浙江省宁波市鄞州区部分学校2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

这是一份浙江省宁波市鄞州区部分学校2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知，则下列比例式成立的是( )
A. B. C. D.
2.下列函数属于二次函数的是( )
A. B.
C. D.
3.笔筒中有9支型号、颜色完全相同的铅笔，将它们逐一标上的号码，若从笔筒中任意抽出一支铅笔，则抽到编号是3的倍数的概率是( )
A. B. C. D.
4.下列二次函数的图象中，顶点在第二象限的是( )
A. B. C. D.
5.A、B是半径为5cm的上两个不同的点，则弦AB的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.关于二次函数的图象，下列说法正确的是( )
A. 它可由向右平移一个单位得到
B. 开口向下
C. 顶点坐标是
D. 与x轴有两个交点
7.下列命题正确的是( )
A. 平分弦所对的两条弧的直线必垂直于弦B. 垂直于弦的直线平分弦
C. 平分弦的直线必平分弦所对的两条弧D. 平分弦的直径必平分弦所对的两条弧
8.的半径为5，M是圆外一点，，，则弦AB的长为( )
A. 4
B. 6
C.
D. 8
9.已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线对于下列结论：①；②；③其中；④若和均在该函数图象上，且，则其中正确结论的个数共有( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
10.如图，点O是正内一点，，，，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①可以由绕点B逆时针旋转得到；②点O与的距离为4；③；④四边形面积；⑤，其中正确的结论是( )
A. ①③④⑤B. ①②③④C. ①②④⑤D. ①②③④⑤
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.一个不透明的布袋里只有6个红球和n个白球仅有颜色不同若从中任意摸出一个球是红球的概率为，则______.
12.一个扇形的半径为3cm，面积为，则此扇形的圆心角为______度．
13.用配方法把二次函数写成的形式为______.
14.已知的半径为13cm，AB，CD是的两条弦，且，，，则弦AB与CD之间的距离为______
15.已知二次函数的y与x的部分对应值如表：
根据表格中的信息，得到了如下的结论：
①二次函数可改写为的形式；
②二次函数的图象开口向下；
③关于x的一元二次方程的两个根为0或2；
④若，则
其中所有正确的结论为______.
16.已知以AB为直径的圆O，C为AB弧的中点，P为BC弧上任意一点，交AP于D，连接BD，若，则BD的最小值为______.
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题8分
已知抛物线经过点，
求该抛物线的对称轴.
自变量x在什么范围内时，y随x的增大而减小？
18.本小题8分
一个不透明的口袋中有4个大小、质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数，2，，
摇匀后任意摸出1个球，则摸出的乒乓球球面上的数是负数的概率为____；
摇匀后先从中任意摸出1个球不放回，再从余下的3个球中任意摸出1个球，用列表或画树状图的方法求两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的概率.
19.本小题8分
如图，AB是的直径，C，D在上，且位于AB异侧，，的度数分别为，，请仅用直尺按要求作图.
画出一个大小为的角，并写出该角.
画出一个以AD为腰的等腰三角形，并写出该等腰三角形.
20.本小题8分
某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径.如图，若这个输水管道有水部分的水面宽，水最深的地方的高度为
求这个圆形截面的半径.
求图中阴影部分的面积.
21.本小题8分
某商场销售成本为每件40元的商品.据市场调查分析，如果按每件50元销售，一周能卖出500件；若销售单价每涨1元，每周销量就减少10件.设销售单价为元.
若按每件55元销售，每周销量为______件；毛利润为______元.
求出一周销售量件与元的函数关系式.
设一周销售获得毛利润w元，写出w与x的函数关系式，并求出一周毛利润的最大值以及此时的销售单价.
22.本小题10分
如图，在中，，D是AB上一点，经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作，交于点
求证：四边形DBCF是平行四边形；
23.本小题10分
已知二次函数为常数的图象经过点，对称轴为直线
求二次函数的表达式；
若点向上平移2个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值；
当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围.
24.本小题12分
在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于A，B两点，点A在点B的左侧．
如图1，当时，直接写出A，B两点的坐标；
在的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出面积的最大值及此时点P的坐标；
如图2，抛物线与x轴交于点C、D两点点C在点D的左侧，在直线上是否存在唯一一点Q，使得？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：，
故选：
本题须根据比例的基本性质对每一项进行分析即可得出正确结论．
本题主要考查了比例的性质，在解题时要能根据比例的性质对式子进行变形是本题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：
A.自变量x的次数不是2，故A错误；
B.整理后得到，是一次函数，故B错误
C.由可知，自变量x的次数不是2，故C错误；
D.是二次函数的顶点式解析式，故D正确．
故选：
整理成一般形式后，根据二次函数的定义和条件判定即可．
本题考查二次函数的概念和解析式的形式，知识点简单，比较容易掌握．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查概率公式的应用，解题的关键是掌握随机事件A的概率事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
由标有的号码的9支铅笔中，标号为3的倍数的有3、6、9这3种情况，利用概率公式计算可得．
【解答】
解：在标有的号码的9支铅笔中，标号为3的倍数的有3、6、9这3种情况，
抽到编号是3的倍数的概率是，
故选：
4.【答案】C
【解析】解：二次函数的顶点为，在第一象限，不合题意；
B.二次函数的顶点为，在第四象限，不合题意；
C.二次函数的顶点为，在第二象限，符合题意；
D.二次函数的顶点为，在第三象限，不合题意；
故选：
根据二次函数的顶点式求得顶点坐标，即可判断．
本题考查二次函数的顶点坐标，解答本题的关键是明确题意，由二次函数的顶点式求出顶点的坐标进行判断即可.
5.【答案】D
【解析】解：圆中最长的弦为直径，
故选：
根据直径是圆中最长的弦求解．
本题考查了圆的认识，了解圆中最长的弦是直径最关键．
6.【答案】D
【解析】解：抛物线可以由二次函数的图象向左平移1个单位得到，
故A选项不符合题意；
，所以开口向上，
故B选项不符合题意；
顶点坐标为，
故C选项不符合题意；
根据顶点坐标以及开口向上可判定与x轴有两个交点，故D选项符合题意；
故选：
由二次函数，可得其对称轴、顶点坐标；由二次项系数，可知图象开口向上；平移的性质；对每个选项分析、判断即可．
本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，应熟练掌握二次函数的性质：顶点、对称轴的求法及图象的特点．
7.【答案】A
【解析】解：A、平分弦所对的两条弧的直线必垂直于弦，符合题意；
B、垂直于弦的直径平分弦，故原说法错误，不符合题意；
C、平分弦的直径必平分弦所对的两条弧，故原说法错误，不符合题意；
D、平分弦不是直径的直径必平分弦所对的两条弧，故原说法错误，不符合题意；
故选：
根据垂径定理和垂径定理的推论进行判断即可．
本题考查了命题与定理，垂径定理，熟练掌握垂径定理及其推论是解决问题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：过O作于C，连接OA，则，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
，OC过O，
，
即，
故选：
过O作于C，连接OA，根据含角的直角三角形的性质得出，根据勾股定理求出AC，再根据垂径定理得出，最后求出答案即可．
本题考查了含角的直角三角形的性质，勾股定理，垂径定理等知识点，能熟记垂直于弦的直径平分弦是解此题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：抛物线的对称轴为直线，且抛物线与x轴的一个交点坐标为，
抛物线与x轴的另一个交点坐标为，
把，代入，可得：
，
解得，
，故②正确；
抛物线开口方向向下，
，
，，
，故①错误；
，
，
又，，
，
即其中，故③正确；
抛物线的对称轴为直线，且抛物线开口朝下，
当时，y随x的增大而减小，
，
，故④错误，
故选：
根据抛物线与x轴的一个交点以及其对称轴，求出抛物线与x轴的另一个交点，利用待定系数法得到，，再根据抛物线开口方向向下，即可判断②正确，①错误，根据，，，可以得到，从而得到③正确；根据抛物线的增减性可以判断出④错误，问题得解．
本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象与性质是关键．
10.【答案】D
【解析】解：连接，过点O作，垂足为D，
由旋转得：，，
是等边三角形，
，，
，
，
≌，
可以由绕点B逆时针旋转得到，
故①正确；
由旋转得：
，，
是等边三角形，
，
点O与的距离为4；
故②正确；
是等边三角形，
，
≌，
，
，
是直角三角形，
，
，
故③正确；
将绕点A逆时针旋转，使得AB与AC重合，点O旋转至点的位置，连接OE，过点A作，垂足为F，如图：
，，，
是等边三角形，
，
，
，
是直角三角形，
在中，，
，
故⑤正确；
在中，，
，
故④正确；
故选：
连接，过点O作，垂足为D，由旋转的性质可得，，根据等边三角形的性质可得，从而证明≌，即可判断①正确，证明是等边三角形，即可判断②正确；根据等边三角形的性质可得，根据全等三角形的性质可证是直角三角形，即可判断③正确；将绕点A逆时针旋转，使得AB与AC重合，点O旋转至点的位置，连接OE，过点A作，垂足为F，由面积和差关系，即可判断⑤正确．在中，求出OD的长，然后根据进行计算即可判断④正确．
本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
11.【答案】9
【解析】解：根据题意，，
解得，
经检验是方程的解．
故答案为：
根据红球的概率公式，列出方程求解即可．
本题考查概率公式，根据公式列出方程求解则可．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
12.【答案】40
【解析】【分析】
设扇形的圆心角是，根据扇形的面积公式即可得到一个关于n的方程，解方程即可求解．
本题考查了扇形的面积公式，正确理解公式是解题的关键，此题难度不大．
【解答】
解：设扇形的圆心角是，
根据题意可知：，
解得，
故答案为
13.【答案】
【解析】解：，
故答案为：
先将二次项系数提取因式，再根据完全平方公式进行配方，即可解答．
本题考查了二次函数的三种形式，关键是将二次函数表达式化为顶点式．
14.【答案】7或17
【解析】解：过点O作于E，直线OE交CD于F，连接OA、OC，
如图：
，
，
，，
在中，，
在中，，
当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1，，
当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2，，
综上所述，弦AB和CD之间的距离为7cm或
分两种情况进行分类讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧，先画图，然后作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可
本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，此题难度适中，解题的关键是注意掌握数形结合思想和分类讨论思想的应用，小心不要漏解．
15.【答案】①③
【解析】解：由表格可得，
该函数的对称轴为直线，
该函数的顶点坐标为，
二次函数可改写为的形式，故①正确，符合题意；
二次函数的图象开口向上，故②错误，不符合题意；
关于x的一元二次方程的两个根为0或2，故③正确，符合题意；
若，则或，故④错误，不符合题意；
故答案为：①③．
根据表格中的数据和二次函数图象具有对称性，可以得到该函数的对称轴，然后即可得到顶点坐标，从而可以判断①；再根据图象中的数据，可以该函数图象开口向上，从而可以判断②；根据对称轴，可以得到和对应的函数值相等，即可判断③；根据表格中的数据和二次函数的性质，可以得到当时x的取值范围，从而可以判断④．
本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
16.【答案】
【解析】解：如图所示，以AC为斜边作等腰直角三角形ACQ，则，连接AC，BC，
的直径为AB，C为的中点，
，
又，
，
，，
点D的运动轨迹为以Q为圆心，AQ为半径的，
又，C为的中点，
是等腰直角三角形，
，
中，，
，
，
的最小值为
故答案为
以AC为斜边作等腰直角三角形ACQ，则，依据，可得点D的运动轨迹为以Q为圆心，AQ为半径的，依据中，，即可解决问题．
本题考查了轨迹，等腰直角三角形的性质，圆周角定理以及弧长的计算，正确寻找点D的运动轨迹是解决问题的关键．
17.【答案】解：抛物线经过点，，
抛物线的对称轴为直线；
抛物线的对称轴为直线，，开口向上，
则时，y随x的增大而减小．
【解析】根据抛物线的对称性以及抛物线与坐标轴的交点，即可求解；
根据抛物线开口向上，对称轴为直线，可得时，y随x的增大而减小，即可求解．
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
18.【答案】解：；
画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的结果数为8，
所以两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的概率
【解析】【分析】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率.
直接利用概率公式计算；
画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的结果数，然后根据概率公式求解.
【解答】
解：摇匀后任意摸出1个球，则摸出的乒乓球球面上的数是负数的概率；
故答案为：；
见答案.
19.【答案】解：如图，；
如图：等腰为所求；

【解析】由BC的度数为，可知它所对的圆周角度数为，由此即可解题；
由AD的度数为，AB是的直径，可得BD的度数为，进而可得，，延长DO交AC与E点即可得到，从而可得等腰三角形
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．
20.【答案】解：如图，过点O作AB的垂线交AB于点C，交于点D，连接OA、
设，
，
，
，，
，
在中利用勾股定理，得，即，
解得
答：这个圆形截面的半径是
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
阴影
【解析】过点O作AB的垂线交AB于点C，交于点D，连接OA、设，根据垂径定理和勾股定理计算即可；
利用三角函数求出的度数，从而求出的度数，再利用扇形和三角形的面积公式，根据“阴影部分的面积=扇形AOB的面积-三角形AOB的面积”计算即可．
本题考查垂径定理的应用、勾股定理、扇形面积的计算，掌握垂径定理的应用、勾股定理和扇形及三角形的面积计算公式是解题的关键．
21.【答案】450 6750
【解析】解：由题意得，若按每件55元销售，每周销量为件，
毛利润为元
故答案为：450；
由题意得，，
一周销售量件与元的函数关系式为；
由题意得，，
，
当时，毛利润有最大值，最大值为9000，
与x的函数关系式为，一周毛利润的最大值为9000元，此时的销售单价为70元．
由“若销售单价每涨1元，每周销量就减少10件”知，按每件55元销售，每周销量为件，利润=销售数量售价-成本；
直接根据“如果按每件50元销售，一周能卖出500件；若销售单价每涨1元，每周销量就减少10件”即可求解；
利用“利润=销售数量售价-成本”可得w关于x的二次函数，于是利用二次函数的性质求解即可．
本题主要考查二次函数的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式．
22.【答案】证明：，
，
，
，
，
，
，
，
四边形DBCF是平行四边形；
连接AE，
，，
，
四边形AECF是的内接四边形，
，
，
，
，
，

【解析】根据等腰三角形的性质得出，根据平行线的性质得出，求出，根据平行线的判定得出，根据平行四边形的判定得出即可；
求出，根据圆内接四边形的性质得出，根据平行线的性质得出，求出，根据等腰三角形的判定得出即可．
本题考查了圆周角定理及其推论，平行四边形的判定，圆内接四边形，等腰三角形的判定等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
23.【答案】解：由题意，二次函数为，
抛物线的对称轴为直线
抛物线为
又图象经过点，
抛物线为
由题意，点向上平移2个单位长度，向左平移m个单位长度，
平移后的点为
又在，
或舍去
由题意，当时，
最大值与最小值的差为
，不符合题意，舍去．
当时，
最大值与最小值的差为，符合题意．
当时，最大值与最小值的差为，解得或，不符合题意．
综上所述，n的取值范围为
【解析】依据题意，由二次函数为，可得抛物线为直线，可得b的值，再由图象经过点，求出c的值，进而可以得解；
依据题意，由点向上平移2个单位长度，向左平移m个单位长度，进而可得平移后的点为，结合在图象上，可得，进而计算可以得解；
依据题意，由，可得当时，y取最小值，最小值为，再根据、和进行分类讨论，即可计算得解．
本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值、坐标与图形变化-平移，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
24.【答案】解：当时，抛物线解析式为，直线解析式为
联立两个解析式，得：，
解得：或，
当时，；当时，，
，
设
如答图2所示，过点P作轴，交直线AB于点F，则
，
，
当时，
面积最大值为，此时点P坐标为
设直线AB：与x轴、y轴分别交于点E、F，
则，，，
在中，由勾股定理得：
令，即，解得：或
，
Ⅰ、假设存在唯一一点Q，使得，如答图3所示，
则以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q，根据圆周角定理，此时
设点N为OC中点，连接NQ，则，
，，
∽，
，即：，
解得：，
，
存在唯一一点Q，使得，此时
Ⅱ、若直线AB过点C时，此时直线与圆的交点只有另一点Q点，故亦存在唯一一点Q，使得，
将代入中，
可得，舍去，
故存在唯一一点Q，使得，此时
综上所述，或1时，存在唯一一点Q，使得
【解析】当时，联立抛物线与直线的解析式，解方程求得点A、B的坐标；
如答图2，作辅助线，求出面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出最大值及点P的坐标；
“存在唯一一点Q，使得”的含义是，以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q，由圆周角定理可知，此时且点Q为唯一．以此为基础，构造相似三角形，利用比例式列出方程，求得k的值．需要另外注意一点是考虑直线AB是否与抛物线交于C点，此时亦存在唯一一点Q，使得
本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数及一次函数的图象与性质、解方程、勾股定理、直线与圆的位置关系、相似等重要知识点，有一定的难度．第问中，注意图形面积的计算方法；第问中，解题关键是理解“存在唯一一点Q，使得”的含义．x
…
0
1
3
…
y
…
0
0
…