2025届湖南省邵阳市武冈市高三(上)期中数学试卷(解析版)

这是一份2025届湖南省邵阳市武冈市高三(上)期中数学试卷(解析版)，共15页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 设集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为，所以，
即，
因为，解得，所以，
所以，.
故选：D.
2. 复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】因为
，
所以复数在复平面内对应的点为，位于第二象限.
故选：B.
3. 已知则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】依题意，
由，得，则，，
所以.
故选：D
4. 若向量满足，则（ ）
A. B. C. 2D. 3
【答案】A
【解析】因为向量，满足，，，
所以，即，
所以，则．
故选：A．
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，
所以
.
故选：C
6. 已知在四边形中，，，，则的长为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】在中，由，且，可得，
由正弦定理得，所以，
在中，由余弦定理得，
所以．
故选：D.
7. 已知函数在上有且仅有4个零点，直线为函数图象的一条对称轴，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，且，则，
由题意可得：，解得，
又因为直线为函数图象的一条对称轴，
则，解得，
可知，即，
所以.
故选：C.
8. 已知四面体的各个面均为全等的等腰三角形，且.设为空间内一点，且五点在同一个球面上，若，则点的轨迹长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】将四面体放入长方体中，设长方体的相邻三条棱长分别为，，，
依题意，可知，，

则，，，解得，，
由于，即异面直线和的距离为，
由于长方体的左右侧面为正方形，所以，
取中点，连接，则左侧面，在左侧面，所以，
又平面，故平面，
四面体外接球半径为，球心为，
由，知点的轨迹为一个圆，设轨迹圆的半径为，圆心为，
过作球的一个轴截面，
所以，且，
，且，
解得，
所以的轨迹长度为．
故选：D．
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9 若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】对A、B：∵，则，
∴，即，，A、B正确；
对C∵，例如，则，显然不满足，C错误；
对D：∵，则，∴，D正确.
故选：ABD.
10. 如图，在边长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱B1C1，C1D1的中点，P是正方形A1B1C1D1内的动点，则下列结论正确的是（ ）
A. 若DP∥平面CEF，则点P的轨迹长度为
B. 若AP=，则点P的轨迹长度为
C. 若AP=，则直线AP与平面CEF所成角的正弦值的最小值是
D. 若Р是棱A1B1的中点，则三棱锥的外接球的表面积是
【答案】ACD
【解析】分别取棱，的中点M，N，连接，
易证，，
平面，平面，所以平面，
且平面，平面，所以平面，
又平面，则平面平面，
因为平面，且P是正方形内的动点，
所以点Р的轨迹是线段.
因为，所以，因为，所以，
故A正确.
因为，所以点P的轨迹是以为圆心，1为半径的个圆，
则点Р的轨迹长度为，则B错误.
以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，
建立如图1所示的空间直角坐标系.
由题中数据可知则，，.
设平面CEF的法向量为，则，得.
设直线AР与平面CEF所成的角为，则.
因为，所以，所以，
所以，则，故C正确.
Р是棱的中点，则外接圆的圆心为正方形的中心，半径为2.
如图2，设，则三棱锥的外接球的半径满足，解得，
从而三棱锥P-CEF的外接球的表面积是，故D正确.
故选：ACD
11. 已知数列的前项和为，且，若，则（ ）
A. 是等比数列B. 是等比数列
C. 是等差数列D. 是等差数列
【答案】ABD
【解析】因为数列前项和为，且，
对于A中，由，且，
所以是以为首项，公比为的等比数列，所以A正确；
对于B中，由，且，
所以数列是以，公比为的等比数列，所以B正确；
对于C中，由，可得，
即时，，
又由，，所以的奇数项均为0，偶数项均为．
所以的奇数项为等差数列，偶数项为等差数列，所以C错误．
对于D中，当时，即，
所以是每项均为的常数列，也是等差数列，所以D正确．
故选：ABD.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分)
12. 已知点为平面内不同的四点，若，且，则______
【答案】
【解析】由得：，即，
又因为，所以,
故答案为：.
13. 在中，角A，，所对的边分别为，，，．且，则______．
【答案】
【解析】由得，，
由余弦定理得，
故，
所以，，
故，
所以，
即，
由正弦定理得，
因为，所以，
故，即，
由和得，故
故，故
故.
14. 对任意，不等式恒成立，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】不等式等价于
，
记，则原不等式等价于.
所以，不等式恒成立等价于不等式恒成立.
而，且图像如下图所示：
若，则不等式恒成立；
若，可以看作是f(x)向左或向右平移个单位，
不等式恒成立可以看作是的图像在f(x)的上方或函数值相等.
所以要使的图像在f(x)的上方或函数值相等只能把f(x)的图像向左平移至少1个单位得到，如下图所示：
所以：.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 已知椭圆C：（）的一个焦点为，且离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线l：与椭圆C交于A，B两点，若面积为，求直线方程.
解：（1）由焦点为得，又离心率，得到，
所以，所以椭圆C的方程为.
（2）设Ax1,y1，Bx2,y2，
联立，消y得，
，得到，
由韦达定理得，，，
又因为，
又原点到直线的距离为，
所以，
所以，所以，即，满足，
所以直线l的方程为.
16. “九子游戏”是一种传统的儿童游戏，它包括打弹子、滚圈子、踢毽子、顶核子、造房子、拉扯铃子、刮片子、掼结子、抽陀子九种不同的游戏项目，某小学为丰富同学们的课外活动，举办了“九子游戏”比赛，所有的比赛项目均采用局胜的单败淘汰制，即先赢下局比赛者获胜.造房子游戏是同学们喜爱的项目之一，经过多轮淘汰后，甲、乙二人进入造房子游戏的决赛，已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为.
（1）若，设比赛结束时比赛的局数为，求的分布列与数学期望；
（2）现有两种赛制：赛制一：采用3局2胜制，赛制二：采用5局3胜制，乙选手要想获胜概率大，应选哪种赛制？并说明理由.
解：（1）因为，所以比赛采用3局2胜制，的所有可能取值为2，3，
，，
的分布列为
所以.
（2）应选择方案一3局2胜制，理由如下：
若选赛制一3局2胜制时，记乙获胜为事件A，
则，
若选赛制二5局3胜制时，记乙获胜为事件B，
则
因为，所以选方案一3局2胜制.
17. 如图，已知四棱台中，，，，，，，且，为线段中点，
（1）求证：平面；
（2）若四棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值.
（1）证明：如图所示：
分别延长线段，，，交于点，将四棱台补成四棱锥.
∵，∴，∴，
取的中点，连接，，
∵，且，∴四边形为平行四边形.
∴，又平面，平面，
∴平面；
（2）解：由于，所以，
又梯形面积为，
设到平面距离为，则，得.
而，平面，平面，
所以平面，
所以点C到平面的距离与点D到平面的距离相等，
而，所以平面.
以A为坐标原点，以直线为x轴，以直线为y轴，建立空间直角坐标系，
易得为等边三角形，所以A0,0,0，，，，
设平面的法向量为m=x,y,z，
则，
得，，不妨取，
又平面的一个法向量为n=0,1,0.
则，
平面与平面夹角的余弦值为.
18. 设是坐标平面上的一点，曲线是函数的图象．若过点恰能作曲线的条切线，则称是函数的“度点”．
（1）判断点与点是否为函数的1度点，不需要说明理由；
（2）已知，．证明：点是的0度点；
（3）求函数的全体2度点构成的集合．
解：（1）设，则曲线在点处的切线方程为．
则该切线过点当且仅当，即． 故原点是函数的一个1度点，
该切线过点，故，
令，则，令得，令得，
故在上单调递增，在上单调递减，
在x=1处取得极小值，也时最小值，且，
故无解，点不是函数的一个1度点
（2）设，，
则曲线在点处的切线方程为．
则该切线过点当且仅当（*）．
设，则当时，，故在区间上严格增．
因此当时，，（*）恒不成立，即点是y=gx的一个0度点．
（3），
对任意，曲线在点处的切线方程为．
故点为函数的一个2度点当且仅当关于的方程恰有两个不同的实数解．
设．
则点为函数的一个2度点当且仅当两个不同的零点．
若，则在R上严格增，只有一个实数解，不合要求．
若，因为，
由或时得严格增；
而当时，得严格减．
故在时取得极大值，在时取得极小值．
又因为，，
所以当时，由零点存在定理，在、、上各有一个零点，不合要求；
当时，仅上有一个零点，不合要求；
当时，仅上有一个零点，也不合要求．
故两个不同的零点当且仅当或．
若，同理可得两个不同的零点当且仅当或．
综上，的全体2度点构成的集合为或．
19. 已知无穷数列中，，记，，．
（1）若为2，0，2，4，2，0，2，4，…，是一个周期为4的数列（即，），直接写出，，，的值；
（2）若为周期数列，证明：，使得当时，是常数；
（3）设是非负整数，证明：的充分必要条件为为公差为的等差数列．
（1）解：，，，．
（2）证明：不妨设的周期为，
记，，
则当时，是常数，
记，使得当时，是常数，结论正确．
（3）证明：充分性；
若为公差为的等差数列，则
于是，．
因此，
必要性：因为，
，，
，于是，．
因此．
故数列是公差为的等差数列．2
3