高中人教B版 (2019)第二章 等式与不等式2.1 等式2.1.1 等式的性质与方程的解集学案设计

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2．1.1 等式的性质与方程的解集
有只狡猾的狐狸平时总喜欢戏弄其他动物，有一天它遇见老虎，狐狸说：“我发现了2和5可以相等．我这里有一个方程5x－2＝2x－2.
等式两边同时加上2，得5x－2＋2＝2x－2＋2，即5x＝2x，
等式两边同时除以x，得5＝2”．
老虎瞪大了眼睛，一脸的疑惑．
[问题] 你认为狐狸的说法正确吗？



知识点 等式的性质与方程的解
1．等式的性质
(1)等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成立；
(2)等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立．
eq \a\vs4\al()
等式的性质拓展
(1)a1＝a2，a2＝a3，a3＝a4⇒a1＝a2＝a3＝a4；
(2)a＝b⇒c－a＝c－b；
(3)a＝b⇒－a＝－b；
(4)a＝b≠0⇒eq \f(c,a)＝eq \f(c,b).
2．恒等式
一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等．
eq \a\vs4\al()
常用重要恒等式
(1)a2－b2＝(a＋b)(a－b)；
(2)(a±b)2＝a2±2ab＋b2；
(3)a3±b3＝(a±b)(a2∓ab＋b2)；
(4)(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc.
3．方程的解集
一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集．
1．若ac＝bc，一定有a＝b吗？
提示：不一定，当c≠0时，若ac＝bc，则a＝b.
2．把方程通过适当变换后，求出的未知数的值都是这个方程的解(根)吗？
提示：把方程通过变换，求出的未知数的值不一定是这个方程的根，也可能是这个方程的增根．
1．方程2(x－2)＋x2＝(x＋1)(x－1)＋3x的解集为________．
答案：{－3}
2．若m(3x－y2)＝9x2－y4，则m＝________．
答案：3x＋y2
3．若4x2－3(a－2)x＋25是完全平方式，则a＝________．
解析：因为4x2－3(a－2)x＋25＝(2x)2－3(a－2)x＋(±5)2＝(2x±5)2，即4x2－3(a－2)x＋25＝(2x＋5)2或4x2－3(a－2)x＋25＝(2x－5)2.所以－3(a－2)＝20或－3(a－2)＝－20.解得a＝－eq \f(14,3)或a＝eq \f(26,3).
答案：－eq \f(14,3)或eq \f(26,3)
4．方程x2＋2x－15＝0的解集为________．
解析：x2＋2x－15＝0，
即(x－3)(x＋5)＝0，
所以x＝3或x＝－5.
所以方程的解集为{3，－5}．
答案：{3，－5}
[例1] 已知x＝y, 则下列各式：①x－3＝y－3；②4x＝6y；③－2x＝－2y；④eq \f(x,y)＝1；⑤eq \f(x－2,3)＝eq \f(y－2,3)；⑥eq \f(x,a)＝eq \f(y,a).其中正确的有( )
A．①②③ B．④⑤⑥
C．①③⑤ D．②④⑥
[解析] ①x－3＝y－3；③－2x＝－2y；⑤eq \f(x－2,3)＝eq \f(y－2,3)正确，故选C.
[答案] C
eq \a\vs4\al()
在等式变形中运用等式的性质时要注意，必须保证等式两边同乘以或除以的同一个数是不为零的数，此外，还要注意等式本身隐含的条件．
[跟踪训练]
设x，y，c是实数，则下列正确的是( )
A．若x＝y，则x＋c＝y－c
B．若x＝y，则xc＝yc
C．若x＝y，则eq \f(x,c)＝eq \f(y,c)
D．若eq \f(x,2c)＝eq \f(y,3c)，则2x＝3y
解析：选B 两边加不同的数结果不一定相等，故A不正确；两边都乘以c，故B正确；c＝0时，两边都除以c无意义，故C不正确；两边乘6c，得到3x＝2y，故D不正确．故选B.
角度一 利用恒等式化简
[例2] 计算下列各式：
(1)(4＋m)(16－4m＋m2)；
(2)(a＋2)(a－2)(a4＋4a2＋16)；
(3)(x＋1)(x－1)(x2－x＋1)(x2＋x＋1)；
(4)(x2＋2xy＋y2)(x2－xy＋y2)2.
[解] (1)原式＝43＋m3＝64＋m3.
(2)原式＝(a2－4)(a4＋4a2＋16)＝(a2)3－43＝a6－64.
(3)法一：原式＝(x2－1)[(x2＋1)2－x2]＝(x2－1)·(x4＋x2＋1)＝x6－1.
法二：原式＝(x＋1)(x2－x＋1)(x－1)(x2＋x＋1)＝(x3＋1)·(x3－1)＝x6－1.
(4)原式＝(x＋y)2(x2－xy＋y2)2＝[(x＋y)(x2－xy＋y2)]2＝(x3＋y3)2＝x6＋2x3y3＋y6.
eq \a\vs4\al()
1．在进行代数式的乘法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构．
2．注意乘法公式的正用、逆用及变形应用．
角度二 十字相乘法分解公式
[例3] 把下列各式因式分解：
(1)6x2＋11x－7；
(2)x＋5eq \r(xy)－6y(x>0，y>0)；
(3)(x＋y)2－z(x＋y)－6z2.
[解] (1)由十字相乘法，得：
所以6x2＋11x－7＝(2x－1)(3x＋7)．
(2)原式＝(eq \r(x)＋6eq \r(y))(eq \r(x)－eq \r(y))．
(3)原式＝(x＋y＋2z)(x＋y－3z)．
eq \a\vs4\al()
对于ax2＋bx＋c，将二次项的系数a分解成a1×a2，常数项c分解成c1×c2，并且把a1，a2，c1，c2排列如图：，按斜线交叉相乘，再相加，就得到a1c2＋a2c1，如果它正好等于ax2＋bx＋c的一次项系数b，那么ax2＋bx＋c就可以分解成(a1x＋c1)(a2x＋c2)．
[跟踪训练]
1．计算下列各式：
(1)(x－3y－4z)2；
(2)(2a＋1－b)2－(a－b)(a＋2b)；
(3)(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a＋b)3；
(4)(a－4b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)a2＋4b2＋ab)).
解：(1)原式＝x2＋9y2＋16z2－6xy－8xz＋24yz.
(2)原式＝4a2＋1＋b2＋4a－4ab－2b－(a2＋ab－2b2)＝3a2－5ab＋3b2＋4a－2b＋1.
(3)原式＝a3＋b3－(a3＋3a2b＋3ab2＋b3)＝－3a2b－3ab2.
(4)原式＝eq \f(1,4)(a－4b)(a2＋4ab＋16b2)＝eq \f(1,4)[a3－(4b)3]＝eq \f(1,4)a3－16b3.
2．因式分解：x3＋6x2＋11x＋6.
解：法一：x3＋6x2＋11x＋6
＝(x3＋3x2)＋(3x2＋9x)＋(2x＋6)
＝x2(x＋3)＋3x(x＋3)＋2(x＋3)
＝(x＋3)(x2＋3x＋2)
＝(x＋3)(x＋1)(x＋2)．
法二：x3＋6x2＋11x＋6
＝(x3＋3x2)＋(3x2＋11x＋6)①
＝x2(x＋3)＋(x＋3)(3x＋2)
＝(x＋3)(x2＋3x＋2)
＝(x＋3)(x＋1)(x＋2)．①可用十字相乘法分解因式
3×3＋2×1＝11.
角度一 求一元一次方程的解集
[例4] 求下列方程的解集：
(1)4－3(10－y)＝5y；
(2)eq \f(2x－1,3)＝eq \f(2x＋1,6)－1.
[解] (1)去括号，得4－30＋3y＝5y.
移项，得3y－5y＝30－4.
合并同类项，得－2y＝26.
系数化为1，得y＝－13.
所以该方程的解集为{－13}．
(2)去分母，得2(2x－1)＝(2x＋1)－6.
去括号，得4x－2＝2x＋1－6.
移项，得4x－2x＝1－6＋2.
合并同类项，得2x＝－3.
系数化为1，得x＝－eq \f(3,2).
所以该方程的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2))).
eq \a\vs4\al()
解一元一次方程时，有些变形的步骤可能用不到，要根据方程的形式灵活安排求解步骤．
(1)在分子或分母中有小数时，可以化小数为整数．注意根据分数的基本性质，分子、分母必须同时扩大同样的倍数；
(2)当有多层括号时，应按一定的顺序去括号，注意括号外的系数及符号．
角度二 因式分解法解一元二次方程
[例5] 求下列方程的解集：
(1)x(x＋2)＝2x＋4；
(2)16(x－5)2－9(x＋4)2＝0.
[解] (1)原方程可变形为x(x＋2)＝2(x＋2)，即 (x－2)·(x＋2)＝0，
从而x＋2＝0或x－2＝0，所以x＝－2或x＝2，方程的解集为{－2，2}．
(2)利用平方差，将原方程变为[4(x－5)＋3(x＋4)][4(x－5)－3(x＋4)]＝0，
整理可得(7x－8)(x－32)＝0，所以7x－8＝0或x－32＝0，所以x＝eq \f(8,7)或x＝32，
故原方程的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(8,7)，32)).
eq \a\vs4\al()
用因式分解法解一元二次方程的步骤
(1)将方程右边化为0；
(2)将方程的左边分解为两个一次因式的积；
(3)令每个因式等于0，得两个一元一次方程，再求解．
[跟踪训练]
1．若x＝－2是关于x的一元二次方程x2－eq \f(5,2)ax＋a2＝0的一个根，则a的值为( )
A．1或4 B．－1或－4
C．－1或4 D．1或－4
解析：选B ∵x＝－2是关于x的一元二次方程x2－eq \f(5,2)ax＋a2＝0的一个根，∴4＋5a＋a2＝0，∴(a＋1)(a＋4)＝0, 解得a＝－1或a＝－4.
2．如果方程eq \f(x－4,3)－8＝－eq \f(x＋2,2)的解集与方程4x－(3a＋1)＝6x＋2a－1的解集相同，求式子a－eq \f(1,a)的值．
解：解方程eq \f(x－4,3)－8＝－eq \f(x＋2,2)，
去分母，得2(x－4)－48＝－3(x＋2)，
去括号，得2x－8－48＝－3x－6，
移项、合并同类项，得5x＝50，
系数化为1，得x＝10.
把x＝10代入方程4x－(3a＋1)＝6x＋2a－1，
得4×10－(3a＋1)＝6×10＋2a－1，解得a＝－4.
当a＝－4时，a－eq \f(1,a)＝－4－eq \f(1,－4)＝－eq \f(15,4).
1．(多选)下列运用等式性质进行的变形，正确的是( )
A．如果eq \f(b,a)＝eq \f(d,c)，那么eq \f(b－a,a)＝eq \f(d－c,c)
B．如果eq \f(b,a)＝eq \f(d,c)，那么eq \f(b＋a,a)＝eq \f(d＋c,c)
C．如果eq \f(b,a)＝eq \f(d,c)，那么bc＝ad
D．如果eq \f(b,a)＝eq \f(d,c)，那么eq \f(c,a)＝eq \f(d,b)
解析：选ABC 选项A为分比定理；选项B为分比定理；选项C为两内项之积等于两外项之积；选项D，当b＝d＝0时，eq \f(d,b)无意义．故选A、B、C.
2．计算(3a－2b)2的结果为( )
A．9a2＋4b2 B．9a2＋6ab＋4b2
C．9a2－12ab＋4b2 D．9a2－4b2
解析：选C 由完全平方公式得，原式＝9a2－12ab＋4b2.
3．方程eq \f(3x－1,4)－1＝eq \f(5x－7,6)的解集为( )
A．－1 B．{－1}
C．8 D．{8}
解析：选B 由题得3(3x－1)－12＝2(5x－7)，所以9x－15＝10x－14，解得x＝－1.故选B.
4．已知x－2y＝6，x－3y＝4，则x2－5xy＋6y2的值为______ .
解析：∵x－2y＝6，x－3y＝4，∴原式＝(x－2y)(x－3y)＝24.
答案：24
5．分解下列多项式：
(1)x2＋5x－6；
(2)x2－2x－8；
(3)6x2＋5x－1；
(4)x2＋xy－6y2.
解：(1)x2＋5x－6＝(x＋6)(x－1)；
(2)x2－2x－8＝(x－4)(x＋2)；
(3)6x2＋5x－1＝(6x－1)(x＋1)；
(4)x2＋xy－6y2＝(x－2y)(x＋3y)．
新课程标准解读
核心素养
掌握等式的性质及常用的恒等式，会用因式分解法解一元二次方程
数学抽象、数学运算
等式性质的应用
恒等式的化简
求方程的解集