2024-2025学年山东省济南市高新区九年级(上)期中考数学试卷(解析版)

这是一份2024-2025学年山东省济南市高新区九年级(上)期中考数学试卷(解析版)，共22页。试卷主要包含了选择题，四象限；，解答题等内容，欢迎下载使用。
第I卷（选择题共40分）
注意事项：第I卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 如图，一个实木正方体内部有一个圆锥体空洞，它的左视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】∵一个实木正方体内部有一个圆锥体空洞，
∴从左面看得该几何体的左视图是：
故选B．
2. 若，则的值是（ ）
A. B. C. 12D.
【答案】B
【解析】∵，
∴，
故选：B．
3. 对于反比例函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A. 它的图像分布在一、三象限
B. 它的图象与坐标轴可以相交
C. 它的图像经过点
D. 当时，y的值随x的增大而增大
【答案】D
【解析】反比例函数，
∵，
∴反比例函数的图象分布在二、四象限；
故选项A错误；
反比例函数的图象与坐标轴不可以相交，故选项B错误；
∵，
∴反比例函数的图象不经过点，故选项C错误；
∵，
∴反比例函数的图象分布在二、四象限；在每个象限内随着x的增大而增大，
∴当时，y的值随x的增大而增大，
故选项D正确；故选：D．
4. 如图，在中，，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=3
∴
故选：C
5. 如图，DE∥BC，且：：，，则的长为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，
，
即，
解得：，
故选：D．
6. 函数y=kx与y=-kx+k（k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】当k＞0时，反比例函数的图象位于第一、三象限，一次函数的图象交y轴于正半轴，y随着x的增大而减小，A选项符合，C选项错误；
当k＜0时，反比例函数的图象位于第二、四象限，一次函数的图象交y轴于负半轴，y随着x的增大而增大，B、D均错误；
故选A．
7. “今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸,入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中“井深几何”问题，它的题意可以由如图所示（单位：尺），已知井的截面图为矩形，设井深为尺，下列所列方程中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】如图，
由题意得，，，，，，
，，即，
故选：D
8. 如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】两角分别相等的两个三角形相似，故选项A中剪下的阴影三角形与相似，故选项A不符合题意；
两角分别相等的两个三角形相似，故选项B中剪下的阴影三角形与相似，故选项B不符合题意；
选项C中剪下的阴影三角形与不相似，故选项C符合题意；
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，故选项D中剪下的阴影三角形与相似，故选项D不符合题意；
故选C．
9. 根据图①所示的程序，得到了与的函数图象，如图②．若点是轴正半轴上任意一点，过点作平行轴交图象于点，，连接，，则以下结论：①时，；②的面积为定值；③时，随的增大而增大；④；⑤可以等于．其中正确结论是（ ）
A. ①②⑤B. ②④⑤C. ③④⑤D. ②③⑤
【答案】B
【解析】①，，故选项①错误；
②当时，，当时，，
设，，
则，，
的面积是，故选项②正确；
③时，，随的增大而减小，故选项③错误；
④，，
∴，故选项④正确；
⑤设，则．则，
，
当，
整理得：，
，
有解，
可能存在，故此选项⑤正确；
正确的有②④⑤，
故选：B．
10. 如图，正方形中，点是边上一点，连结，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连结，有以下结论：①；②；③；④，你认为其中正确的有（ ）

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】①∵正方形和正方形，
∴和都是等腰直角三角形，
∴，则
∴；
∴①正确，符合题意；
②∵是等腰直角三角形，则，
∴，
都是等腰直角三角形，同理可得
∴，
又∵，
∴，
∴②正确，符合题意；
③∵，
∴，则，
∴平分
∴；
∴③正确，符合题意；
④∵，，
∴，∴，
∴，
∵，，
∴，
∴④正确，符合题意；故选：D．
第Ⅱ卷（非选择题共110分）
注意事项：
1．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
2．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
二、填空题：（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．）
11. 反比例函数的图象经过点，则________．
【答案】
【解析】∵反比例函数的图象经过点，
∴，
解得：．
故答案为：．
12. 如图，一个小球由地面沿着坡度的坡面向上前进了 m，此时小球距离地面的高度为________

【答案】
【解析】如图所示，过点B作，

∵，
∴设，则，
由勾股定理得，，
即，
，
，
，（舍），
∴，
即此时小球距离地面的高度为，
故答案为：．
13. 如图，已知，且，则________．
【答案】
【解析】∵，
∴，
∴，
故答案为：．
14. 如图，在矩形ABCD中，点E是边AD上一点，于点F.若，，则AE的长为________.

【答案】
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，∠ABC=90°，
∴∠BCA=∠EAC，
∵EF⊥AC，∴∠AFE=∠ABC=90°，
∴△AEF∽△CAB，∴，
∵tan∠BAC=2，∴=2，
∵EF=1，∴AF=2.
∴
故答案为：
15. 反比例函数的图象如图，在中，，边轴，边轴且与函数图象交于点，边与此函数图象交于、两点，且，，则的值为_______．
【答案】
【解析】设点的坐标为，则，
又，轴，
∴，
又轴且点C在反比例函数图象上，
∴，
，，
，
，
，
解得．
故答案为：．
三、解答题：（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16. 计算：
解：
．
17. 如图，若直线，它们依次交直线m、n于点A，B，C和点D，E，F．
（1）如果，，，求的长；
（2）如果，，求长．
解：（1）∵，
，
，，，
，
；
（2）∵，
，
，
，
，，．
18. 如图，在平面直角坐标系中,的顶点坐标分别为．
（1）在y轴右侧，以O为位似中心，画出，使它与的相似比为；
（2）写出面积= ；面积= ．
解：（1）如图所示，即为所求．
（2）根据图象可得，
∵与的相似比为，
∴与的面积比为，
∴面积．
故答案为：4；1．
19. 如图中，D、E是AB、AC上点，，，，，求证：.

证明：∵，，，，
∴，，
∴，又∵，
∴，
∴．
20. 根据以下材料，完成探究任务．
解：（1）如图，连接．
，
．
．即．
．
同理，．
．即．
．
解得，．
（2）由（1）知：，，
．
∴围墙的高度为．
21. 如图，A，B，C，D，E分别是某湖边的五个打卡拍照点，为了方便游客游玩，沿湖修建了健身步道，在B，D之间修了一座桥．B，D在A的正东方向，C在B的正南方向，且在D的南偏西方向，E在A的北偏东方向，且在D的北偏西方向，米，米．（参考数据：，，）
（1）求的长度（结果保留小数点后一位）；
（2）甲、乙两人从拍照点A出发去拍照点D，甲选择的路线为：，乙选择的路线为：．请计算说明谁选择的路线较近？
解：（1）如图：作于，则，
由题意得：米，米，，，
∴在中，，，米，
∴米，米，
在中，，，
∴米，
∴米，
∴的长度为米；
（2）在中，，，米，
∴米，
∴米，
在中，，，米，
∴米，
米，
∴米，
∵，
∴甲选择的路线较近．
22. 如图，在中，，，．点从点出发沿向点运动，速度为每秒，同时点从点出发沿向点运动，速度为每秒，当点到达顶点时，、同时停止运动，设点运动时间为秒．
（1）当为何值时，是以为顶角的等腰三角形？
（2）当为何值时，的面积为？
（3）当为何值时，与相似？
解：∵，，
∴．
由题意，，，
∵是以为顶角的等腰三角形，
∴，
∴，
解得．
（2）过点作于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，解得：．
（3）当时，，∴，解得：．
当时，，∴，解得：．
综上所述或时，与相似．

23. 如图， 的图象与反比例函数图象相交于、两点，已知点坐标为．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）张红武求得另一个交点，观察图象，请直接写出不等式的解集；
（3）P为轴上的点，为反比例函数图象上的点，若以为顶点的四边形是平行四边形，求出满足条件的点的坐标．
解：（1）将点的坐标分别代入、得：
，解得 ，
∴一次函数和反比例函数的解析式分别为和；
（2）观察函数图象知，不等式的解集为或；
（3）设点，点，
∵以为顶点的四边形是平行四边形，
∴点向右平移个单位向下平移个单位得到点，同样点P（或点Q）向右平移个单位向下平移个单位得到点Q（或点P），
∴ 或 ，解得 或 ，
故点的坐标为 或
24. 阅读与思考
阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：
反比例函数是初中函数学习的重要组成部分，它与物理、化学等密切相关，函数本身又是一个重要的数学思想，利用函数的思想和方法可以加深对一些代数问题的理解，现从反比例函数系数k的几何意义出发来探究反比例函数的一些规律．
逐梦学习小组在熟练掌握k的几何意义基础之上又进行了深入的探究后发现：如图1，以矩形的顶点O为坐标原点，射线为x轴正半轴、射线为y轴的正半轴建立平面直角坐标系，若反比例函数的图象交于点E，交于点F，当时，则，在老师指导下逐梦学习小组进行了如下推理，证明了这一结论是正确的．
证明：在图1中，过点E作轴，垂足G，过点F作轴，垂足为H
根据k的几何意义，易知，
∵，
∴，
∴，
∴，即．
任务：
（1）在图1中，已知，若反比例函数的系数，则矩形的面积______；
（2）逐梦学习小组继续探究后发现，如图2，若反比例函数的图象交于点E，交于点F，若，则，请帮助逐梦学习小组完成证明；
（3）如图3，反比例函数的图象交于点E，交于点F，若，则图中阴影部分（即四边形）的面积______．
解：（1）由题意知，，
∵
∴，解得，，
故答案为：2；
（2）如图2，作于，于，
根据k的几何意义，易知，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）如图3，作于，于，
根据k的几何意义，易知，
∵，
∴，
解得，，
∴，，
∴，故答案为：3．
25. 如图，矩形中，，点P是对角线上的一个动点（不包含A、C两点），过点P作分别交射线AB、射线AD于点E、F．
（1）猜想：与的数量关系并证明；
（2）连接，若，且F为AD中点，求的值；
（3）若，移动点P，使与相似，直接写出的值．
解：（1），理由如下，
四边形是矩形，，
，
，，
；
（2），
，
，
，
，
设交于点G，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）或或．理由如下：
四边形是矩形，
，，，
①当时，，
P是的中点，
，
，
，
即，
设，则，
，，
，
，
；
②当时，，
，
设，，
则，，
，
，
解得，
，
由①知，
，
，
，
的值为或或．
利用相似三角形测高
发现、提出问题
期末，数学老师组织同学们来到湿地公园开展“利用相似三角形测高”的综合实践活动．如图，在公园某处，他们发现一个简易工具房前有一堵围墙AB，同学们提出问题如下：围墙AB的高度是多少米？
分析问题
结合课本上“利用相似三角形测高”的知识，同学们进行如下操作：
①当阳光恰从围墙最高点A经窗户点C处射进间地面F点时，测得；
②当阳光恰从围墙最高点经窗户点D处射进地面E点时，测得．此外，测得：窗高，窗户距地面的高度．
解决问题
（1）求的长．
（2）请利用上述数据，求出围墙AB的高度．