长沙市青竹湖湘一外国语学校2023-2024学年八年级上学期第三次月考数学试题（解析版）

这是一份长沙市青竹湖湘一外国语学校2023-2024学年八年级上学期第三次月考数学试题（解析版），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.中华姓氏源于上古，每个姓氏都有自己的图腾．下列姓氏图腾是轴对称图形的是（ ）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可.
【详解】解：A.是轴对称图形，故A正确；
B.不是轴对称图形，故B错误；
C.不是轴对称图形，故C错误；
D.不是轴对称图形，故D错误．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的识别，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．
2.下列式子是分式的是（ ）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据分式的定义，一般地，如果、（不等于零）表示两个整式，且中含有字母，那么式子就叫做分式，其中称为分子，称为分母，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A ，是单项式，故该选项不符合题意；
B ，是分式，故该选项符合题意；
C ，是多项式，故该选项不符合题意；
D ，是单项式，故该选项不符合题意．
故选B．
【点睛】本题考查了分式的判断，掌握分式的定义是解题的关键．
3.为了了解2023年某县九年级学生学业水平考试的数学成绩，从中随机抽取了1000名学生的数学成绩，下列说法正确的是（ ）
A.2023年某县九年级学生是总体B.样本容量是1000
C.1000名九年级学生是总体的一个样本D.每一名九年级学生是个体
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
【详解】解：A、2023年某县九年级学生的数学成绩是总体，故A错误；
B、样本容量是1000，故B正确；
C、1000名九年级学生的数学成绩是一个样本，故C错误；
D、每一名九年级学生考试的数学成绩是个体，故D错误．
故选：B
4.下列运算正确的是（ ）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据同底数幂相乘，积的乘方，幂的乘方，同底数幂相除，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项正确，符合题意；
D、，故本选项错误，不符合题意；
故选：C
【点睛】本题主要考查了同底数幂相乘，积的乘方，幂的乘方，同底数幂相除，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
5.一个多边形的每个外角都等于，则这个多边形的边数是（ ）
A.9B.10C.11D.12
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了多边形的内角与外角，根据正多边形的边数等于除以每一个外角的度数列式计算即可得解．
【详解】．
故这个多边形的边数为10．
故选：B．
6.如果与的乘积中不含的一次项，则的值为（ ）
A.2B.C.1D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．根据多项式乘多项式的法则，可表示为，计算即可．
【详解】根据题意得：，
∵与的乘积中不含的一次项，
∴
∴．
故选B．
7.下图中全等的两个三角形是（ ）
A.①②B.②③C.①④D.③④
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有．
【详解】解：①和②有两组边对应相等，且它们的夹角相等，可利用证明两三角形全等；
②和③，②和④，①和③，①和④，③和④中都有两组对应边相等，一组角相等（不是对应边的夹角），不可以利用证明它们全等，
故选A．
8.若是一个完全平方式，则m的值为（ ）
A.5B.C.10D.10或
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查完全平方公式，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式，根据平方项确定出这两个数是求解的关键．先根据平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式：．利用乘积二倍项列式求解即可．
【详解】解：∵是完全平方式，
∴这两个数是x和5，
∴，
∴，
故选：D．
9.若等腰三角形有一个角是，则它的底角是（ ）
A.B.C.或D.或
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理．熟练掌握等边对等角，是解题的关键．分这个角是底角和顶角，两种情况讨论求解．
【详解】解：当为底角时：，满足题意；
当是顶角时：它的底角的度数是；
综上：等腰三角形的底角度数为或；
故选D．
10.下列结论：①无论a为何实数，都有意义；②当时, 分式的值为0；③若的值为负， 则x的取值范围是； ④若有意义，则x的取值范围是且.其中正确的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
【答案】B
【解析】
【分析】①根据，得到有意义; ②当时, ，无意义；③若的值为负，则，； ④若有意义，则有意义，三个分母不等于0，,且，．
本题主要考查了分式有意义的条件和分式为0的条件．熟练掌握分式有意义的条件：分母不为0；分式为0的条件：分子为0，分母不为0．是解决问题的关键．
【详解】①∵，
∴，
∴不论a为何值都有意义，
故此结论正确；
②当时，，此时分式无意义，
故此结论不正确；
③若的值为负，
∵，
∴，
∴，
故此结论正确；
④∵有意义，
∴有意义，
∴，
解得，且，
故此结论不正确．
综上所述，其中正确的个数是2．
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11.计算：__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是分式的计算．根据分式的乘方法则计算．
【详解】解：，
故答案为：．
12.已知，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂相乘，底数不变，指数相加．根据同底数幂的乘法逆运算计算即可．
【详解】解：∵，，
∴．
故答案为：
13.在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为_______．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了关于y轴对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．
【详解】解：点关于y轴对称点的坐标为，
故答案为：．
14.已知一个长方形的长为a，宽为b，它的面积为6，周长为12，则的值为_______．
【答案】24
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景、长方形的周长以及长方形的面积，利用长方形的周长及面积公式找出，是解题的关键．由长方形的周长及面积可得出，，代入中即可求出结论．
【详解】解：根据题意得：，，
∴，
∴．
故选答案为：24．
15.如图，已知的周长是22，、分别平分和，于D，且，的面积是 __．

【答案】33
【解析】
【分析】如图，连接，由、分别平分和，可得点O到、、的距离都相等，再利用可得答案．
【详解】解：如图，连接，

∵、分别平分和，
∴点O到、、的距离都相等，
∵的周长是22，于D，且，
∴．
故答案为：33．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，割补法求解三角形的面积，熟记角平分线的性质定理是解本题的关键．
16.如图，在中，，，，为边上的高，点从点出发，在直线上以/的速度移动，过点作的垂线交直线于点，当点运动________时，．
【答案】或
【解析】
【分析】先证明，得出，①当点在射线上移动时，，即可求出移动了；②当点在射线上移动时，，即可求出移动了．
【详解】解：∵，
∴，
∵为边上的高，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵过点作垂线交直线于点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
①如图，当点在射线上移动时，，
∵点从点出发，在直线上以的速度移动，
∴移动了：；
②当点在射线上移动时，，
∵点从点出发，在直线上以的速度移动，
∴移动了：（）；
综上所述，当点在射线上移动或时，；
故答案为：或．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练正确全等三角形的判定和性质是解题的关键．
三、解答题（第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25每小题10分，共72分）
17.计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数乘方，零指数幂，绝对值，算术平方根，负整数指数幂，掌握实数的乘方，零指数幂，负整数指数幂的运算法则是解题的关键．根据实数的乘方，零指数幂，算术平方根，负整数指数幂进行计算即可求解．
【详解】解：原式
18.先化简，再求值：，再从，，0，2中选择一个合适的数作为a代入求值．
【答案】；时，原式
【解析】
【分析】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．
【详解】解：
，
∵，，，
∴，，
把代入得：原式．
19.为了提高学生的综合素质，某校对七年级学生开设“A烹饪、B种菜、C手工制作、D桌椅维修”四门校本课程，学生必须从四门校本课程中选修一门且只选一门．为了解学生对校本课程的选择意向，学校随机抽取了部分学生进行调查，并将调查情况绘制成如图所示的扇形统计图和条形统计图（均不完整）

请根据图中信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生人数是 人；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）计算扇形统计图中“D桌椅维修”所对应的圆心角度数为 °；
（4）已知该校七年级共有600名学生，请估计选择“A烹任”的学生有多少人？
【答案】（1）60 （2）见解析
（3）
（4）120
【解析】
【分析】（1）用C手工制作的人数除以对应的百分比即可得到答案；
（2）求出调查的学生中选择B的学生数，补全条形统计图即可；
（3）用乘以“D桌椅维修”的百分比，即可得到“D桌椅维修”所对应的圆心角度数；
（4）用七年级共有学生数乘以调查的学生中选择“A烹任”的百分比即可得到答案．
【小问1详解】
解：本次调查的学生人数是（人），
故答案为：60
【小问2详解】
调查的学生中选择B的学生数为（人），
条形统计图补充完整如下：
【小问3详解】
“D桌椅维修”所对应的圆心角度数为，
故答案为：
【小问4详解】
（人），
答：估计选择“A烹任”的学生有120人．
【点睛】此题考查了条形统计图和扇形统计图的关联，根据题目中的数据进行正确的计算是解题的关键．
20.因式分解：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
【答案】（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【解析】
【分析】（1）利用提供因式法分解因式即可；
（2）利用十字相乘法因式分解即可；
（3）先提取公因式，再用完全平方公式分解即可；
（4）先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
；
【小问3详解】
解：
；
【小问4详解】
解：
．
【点睛】此题考查了提公因式法，十字相乘法，公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
21.如图，在中，点是上一点，，，，连接交于点．
（1）若，求证：是等腰三角形；
（2）在（）的条件下，若，，求的周长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据，得，，，判定，得；又根据，得，等量代换，得，得，从而即可证明结论成立；
（2）再根据，最后根据周长公式，即可求出的周长．
【小问1详解】
证明：∵
∴
∴
∴在和中
∴（）
∴
又∵
∴
∴
∴
∴是等腰三角形；
【小问2详解】
解：由（）得，
∴
又∵，
∴
∴的周长为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，等边对等角，等量代换，全等三角形的性质与判定等知识，解题的关键是灵活运用平行线的性质，全等三角形的性质与判定．
22.今年五一小长假期间，我市迎来了一个短期旅游高峰．某热门景点的门票价格规定见下表：
某旅行社接待的甲、乙两个旅游团共102人（甲团人数多于乙团），在打算购买门票时，如果把两团联合作为一个团体购票会比两团分别各自购票节省730元．
（1）求两个旅游团各有多少人？
（2）一个人数不足50人的旅游团，当游客人数最低为多少人时，购买B种门票比购买A种门票节省？
【答案】（1）甲团人数有58人，乙团人数有44人；
（2）当游客人数最低为46人时，购买B种门票比购买A种门票节省．
【解析】
【分析】（1）设甲团人数有x人，乙团人数有y人，根据“甲、乙两个旅游团共102人，把两团联合作为一个团体购票会比两团分别各自购票节省730元”列方程组求解即可；
（2）设游客人数为a人时，购买B种门票比购买A种门票节省，根据“人数不足50人，购买B种门票比购买A种门票节省”列不等式求解即可．
【小问1详解】
解：设甲团人数有x人，乙团人数有y人，
由题意得：，
解得：，
答：甲团人数有58人，乙团人数有44人；
【小问2详解】
解：设游客人数为a人时，购买B种门票比购买A种门票节省，
由题意得：，
解得：，
∵a为整数，
∴当游客人数最低为46人时，购买B种门票比购买A种门票节省．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，找出合适的等量关系和不等关系列出方程组和不等式是解题的关键．
23.如图，△ABC中，BC＝2AC，∠DBC＝∠ACB＝120°，BD＝BC，CD交边AB于点E．
（1）求∠ACE的度数．
（2）求证：DE＝3CE．
【答案】（1）∠ACE＝90°；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）利用等腰三角形的性质、的内角和定理和图形中的角与角间的数量关系来求的度数；
（2）过点作于点．由全等三角形与的对应边相等推知．然后根据等腰三角形“三合一”的性质证得，最后由等量代换可得结论．
【详解】（1）解：（已知），
（等边对等角）．
又，（三角形内角和定理），
．
，，
；
（2）证明：过点作于点．
在中，由，得．
，
，
．
在与中，
，
，
．
，，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟悉相关性质是解题的关键．
24.定义：形如的式子，若，则称为“勤业式”；若，则称为“求真式”；若的值为整数，则称为“至善式”．
（1）下列式子是“求真式”有______（只填序号）；
① ② ③
（2）若，，请判断为“勤业式”还是“求真式”，并说明理由；
（3）若，，且x为整数，当为“至善式”时，求x的值．
【答案】（1）①③； （2）为“勤业式”，理由见解析；
（3）x的值为0或1或．
【解析】
【分析】（1）先比较A、B的大小，再根据定义进行判断即可得解；
（2）先比较A、B的大小，再根据定义进行判断即可得解；
（3）先求得，由为“至善式”，得为整数，从而有或或或，求解符合条件的x的值即可．
【小问1详解】
解：∵
∴，
∴为“求真式”，故①符合题意，

∵
∴为“勤业式”， 故②不符合题意，
∵，
∴即，
∴为“求真式”， 故③不符合题意．
故答案为：①③；
【小问2详解】
解：为“勤业式”，理由如下：
∵，
∴，
∴为“勤业式”；
【小问3详解】
解：∵，，且x为整数，
∴
∵为“至善式”，
∴的值为整数，即为整数，
∴为整数，
∴或或或，
解得或（舍去）或或，
∴x的值为0或1或．
【点睛】本题考查的是新定义情境下的分式的运算，分式的化简，分式的值，分式方程等知识，掌握以上知识是解题的关键．
25.已知:在中,,点为线段上一动点（不与､重合）．
（1）如图1,若,交延长线于点,当,时,的面积为______;
（2）如图2,若,是上的一点,且满足,当时,交于点时,判断与的数量关系,并说明理由;
（3）如图3,若,点､分别为､边上的动点,当周长取最小值时,求的度数．
【答案】（1）
（2）,理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意利用全等三角形判定及性质,再代入三角形面积公式,即可算出结果;
（2）如图在线段上取一点,使得,连接利用全等三角形的判定及性质得到,继而得出结论;
（3）如图,作点关于直线的对称点F,作点关于的对称点E,连接交于点,交于点,此时的周长最小,继而利用三角形内角和定理及垂直平分线性质可得结论．
【小问1详解】
解:∵,,交延长线于点,
∴,
∴,,
在和中,
,
∴
∵,,
∴,,
∴面积为:．
【小问2详解】
解:判断:,
证明:如图4中,在线段上取一点,使得,连接,
∵,,
∴是等腰三角形,即,
∵,,
∴,
又∵,
∴,
∴,
在和中,
,
∴,
∴,
∴．
【小问3详解】
解:如图5,作点关于直线的对称点F,作点关于的对称点E,连接交于点,交于点,此时的周长最小,
∵,,,
∴,
又∵,
∴,
∴,
∴,
∵,,
∴,,
∴,
∴,
∴．
【点睛】本题主要考查全等三角形性质及判定,三角形面积公式,等腰三角形性质及判定,三角形内角和定理,轴对称,垂直平分线性质,正确做出辅助线是解出本题的关键．
票的种类
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B
C
购票人数/人
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51~100
100以上
票价/元
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