2024-2025学年山东省济南市济阳区九年级(上)期中数学试卷(解析版)

这是一份2024-2025学年山东省济南市济阳区九年级(上)期中数学试卷(解析版)，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题4分，共40分）
1. 秦国法家代表人物商鞅发明了一种标准量器——商鞅铜方升，如图，升体是长方体，手柄近似是圆柱体，它的俯视图为（ ）
A B.
C. D.
【答案】B
【解析】从上面看到的是，
故选：B.
2. 方程的解为（ ）
A. B.
C. D. ，
【答案】D
【解析】∵，∴，
∴，
∴或，解得：，，
故选：D．
3. 若反比例函数的图像经过点，则的值为（ ）
A. 6B. C. D.
【答案】A
【解析】把点代入中得：，解得，
故选：A．
4. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则另一个根是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设，是关于的一元二次方程的两个实数根，其中，
∴，即，解得：，
∴另一个根是，
故选：．
5. 在实验课上，为判断地板瓷砖是否为菱形，甲、乙二人分别用仪器进行了测量，甲测量出两组对角分别相等，然后小亮测量出______，最后得到结论：地板瓷砖是菱形．则横线处应填（ ）
A. 两组对边分别相等B. 一组邻边相等
C. 两条对角线相等D. 一组邻角相等
【答案】B
【解析】∵甲测量出两组对角分别相等，∴此地板瓷砖是平行四边形，
A、两组对边分别相等，也只能说明四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
B、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故本选项符合题意；
C、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项不符合题意；
D、一组邻角相等，不能说明平行四边形是菱形，故本选项不符合题意；
故选：B．
6. 甲口袋中有1个红球和1个黄球，乙口袋中有1个红球、1个黄球和1个绿球，这些球除颜色外其他都相同．从两个口袋中各随机取一个球，取出的两个球都是红球的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，取出的两个球都是红的有1种情况，
∴取出的两个球都是红的概率为：．
故选A．
7. 如题图．在中．，若 则 的值为（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】C
【解析】∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
8. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上．已知纸板的两条边，，测得边离地面的高度，则树高为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
故选A．
9. 如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至，若，，则线段的长度为（ ）
A. 2B. C. 3D.
【答案】D
【解析】如图所示，过点B作于O，
由正方形的性质可得，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
由旋转的性质可得，
∴，∴，
∴，∴，
故选：D．
10. 如图，四边形是边长为2的正方形，点为线段上的动点，为的中点，射线交的延长线于点，过点作的垂线交于点、交的延长线于点，则以下结论：①；②；③当点与点重合时；④当时，；⑤当点和点重合时，，成立的个数是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故①正确；
∵，，
∴，故②正确；
当点F与点C重合时，如图2，
∵E是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得：，
∴，
∴，故③正确；
如图3所示，
∵，即P是中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴，，
同理可得，
∴，
∴，故④正确；
当点P与点B重合时，
同理可证明，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故⑤错误；
∴正确的有4个，
故选：C．
二、填空题
11. 若反比例函数的图象过点，则m的值为________．
【答案】2
【解析】根据题意得，
解得
故答案为：2.
12. 两个相似三角形的相似比为，则它们的面积之比为________．
【答案】
【解析】∵两个相似三角形的相似比为，
∴它们的面积之比为，
故答案为：．
13. 若关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值为__________．
【答案】2
【解析】∵关于x的方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：．
故答案为：2．
14. 汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图中，四个直角三角形均全等，两条直角边之比均为1：2．若向该图形内随机投掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 __．
【答案】
【解析】设两直角边分别为x，2x，则斜边即大正方形的边长为x，小正方形边长为x，
所以S大正方形＝5x2，S小正方形＝x2，
则针尖落在阴影区域的概率为．
故答案为：．
15. 如图，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，2），点C在反比例函数（k＞0，x＞0）的图象上，AC⊥AB，过点C作CD∥AB，交反比例函数于点D，且CD＝2AB，则k的值为____________．
【答案】
【解析】如图，过点C作CH⊥x轴于H，过点D作DT⊥OH于T，过点C作CG⊥DT于G．
∵点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，2），
∴OA＝1，OB＝2，
∵AC⊥AB，
∴∠AOB＝∠BAC＝∠AHC＝90°，
∴∠BAO+∠CAH＝90°，∠CAH+∠ACH＝90°，
∴∠BAO＝∠ACH，
∴△BOA∽△AHC，
∴＝，
∴AH＝2CH，
设CH＝m，AH＝2m，
则OH=OA+AH=1+2m，
∴C（1+2m，m），
∵CD∥AB，CG∥OA，
∴∠DCG＝∠BAO，
∵∠DGC＝∠BOA＝90°，
∴△BOA∽△DGC，
∴＝＝＝，
∴CG＝2，DG＝4，
∵∠CGT=∠DTH=∠CHT=90゜，
∴四边形CGTH是矩形，
∴GT=CH=m，TH=CG=2，
∴DT=GT+DG =m+4，OT=OH-TH =1+2m-2=2m-1，
∴D(2m﹣1，m+4)，
∵D，C在反比例函数y＝上，
∴（1+2m）•m＝（2m﹣1）•（m+4），
解得m＝，
∴，
∴k＝，
故答案为：．
三、解答题
16. 解方程：
（1）用配方法解方程：；
（2）．
解：（1）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得；
（2）∵，
∴，
∴，
∴或，
解得．
17. 为了测量水平地面上一棵不可攀的树的高度，某学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在与树底端B相距8米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE＝2米，观察者目高CD＝1.5米，则树AB的高度．
【答案】AB＝6米．
【解析】根据题意，得∠CDE＝∠ABE＝90°，∠CED＝∠AEB，
则△ABE∽△CDE，
则，即，
解得：AB＝6米．
答：树AB的高度为6米．
18. 如图，在中，点，分别在边，上，，．
（1）求证：；
（2）若，，求线段的长．
解：（1）∵，
∴，
又∵，
∴；
（2）∵，
∴，即，
∴或（舍去），
经检验，是原方程的解，且符合题意．
19. 我校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容．为学生开设五类社团活动（要求每人必须参加且只参加一类活动）音乐社团、体育社团、美术社团、文学社团、电脑编程社团．
（1）小明从中任选一类社团活动，选到“体育社团”的概率是 ；
（2）现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率．
解：（1）根据题意：小明从中任选一类社团活动，选到“体育社团”的概率是；
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲和乙两名同学的结果数为2种，
所以恰好选中甲和乙两名同学的概率．
20. 已知的两边，的长是关于的一元二次方程的两个实数根．
（1）若，求的值及的周长；
（2）当为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长．
解：（1）∵的两边，的长是关于的一元二次方程的两个实数根，且，
∴，
∴，
∴原方程为，
∴，
解得或，
∴，
∴的周长为；
（2）∵四边形是菱形，
∴，
∴关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，即，
∴，
∴原方程为，
∴，
解得，
∴，即菱形的边长为．
21. 如图，某农户准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为18m，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长35m，围成长方形的养鸡场四周不能有空隙．
（1）要围成养鸡场的面积为150m2，则养鸡场的长和宽各为多少？
（2）围成养鸡场的面积能否达到200m2？请说明理由．
解：（1）设养鸡场的宽为x m，根据题意得：
x（35﹣2x）＝150，
解得：x1＝10，x2＝7.5，
当x1＝10时，35﹣2x＝15＜18，
当x2＝7.5时35﹣2x＝20＞18，（舍去），
则养鸡场的宽是10m，长为15m．
（2）设养鸡场的宽为xm，根据题意得：
x（35﹣2x）＝200，
整理得：2x2﹣35x+200＝0，
△＝（﹣35）2﹣4×2×200＝1225﹣1600＝﹣375＜0，
因为方程没有实数根，
所以围成养鸡场的面积不能达到200m2．
22. 如图，在中，，，．点从点出发沿向点运动，速度为每秒，同时点从点出发沿向点运动，速度为每秒，当点到达顶点时，、同时停止运动，设点运动时间为秒．

（1）当_______时，是以为顶角等腰三角形；
（2）当_______时，是直角三角形；
（3）面积为，求的值．
解：（1）∵在中，，，，
∴．
由题意，，
∴，
∵是以为顶角的等腰三角形，
∴，
∴，解得，
故答案为：；
（2）当时，
∵，
∴，
∴，即，
解得：；
当时，
∵，
∴，
∴，，
解得：．
综上所述或时，是直角三角形；
故答案为：或；
（3）如图所示，过点作于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：．
23. 阅读材料:各类方程的解法
求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解，求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验，各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想“转化”，把未知转化为已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．
例如：解方程
解：移项，得
两边平方，得
即
两边再平方，得
即
解这个方程得：
检验：当时，原方程左边，右边
不是原方程的根；
当时，原方程左边，右边
原方程的根
原方程的根是．
（1）请仿照上述解法，求出方程的解；
（2）如图已知矩形草坪的长，宽，小华把一根长为的绳子的一端固定在点，从草坪边沿走到点处，把长绳段拉直并固定在点，然后沿草坪边沿走到点处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点，则 ．

解：（1）移项，得
方程两边平方，得，即，
解方程，得或
经检验：是原方程的解
所以原方程的解是．
（2）设AP=x米，则PD=(16-x) m，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，AB=CD=6 m，
∵BP+CP=20，
BP=，
即
∴
两边平方得：
整理得：
两边平方得：
整理得：
解得：
经检验：是原方程的解
所以原方程的解是
故答案为：．
24. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于A，B两点（点A在点B左侧），已知A点的横坐标是−4；
（1）求反比例函数的表达式；
（2）根据图象直接写出的解集；
（3）将直线：沿y向上平移后的直线与反比例函数在第二象限内交于点C，如果的面积为30，求平移后的直线的函数表达式．
解：（1）∵直线：经过点A，A点的纵坐标是2，
∴当时，，
∴，
∵反比例函数的图象经过点A，
，
∴反比例函数的表达式为；
（2）∵直线：与反比例函数的图象交于A，B两点，
∴，
∴不等式的解集为或；
（3）如图，设平移后的直线与轴交于点，连接AD，BD，
，
的面积与的面积相等，
的面积为30，
，即，
，
，
，
设平移后的直线的函数表达式为，
把代入，可得，
解得，
∴平移后的直线的函数表达式为．
25. （1）问题发现：如图1，在中，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得，线段与的数量关系是______；
（2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，写出变化后线段与的数量关系，并给出证明；
（3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长．
解：（1）∵将边绕点C顺时针旋转得到线段，
∴，
∵，，
∴．
在和中，
∴，
∴．故答案为：
（2）．
同（1）可得，，，
∴，∴，
∵，∴，∴．
（3）如图所示，作延长线于点，过点作，交于点，交于点，
则，，，
由（1）同理可证，，
∴，，
∴，，
∴．