湖南省湘西州2025届高三上学期州自检数学试卷(含答案)

这是一份湖南省湘西州2025届高三上学期州自检数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．若复数z满足,则( )
A.B.C.D.
3．已知是偶函数,则( )
A.B.C.D.
4．A,B,C三所大学发布了面向高二学生的夏令营招生计划,某中学有四名学生报名参加.若每名学生只能报一所大学,每所大学都有该中学的学生报名,且A大学只有其中一名学生报名,则不同的报名方法共有( )
A.18种B.21种C.24种D.36种
5．已知,,均为单位向量,且,,则的最小值为( )
A.B.C.D.
6．记等差数列的前n项和为,若,,成等差数列,,,成等比数列,则( )
A.900B.600C.450D.300
7．已知函数的最小正周期为10,则( )
A.B.C.D.1
8．过抛物线上一动点P作圆（r为常数且）的两条切线,切点分别为A,B,若的最小值是,则( )
A.1B.2C.3D.4
二、多项选择题
9．已知随机变量,记,,则( )
A.B.C.D.
10．如图,在棱长为2的正方体中,E,F分别为棱的中点,G是棱上的一个动点,则下列说法正确的是( )
A.平面截正方体所得截面为六边形
B.点G到平面的距离为定值
C.若,且,则G为棱的中点
D.直线与平面所成角的正弦值的取值范围为
11．已知正项数列满足且,则下列说法正确的( )
A.若,则B.若,则
C.若,则D.若,则或
三、填空题
12．已知函数的图象在点处的切线斜率为3,则实数________.
13．已知平面,平面,,与平面所成的角为,且C,D两点在平面的同一侧,,则________.
14．已知实数x,y满足,,则________.
四、解答题
15．记为等比数列的前n项和,已知.
（1）求的通项公式;
（2）设求数列的前20项和.
16．在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知.
（1）求C;
（2）若,求的面积.
17．如图,在四棱锥中,平面,是边长为的等边三角形,,.
（1）证明:平面平面;
（2）若平面与平面夹角的余弦值为,求的长.
18．已知双曲线C的中心是坐标原点,对称轴为坐标轴,且过,两点.
（1）求C的方程;
（2）设P,M,N三点在C的右支上,,,证明:
（ⅰ）存在常数,满足;
（ⅱ）的面积为定值.
19．帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理函数近似特定函数的方法.给定自然数m,n,我们定义函数在处的阶帕德近似为,该函数满足,,,…,.
注:,,…,.
设函数在处的阶帕德近似为.
（1）求的解析式;
（2）证明:当时,;
（3）设函数,若是的极大值点,求k的取值范围.
参考答案
1．答案：B
解析：由题意得,,
,
.
故选:B.
2．答案：D
解析：若复数z满足,
则.
故选:D.
3．答案：C
解析：由,
设,则且为偶函数,
所以为偶函数,
所以,,且,
即,化简可得,
解得,
故选:C.
4．答案：C
解析：第一步选一人去A大学,则有（种）,
第二步将剩余的三位同学以一组两人,一组一人进行分组,然后分配到B,C两所学校,
则有（种）,
则不同的报名方法共有（种）,
故选:C.
5．答案：B
解析：因为,,均为单位向量,且且,
所以,
,
当时,的最小值为.
故选:B.
6．答案：A
解析：等差数列的公差为,因为,,成等差数列,
所以,所以,
所以,所以,,
又因为,,成等比数列,所以,
所以,解得,解得,
所以.
故选:A.
7．答案：C
解析：
,
又的最小正周期为10,所以,解得,
则,则.
故选:C.
8．答案：B
解析：设,则,圆C的圆心,半径为r,
由,切圆C于点A,B,得,,,
则
,
当且仅当时,等号成立,
可知的最小值为,
整理可得,解得或,
且,所以,即.
故选:B.
9．答案：ABD
解析：由题意可知:,且,
可得,故A正确;
且,
即,所以,故B正确;
根据期望和方差的性质可知:,,故C错误,D正确;
故选:ABD.
10．答案：BCD
解析：对于A,连接,
在正方体中,E,F分别为棱的中点,
所以,,,,
所以,,则平面与平面为同一平面,
所以平面截正方体所得截面为平面,为四边形,故A错误;
对于B,在正方体中,E,F分别为棱,的中点,
所以,
又平面,平面,所以平面,
又点G是棱上的一个动点,所以点G到平面的距离为定值,故B正确;
对于C,连接,,,,
因为,且,所以A,E,G四点共面,
因为在正方体中,平面平面,
又平面平面,平面平面,
所以,
在正方体中,,,
所以四边形是平行四边形,则,则,
因为E为棱的中点,所以G为棱的中点,故C正确;
对于D,以D为原点,建立空间直角坐标系,如图,
设,则,,,,
所以,
设平面的法向量为,则,
令,则,,故,
设直线与平面所成角为,
则,
因为,所以,则,
所以,
所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围为,故D正确.
故选:BCD.
11．答案：AC
解析：对于A,若,则,即,
因为,所以,
因为,所以,
同理,
即数列为奇数项为2,偶数项为3的数列,（也称为不动点数列）
所以,故A正确;
对于C,若,则,即,
因为,所以,或（舍去）
由A选项的解析可得,,…,
即数列为奇数项为3,偶数项为2的数列,
所以,故C正确;
对于D,假设正项数列为常数列,则,
即,解得,
又,即,即,
取代入上式,此时k为无理数,
当,满足,此时且,故D错误;
对于B,若,由,即,
解得或7,
当时,由A解析可得,此时正项数列为不动点的奇偶常数列,此时;
当时,由变形为,
解得,
不妨取,
若,则,
现在考虑,由二次函数关系可得开口向上,对称轴为,当时,判别式恒大于零,所以,所以正项数列为递减数列,此时要大于2或3,此时,故B错误
故选:AC.
12．答案：2
解析：由,
则,解得,
故答案为:2.
13．答案：
解析：由平面,平面,
可知,
过点D作平面,为垂足,连接,
则为BD与所成的角,
即,
所以,
因平面,平面,所以,
所以,所以.
又,
所以
,
因为,,
所以,,
故
,
所以,即的长为.
故答案为:.
14．答案：3
解析：设,,则,,
故,即,,
整理得到:,,
故,为方程的正根,
故,故,故,
故答案为:3.
15．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）当时,,
,
等比数列的公比.
当时,由得,即,解得,
.
（2）由题意得,当n为奇数时,,
当n为偶数时,,
,
,
.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）由,得到,
即,得到,
又,,所以,
又,得到.
（2）由（1）知,因为
又,
所以
,
即,又由正正弦定理得,即,其中为外接圆的半径,所以,
所以的面积为.
17．答案：（1）证明见解析
（2）2
解析：（1）在中,,,,
由余弦定理,得到,
解得,所以,得到,又,
所以,即,
又平面,面,所以,
又,,面,所以面,又面,
所以平面平面.
（2）以,,所在直线为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
设,因为,,,
则,,,,,
则,,
设平面的一个法向量为,
则,得到,取,得到,,即,
易知平面的一个法向量为,
设平面与平面的夹角为,
则,整理得到,解得,
所以.
18．答案：（1）
（2）（ⅰ）证明见解析;
（ⅱ）证明见解析
解析：（1）设C的方程为,其中.
由C过A,B两点,故,,解得,.
因此C的方程为.
（2）（ⅰ）设,,,其中,,,1,2.
因为,所以直线BM的斜率为,方程为.
由,得,
所以,
.
因此.
同理可得直线AN的斜率为,直线AN的方程为.
由,得,
所以,
,
因此
.
则,即存在,满足.
（ⅱ）由（ⅰ）,直线MN的方程为,
所以点P到直线MN的距离.
而,
所以的面积为定值.
19．答案：（1）;
（2）证明见解析;
（3）.
解析：（1）由题意,可设,且,则,
而,,且,则,
所以.
（2）当时,恒有,,
令,且,则,
当时,,即在上递增;
当时,,即在上递减;
所以,故,得证.
（3）令在处的阶帕德近似为,
由,则,故,
由,,而,则,
所以,故,
由,而,则,
综上,,且,
令,则恒成立,
所以在R上递增,即,
故时,时,
所以时,时,
此时,时不是极值点;
以为界,讨论如下:
由连续函数,
当,则,而,
上,递减,在上,递增,则,
所以,在两侧恒成立,是极小值点;
当,则,而,
在上,递增,在上,递减,则,
所以,在两侧恒成立,为极大值点;
当,有,
在上,递增,在上,递减,则,
所以,在两侧恒成立,为极大值点;
当,则,而,
在上,递增,在上,递减,则,
所以,在两侧恒成立,为极大值点;
综上,.