2025茂名电白区高二上学期期中考试数学含解析

这是一份2025茂名电白区高二上学期期中考试数学含解析，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟，总分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1. 如图，直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2. 经过点和的直线的倾斜角为，则（ ）
A. 3.5B. 8C. -2D. 2
3. 已知向量，，，则（ ）
A. 12B. -12C. 9D. -9
4. 已知，，三点，则的边上的高线所在直线的斜率是（ ）
A. B. C. D. 3
5. 袋子中有个大小质地完全相同球，其中个红球、个黄球，从中有放回地依次随机摸出个球，那么这个球同色的概率为（ ）
A B. C. D.
6. 在平行六面体中，，，，是与的交点，以为空间的一个基底，则直线的一个方向向量为（ ）
A. B. C. D.
7. 在长方体中，，，，在上．以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．若平面的一个法向量为，则（ ）

A. B. C. D. 1
8. 将一颗骰子先后郑两次，甲表示事件“第一次向上点数为1”，乙表示事件“第二次向上点数为2”，丙表示事件“两次向上点数之和为8”，丁表示事件“两次向上点数之和为7”，则（ ）
A. 甲与丙相互独立B. 甲与丁相互独立
C 乙与丙相互独立D. 丙与丁相互独立
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9. 若是空间的一个基底，则下列说法正确的是（ ）
A. ，，不可能共面
B 若，，则
C. 对空间任一向量，总存在有序实数组，使
D. ，，一定能构成空间的一个基底
10. 设样本空间含有等可能的样本点，且，，．则下列结论正确的有（ ）
A. B.
C. D.
11. （多选）已知空间中三个点A(0，0，0)，B(2，1，0)，C(﹣1，2，1)，则下列说法正确的是（ ）
A. 与是共线向量
B. 与同向的单位向量是
C. 在方向上的投影向量是
D. 平面ABC的一个法向量是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知直线经过点和，且方向向量，则的值为_________．
13. 设事件与相互独立，，，则______，______．
14. 如图，两条异面直线，所成的角为，在直线，上分别取点，和，，使，且．已知，，，则公垂线段的长为_________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知：，，，，，求：
（1），，；
（2）
16. 如图，在正四棱柱中，，．点，，，分别在棱，，，上，，，．

（1）证明：；
（2）点在线段上，当时，求平面与平面的夹角的余弦值．
17. 2023年11月，首届全国学生（青年）运动会广西举行.10月31日，学青会火炬传递在桂林举行，广西师范大学有5名教师参与了此次传递，其中男教师2名，女教师3名．现需要从这5名教师中任选2名教师去参加活动．
（1）写出试验“从这5名教师中任选2名教师”的样本空间；
（2）求选出的2名教师中至少有1名女教师的概率．
18. 正方体的棱长为2，为棱上一点．
（1）求证：；
（2）若为中点，求点到平面的距离；
（3）在棱上是否存在点，使得平面，若存在，指出点的位置，若不存在，说明理由．
19. 为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识挑战赛．每位选手挑战时，主持人用电脑出题的方式，从题库中随机出道题，编号为，，，电脑依次出题，选手按规则作答，挑战规则如下：
①选手每答对一道题目得分，每答错一道题目扣分；
②选手若答对第题，则继续作答第题；选手若答错第题，则失去第题的答题机会，从第题开始继续答题；直到道题目出完，挑战结束；
③选手初始分为分，若挑战结束后，累计得分不低于分，则选手挑战成功，否则挑战失败．选手甲即将参与挑战，已知选手甲答对题库中任何一题的概率均为，各次作答结果相互独立，且他不会主动放弃任何一次作答机会，求：
（1）挑战结束时，选手甲共答对道题的概率；
（2）挑战结束时，选手甲恰好作答了道题的概率；
（3）选手甲闯关成功的概率．
2024-2025学年度第一学期期中考试
高二数学
（考试时间：120分钟，总分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1. 如图，直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据倾斜角的定义分析运算.
【详解】由题意可知：直线的倾斜角为的补角，即为.
故选：C
2. 经过点和的直线的倾斜角为，则（ ）
A. 3.5B. 8C. -2D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】由两点坐标写出直线斜率，根据直线斜率的定义建立方程，求解即得.
【详解】依题意，直线的斜率为，解得.
故选：D.
3. 已知向量，，，则（ ）
A. 12B. -12C. 9D. -9
【答案】A
【解析】
【分析】利用空间向量的线性运算坐标公式和数量积坐标运算公式计算即得.
【详解】由题意，，
则
故选：A.
4. 已知，，三点，则的边上的高线所在直线的斜率是（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】边上的高线垂直于边，通过边的斜率即可求出高线的斜率.
【详解】∵，∴.
故选：B.
5. 袋子中有个大小质地完全相同的球，其中个红球、个黄球，从中有放回地依次随机摸出个球，那么这个球同色的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】依题意设个红球为，个黄球为，考虑有放回地摸球，分别列出试验的样本空间和事件“这个球同色”表示的集合，利用古典概型概率公式计算即得.
【详解】设个红球为，个黄球为，
从中有放回地依次随机摸出个球，样本空间为：
，则，
事件“这2个球同色”，则，则，
由古典概率公式，可得.
故选：D.
6. 在平行六面体中，，，，是与的交点，以为空间的一个基底，则直线的一个方向向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由向量的线性运算即可得到答案.
【详解】
故选：A.
7. 在长方体中，，，，在上．以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．若平面的一个法向量为，则（ ）

A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】设，求出，利用求出的值，即得比值.
【详解】设，则，，
因平面的一个法向量为，则，即，解得，
故，故=．
故选：B.
8. 将一颗骰子先后郑两次，甲表示事件“第一次向上点数为1”，乙表示事件“第二次向上点数为2”，丙表示事件“两次向上点数之和为8”，丁表示事件“两次向上点数之和为7”，则（ ）
A. 甲与丙相互独立B. 甲与丁相互独立
C. 乙与丙相互独立D. 丙与丁相互独立
【答案】B
【解析】
【分析】根据相互独立事件概率公式，即可判断选项.
【详解】由题意知，，，，
由于，所以甲与丁相互独立．
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9. 若是空间的一个基底，则下列说法正确的是（ ）
A. ，，不可能共面
B. 若，，则
C. 对空间任一向量，总存在有序实数组，使
D. ，，一定能构成空间的一个基底
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据空间的基底定义和空间向量基本定理，易判断A,C正确；通过举反例可排除B项；运用反证法思路，假设，，共面，经推理引出矛盾，说明假设的反面成立，即D正确.
【详解】对于A，由空间的基底定义，可知，，不可能共面，故A正确；

对于B，如图是底面为等边三角形的直三棱柱，若
则显然有，，但，不满足，故B错误；
对于C，由空间向量基本定理，可知C正确；
对于D，假设，，共面，
则存在，使，则有，
显然方程组无解，即，，不共面，
故，，一定能构成空间的一个基底，D正确.
故选：ACD.
10. 设样本空间含有等可能的样本点，且，，．则下列结论正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】易得，从而得到，判断.
【详解】解：由题意得，
则，，
所以，，，
，
故选：ABD
11. （多选）已知空间中三个点A(0，0，0)，B(2，1，0)，C(﹣1，2，1)，则下列说法正确的是（ ）
A. 与是共线向量
B. 与同向单位向量是
C. 在方向上的投影向量是
D. 平面ABC的一个法向量是
【答案】BCD
【解析】
【分析】A：由向量共线定理，应用坐标运算判断是否存在λ使；B：与同向的单位向量是即可判断；C：由投影向量的定义可解；D：应用平面法向量的求法求平面ABC的一个法向量，即可判断．
【详解】由题意得，，
A：若与共线，设，则，方程无解，故不共线，A错误；
B：与同向的单位向量是，B正确；
C：在方向上的投影向量是，C正确；
D：设平面ABC的一个法向量是，则，令，
则，D正确．
故选：BCD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知直线经过点和，且方向向量，则值为_________．
【答案】2
【解析】
【分析】直线斜率两种表示方法建立等式，求解即可.
【详解】，∴
故答案为：2
13. 设事件与相互独立，，，则______，______．
【答案】 ①. 0.36 ②. 0.94
【解析】
【分析】由独立事件的交事件和并事件计算公式计算出结果.
【详解】因为事件A与B相互独立，所以，
又.
故答案为：0.36；0.94
14. 如图，两条异面直线，所成的角为，在直线，上分别取点，和，，使，且．已知，，，则公垂线段的长为_________．
【答案】或##或2
【解析】
【分析】根据空间向量基本定理，将用表示出来，借助于相关模长、夹角条件，利用空间向量的数量积运算律列出方程，求解即得.
【详解】
由已知，得或，
设，因为，而,
则
当时，可得，解得：；
当时，可得，解得.
综上可知，即公垂线段的长为或.
故答案为：2或.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知：，，，，，求：
（1），，；
（2）
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据平行关系设，求出，利用向量垂直得到；
（2）利用向量夹角余弦公式求出答案．
【小问1详解】
因为，所以设，即，
故，解得，
，
，
∴，解得，
；
【小问2详解】
，
.
16. 如图，在正四棱柱中，，．点，，，分别在棱，，，上，，，．

（1）证明：；
（2）点在线段上，当时，求平面与平面的夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，然后求出的坐标，根据坐标即可证明；
（2）求出平面与平面的法向量，然后利用夹角公式列方程求解即可．
【小问1详解】
证明：以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，

则，
，
，
，
又不在同一条直线上，.
【小问2详解】
由已知得，则，
设平面的法向量，
则，令，得，
，
设平面的法向量，
则，令，得，
，，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
17. 2023年11月，首届全国学生（青年）运动会在广西举行.10月31日，学青会火炬传递在桂林举行，广西师范大学有5名教师参与了此次传递，其中男教师2名，女教师3名．现需要从这5名教师中任选2名教师去参加活动．
（1）写出试验“从这5名教师中任选2名教师”的样本空间；
（2）求选出的2名教师中至少有1名女教师的概率．
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）写出试验包含的所有可能发生的情况组成样本空间；
（2）写出所求事件包含的的情况数，根据古典概型即可计算概率．
【小问1详解】
将2位男教师记为，3位女教师记为，
则样本空间，共有10个样本点．
【小问2详解】
设事件表示“选出的2名教师中至少有1名女教师”，
则，
中包含9个样本点，故．
18. 正方体的棱长为2，为棱上一点．
（1）求证：；
（2）若为中点，求点到平面的距离；
（3）在棱上是否存在点，使得平面，若存在，指出点的位置，若不存在，说明理由．
【答案】（1）证明见解析；
（2）
（3）棱上不存在点，使得平面，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，计算，即可证明；
（2）在空间直角坐标系中，求出面的法向量，利用空间中点到平面的距离公式计算即可；
（3）在空间直角坐标系中，设，求出面的法向量，若平面，则，求出的值，即可判断棱上是否存在点.
【小问1详解】
以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
因为正方体的棱长为2，
所以，，，
又为棱上一点，设，则，
所以，，
所以，
所以，即.
【小问2详解】
由（1）建系可知，，，，
因为为中点，所以，
所以，，，
设面的法向量为，
则即，化简为，
令，则.所以，
所以点到平面的距离.
【小问3详解】
棱上不存在点，使得平面，理由如下：
由（1）建系可知，，，，，
因为为棱上一点，设，则
所以，，，
设面的法向量为，
则即，
令，则.所以，
若平面，则，
所以，解得，故在棱上不存在点，使得平面.
19. 为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识挑战赛．每位选手挑战时，主持人用电脑出题的方式，从题库中随机出道题，编号为，，，电脑依次出题，选手按规则作答，挑战规则如下：
①选手每答对一道题目得分，每答错一道题目扣分；
②选手若答对第题，则继续作答第题；选手若答错第题，则失去第题的答题机会，从第题开始继续答题；直到道题目出完，挑战结束；
③选手初始分为分，若挑战结束后，累计得分不低于分，则选手挑战成功，否则挑战失败．选手甲即将参与挑战，已知选手甲答对题库中任何一题的概率均为，各次作答结果相互独立，且他不会主动放弃任何一次作答机会，求：
（1）挑战结束时，选手甲共答对道题的概率；
（2）挑战结束时，选手甲恰好作答了道题的概率；
（3）选手甲闯关成功的概率．
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
【分析】（1）根据“选手甲共答对道即选手甲前题答对且第题答错”，结合相互独立事件概率计算公式、概率的加法公式，计算出所求概率.
（2）根据“选手甲恰好作答了道题即选手甲第题答错或第一题答对且第题答错”， 结合相互独立事件概率计算公式，计算出所求概率.
（3）根据““选手甲闯关成功”是“选手甲恰好作答了道题”的对立事件”，结合（2）以及对立事件的性质，计算出所求概率.
【详解】设为选手答对题，其中.
（1）设挑战结束后，选手甲共答对道题为事件，
选手甲共答对道即选手甲前题答对且第题答错，所以，
所以，由事件独立性的定义得
.
（2）设挑战结束时，选手甲恰好作答了道题为事件，
选手甲恰好作答了道题即选手甲第题答错或第一题答对且第题答错
所以
由概率的加法公式和事件独立性的定义得
（3）设选手甲挑战成功为事件
若选手甲挑战成功，则选手甲共作答了道题，且选手甲只可能作答题或道题
所以“选手甲闯关成功”是“选手甲恰好作答了道题”的对立事件，
所以
根据对立事件的性质得