（不合，舍去），
∴；
（3）设抛物线的对称轴x＝﹣1与x轴的交点为点F，以点F为圆心，2为半径画圆，连接FC，如图2，
当点C在⊙F上或⊙F内时，∠ACB≥90°，
∴FC≤2，
即，
解得，
又∵a＞0，
∴．
10．（2024•岱岳区二模）如图①，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y的正半轴交于点C，连结BC，二次函数的对称轴与x轴交于点E，且OC＝3OE．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）如图②Q（t，0）是x的正半轴上一点，过点Q作y轴的平行线，与直线BC交于点M，与抛物线交于点N，若以点C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形，求出Q点的坐标；
（3）若N点在直线BC的上方，连结CN，①若△MCN与△BQM相似，请求出点Q的坐标；
②将△CMN沿CN翻折，M的对应点为M'，是否存在点Q，使得M'恰好落在y轴正半轴上？若存在，请直接写出Q的坐标．
【解答】解：（1）抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）对称轴为直线x＝﹣＝1，二次函数的对称轴与x轴交于点E，
E（1，0），即OE＝1，
则OC＝3OE＝3，即点C（0，3），
即﹣3a＝3，
解得a＝﹣1，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）令y＝0代入y＝﹣x2+2x+3得x1＝﹣1，x2＝3
∴A（﹣1，0），B（3，0）
设直线BC表达式为y＝kx+b，
分别把B（3，0）和C（0，3）代入得，
解得，
∴y＝﹣x+3．
∵Q（t，0），MN∥y轴，
∴点M，点N的横坐标都为t，
∵点M在直线BC上，点N在抛物线上，
∴M（t，﹣t+3），N（t，﹣t2+2t+3），
如图，当ON，CM为对角线时，
∵MN∥CO，当MN＝CO时，OMNC是平行四边形，
∴（﹣t2+2t+3）﹣（﹣t+3）＝3，
即t2﹣3t+3＝0，
∵Δ＝（﹣3）2﹣4×3×1＜0，
∴t无解，此时，不存在点Q使得点C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形；
如图，当CN，OM对角线时，
同理得：当MN＝CO时，ONMC是平行四边形，
∴（﹣t+3）﹣（﹣t2+2t+3）＝3，
即t2﹣3t﹣3＝0，
解得或（舍去），
∴，
综上，当时，ONMC是平行四边形．
（3）①由（2）知C（0，3），B（3，0），Q（t，0），M（t，﹣t+3），N（t，﹣t2+2t+3），
∴MQ＝﹣t+3，MN＝（﹣t2+2t+3）﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，BQ＝3﹣t，
∵∠NMC＝∠QMB∴，
若△MCN 与△BQM相似，则∠CNM＝∠BQM＝90°或∠NCM＝∠BQM＝90°，
∴分两种情况讨论：如图，∠CNM＝∠BQM＝90°时，
∴CN＝t，
∴，
∴，
解得t1＝2，t2＝0（舍去），
∴点Q的坐标为（2，0），
②如图，∠NCM＝∠BQM＝90°，
∴，
∵在Rt△BOC中，BO＝3，CO＝3，
∴BC＝CO，∠OBC＝∠OCB＝45°，，
∵QN∥OC，
在Rt△BQM中，，
∴，
∴，
解得t1＝1，t2＝0（舍去），
∴点Q的坐标为（1，0），
综上所述，点Q的坐标为（1，0）或（2，0）；
②解：∵点N在直线BC上方时，如图，
∵MN∥y轴，
∴∠2＝∠3，
由折叠可得∠1＝∠3，
∴∠1＝∠2，
∴M′C＝MN，
∴MC＝MN，
∵MN＝﹣t2+3t，，
∴，
解得，t2＝0（舍去），
∴点Q的坐标为．
11．（2024•思明区校级二模）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A和B（3，0）两点，与y轴交于C（0，﹣2），对称轴为直线，连接BC，在线段BC上有一动点P，过点P作y轴的平行线交二次函数的图象于点N，交x轴于点M，
（1）求抛物线的函数解析式：
（2）请你从以下三个选项中，任选一个为条件，另一个作结论，组成一个真命题，并证明．
①P的横坐标为；②△PCN与△BPM相似；③
（3）若动点P横坐标记为t，△CBN的面积记为S1，△CBM的面积记为S2，且S＝S1﹣S2，写出S与t的函数关系，并判断S是否有最大值，若有请求出；若没有请说明理由．
【解答】解：（1）∵已知二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，
二次函数的图象与x轴交于A和B（3，0）两点，与y轴交于C（0，﹣2），将点B（3，0），C（0，﹣2）代入得：
∴，
解得：，
∴抛物线的函数解析式为；
（2）条件：P的横坐标为，结论：△PCN与△BPM相似．
证明：∵过点P作y轴的平行线交二次函数的图象于点N，交x轴于点M，且点P的横坐标为，
∴点N的横坐标为，
∵点N在抛物线上；
∴当时，得：，
∴，
∵C（0，﹣2），
∴CN∥x轴，
∴∠PCN＝∠PBM，∠PNC＝∠PMB，
∴△PCN∽△PBM，
即△PCN与△BPM相似；
（3）若动点P横坐标记为t，△CBN的面积记为S1，△CBM的面积记为S2，且S＝S1﹣S2，
设直线BC的解析式为y＝kBCx+bBC，过点B（3，0），C（0，﹣2），
∴，
解得：，
∴直线BC的解析式为，
设点P横坐标记为t（0≤t≤3），
∵过点P作y轴的平行线交二次函数的图象于点N，交x轴于点M，
∴，，M（t，0），
∴，
设xB，xC分别为点B（3，0），C（0，﹣2）的横坐标，
∴△CBN的面积：，△CBM的面积：，
∴，
∵﹣2≤0，
∴当时，S有最大值，最大值为，
∴S与t的函数关系为S＝﹣2t2+7t﹣3，当时，S有最大值，最大值为．
12．（2024春•赣榆区校级月考）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，已知OB＝3OA，OC＝OB．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）点M为抛物线对称轴上一动点，是否存在点M使得|BM﹣CM|有最大值，若存在，请直接写出其最大值及此时点M坐标，若不存在，请说明理由．
（3）连接AC，P为第一象限内抛物线上一点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，连接PA，若△PDA与△COA相似，请求出满足条件的P点坐标：若没有满足条件的P点，请说明理由．
【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），
∴OA＝1，
∵OB＝3OA，OC＝OB，
∴OB＝OC＝3．
∴B（3，0），C（0，3），
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象经过点A，B，C，
∴，
解得：，
∴该二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线对称轴为直线x＝1，
延长AC交对称轴于点M，此时|BM﹣CM|＝|AM﹣CM|＝AC有最大值，
∵A（﹣1，0），C（0，3），
∴，
设直线AC的解析式为y＝mx+3，代入A（﹣1，0）得0＝﹣m+3，
解得m＝3，
∴直线AC的解析式为y＝3x+3，
∴当x＝1时，y＝3+3＝6，
∴点M坐标为（1，6）；
答：|BM﹣CM|的最大值为，点M坐标为（1，6）；
（3）设P（m，﹣m2+2m+3），
∵PD⊥x轴，P为第一象限内抛物线上一点，
∴m＞0，OD＝m，P D＝﹣m2+2 m+3，
∴AD＝OA+OD＝m+1，
∵△PDA与△COA相似，
∴或，
∴或．
解得：m1＝0，m2＝﹣1或m3＝﹣1，．
∵m＞0，
∴．
∴△PDA与△COA相似，满足条件的P点坐标为．
13．（2024•邹城市二模）如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点P是直线BC上方抛物线上的一个动点，连接BC，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求PQ的最大值；
（3）连接CP，抛物线上是否存在点P，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△BOC相似？如果存在，请求出点P坐标；如果不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）设抛物线为y＝ax2+bx+3，
把A，B代入y＝ax2+bx+3中得
：，
∴，
∴；
（2）如图，过P作PT⊥x轴于T，交BC于R，
∵B（4，0），C（0，3），
∴，，
设直线BC为y＝kx+3，
∴4k+3＝0，解得：，
∴BC为，
∵∠PQR＝∠BTR＝90°，∠PRQ＝∠BRT，
∴∠QPR＝∠OBC，
∴，
∴，
设，则，
∴，
当PR最大，则PQ最大，
当时，PR最大值为，
∴PQ的最大值为：．
（3）如图，∵PQ⊥BC，
∴∠PQC＝∠BOC＝90°，
∵以C、P、Q为顶点的三角形与△BOC相似，
∴分两种情况讨论：①△PQC∽△COB，②△PQC∽△BOC，
当△PQC∽△COB，
∴∠PCQ＝∠CBO，
∴CP∥x轴，
∴yP＝3＝yC，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴P（3，3）；
当△PQC∽△BOC时，如图，则∠PCQ＝∠BCO，
由（2）得：PR∥y轴，
∴∠BCO＝∠PRQ，
∴∠PCQ＝∠PRQ，
∴PC＝PR，
∵由（2）得：，，
∴，
解得：（不符合题意的根舍去）
∴，
∴．
综上：P（3，3）或．
14．（2024•科尔沁区模拟）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C，点P是抛物线上点A与点C之间的动点（不包括点A，点C）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）如图1，连结PA，PC，求△PAC的面积的最大值；
（3）如图2，过点P作x轴的垂线交于点D，与AC交于点Q．探究是否存在点P，使得以点P、C、Q为顶点的三角形与△ADQ相似？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）把A（﹣3，0）、B（1，0）代入y＝ax2+bx+3得：
，
解得：，
∴该二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）设直线AC的解析式为y＝kx+m，把A（﹣3，0）、C（0，3）代入得：
，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝x+3，
过点P作PN⊥x轴交直线AC于点N，如图1，
设P（t，﹣t2﹣2t+3），则N（t，t+3），
∴PN＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t，
∴S△ACP＝S△APN+S△CPN＝×3×PN＝PN＝（﹣t2﹣3t）＝﹣+，
∴当t＝﹣时，S△ACP有最大值，最大值为；
（3）当△CPQ∽△ADQ时，如图2，连接AP，
∴∠CPQ＝∠ADQ＝90°，
∴CP∥x轴，
∴点P的纵坐标为3，
∴3＝﹣x2﹣2x+3，
解得：x1＝0（舍去），x2＝﹣2，
∴P（﹣2，3）；
当△PCQ∽△ADQ时，如图3，过点C作CM⊥PD于M，
∴∠PCQ＝∠ADQ＝90°，
∴C（0，3），A（﹣3，0），PD⊥x轴，
∴OC＝OA＝3，∠OAC＝45°，
∴∠CQP＝∠CPQ＝45°，
∵PC＝QC，
∵PQ＝2CM，
由（2）得PQ＝﹣t2﹣3t，CM＝﹣t，
∴﹣t2﹣3t＝﹣2t，
解得：x1＝0（舍去），x2＝﹣1，
∴P（﹣1，4），
综上，点P的坐标为（﹣2，3）或 （﹣1，4）．
15．（2024春•游仙区月考）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c（b＞0）的图象与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，4），二次函数的最大值为，P为直线BC上方抛物线上的一动点．
（1）求抛物线和直线BC的解析式；
（2）如图1，过点P作PD⊥BC，垂足为D，连接CP．是否存在点P，使以点C，D，P为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点Q也是直线BC上方抛物线上的一动点（点Q在点P的左侧），分别过点P，Q作y轴的平行线，分别交直线BC于点M，N，连接PQ．若四边形PQNM是平行四边形，且周长l最大时，求l的最大值及相应的点P的横坐标．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+c（b＞0）的图象与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，4），二次函数的最大值为，
∴c＝4，，OC＝4，
∴b＝3，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4，
当y＝0时，得：﹣x2+3x+4＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝4，
∴A（﹣1，0），B（4，0），
∴OA＝1，OB＝4，
设直线BC的解析式为y＝k1x+b1，过点B（4，0），C（0，4），
∴，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4，直线BC的解析式为y＝﹣x+4；
（2）如图，过O作OG⊥BC于点G，过点P作PK⊥x轴于点K，过点D作DH⊥y轴于点H，延长HD交PK于点E，延长DP交y轴于点L，
∴∠EHO＝∠EKO＝∠HOK＝90°，
∴四边形HOKE是矩形，
∴∠PED＝∠HEK＝90°，HE＝OK，
∵OB＝OC＝4，∠BOC＝90°，OG⊥BC，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，点G为AB的中点，
∵B（4，0），C（0，4），
∴点G的坐标为，即（2，2），
设直线OG的解析式为y＝kOGx，
∴2＝2kOG，得：kOG＝1，
∴直线OG的解析式为y＝x，
∵OG⊥BC，PD⊥BC，
∴OG∥PD，∠PDB＝∠PDC＝∠CDL＝90°，
设直线PD的解析式为y＝x+bPD，
∵DH⊥y轴，
∴DH∥x轴，∠CHD＝90°，
∴∠HDC＝∠OBC＝45°，∠PDE＝180°﹣∠HDC﹣∠PDC＝180°﹣45°﹣90°＝45°，
设P（m，﹣m2+3m+4），则HE＝OK＝m，
①当△PDC∽△AOC时，
则，
设PD＝a，则CD＝4a，
在Rt△HCD中，∠HDC＝45°，
则，
在Rt△EPD中，∠PDE＝45°，
则，
∴，
∴，
在Rt△DCL中，∠DCL＝45°，
则，
∴，
∴，
∵直线PD的解析式为y＝x+bPD，
∴，
∴直线PD的解析式为，
∵点P（m，﹣m2+3m+4）在直线PD上，
∴，
解得：，
∴；
②当△CDP∽△AOC时，
则，
设CD＝a，则PD＝4a，
在Rt△HCD中，∠HDC＝45°，
则，
在Rt△EPD中，∠PDE＝45°，
则，
∴，
∴，
在Rt△DCL中，∠DCL＝45°，
则，
∴，
∴，
∵直线PD的解析式为y＝x+bPD，
∴，
∴直线PD的解析式为，
∵点P（m，﹣m2+3m+4）在直线PD上，
∴，
解得：，
∴；
综上所述，点P的坐标为或时，以点C，D，P为顶点的三角形与△AOC相似；
（3）过点M作MF⊥QF，交QN的延长线于点F，
∵PM∥y轴，PN∥y轴，
∴MF⊥y轴，
∴MF∥x轴，
∴∠NMF＝∠CBO＝45°，
∵四边形PQNM是平行四边形，
∴PM＝QN，PQ＝MN，PQ∥MN，
设PM＝QN＝n，
即线段MN向上平移n个单位得到线段PQ，
设直线PQ的解析式为y＝﹣x+4+n，
联立方程组，
∴x2﹣4x+n＝0，
则方程x2﹣4x+n＝0的根即为点P、Q的横坐标，分别设为xP，xQ（xP＞xQ），
∴xP+xQ＝4，xP•xQ＝n，
∴，
∴，
∴，
在Rt△FMN中，∠NMF＝45°，
则，
∴平行四边形PQNM的周长：
l＝2（MN+PM）
＝
＝
＝
＝
＝，
当时，l取得最大值，最大值为12，
此时n＝2，
∴x2﹣4x+2＝0，
解得：，，
∴点P的横坐标为，
∴l的最大值为12，相应的点P的横坐标．
16．（2024•金坛区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2+bx+4的图象与x轴正半轴交于点A、B，与y轴交于点C，OC＝4OA，点P是线段BC上一点（不与点B、C重合），过点P作PQ⊥x轴，交抛物线于点Q，连接OQ，四边形OCPQ是平行四边形．
（1）填空：b＝ ﹣5 ；
（2）求四边形OCPQ的面积；
（3）若点D是OC的中点，连接AD、AC．点E（5，4）是抛物线上一点，F是直线QE上一点，连接BE、BF．若△BEF与△ADC相似，求点F的坐标．
【解答】解：（1）∵OC＝4OA＝4，
则OA＝1，则点A（1，0），
将点A的坐标代入抛物线表达式得：1+b+4＝0，
解得：b＝﹣5，
故答案为：﹣5；
（2）如图1，过点P作PR⊥y轴于R．
∵y＝x2﹣5x+4＝（x﹣1）（x﹣4）
∴B（4，0）．
∵C（0，4），
∴直线BC的函数表达式是 y＝﹣x+4，
∵四边形OCQP是平行四边形，
∴PQ∥OC且 PQ＝OC．
设点P（m，﹣m+4），
则点Q（m，m2﹣5m+4），
∴PQ＝﹣m＝m2+5m＝﹣m2+4m，
∴﹣m2+4m＝4．
∴m1＝m2＝2，
∴PR＝2．
∴四边形OCPQ的面积＝OC×PR＝4×2＝8；
（3）如图2，过点E作ET⊥x轴于T，过点F作FG⊥ET于G．
则ET＝4．
∵Q（2，﹣2），E（5，4），
∴直线EQ的函数表达式是y＝2x﹣6．
∴直线EQ与x轴的交点H（3，0）．
∴HT＝2．
∴，
∵OA＝1，OD＝2，
∴，
∴∠HET＝∠ADO．
∵，
∴∠ACD＝∠BET．
∴∠CAD＝∠BEH．
当△BEF∽△CAD 时，即，
∵，
∴．
∴FG＝1，EG＝2．
∴F（4，2）；
当△BEF∽△DAC时，则，
∵，
则，
则，
∴，
综上所述，点F的坐标是（4，2）或 ．