2023-2024学年新疆克州九年级（上）期末数学试卷

这是一份2023-2024学年新疆克州九年级（上）期末数学试卷，共19页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）下列与杭州亚运会有关的图案中，中心对称图形是（ ）
A．B．C．D．
2．（4分）用配方法解方程x2﹣6x﹣1＝0，变形正确的是（ ）
A．（x﹣3）2＝1B．（x﹣6）2＝1C．（x﹣3）2＝10D．（x﹣6）2＝10
3．（4分）“清明时节雨纷纷”这个事件是（ ）
A．必然事件B．确定性事件
C．不可能事件D．随机事件
4．（4分）抛物线y＝﹣3（x+1）2﹣2的顶点坐标是（ ）
A．（1，2）B．（1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（﹣1，﹣2）
5．（4分）已知⊙O的半径为3，OA＝4，则点A在（ ）
A．⊙O内B．⊙O上C．⊙O外D．无法确定
6．（4分）已知点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（3，y3）都在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3
7．（4分）一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为72°，则该正多边形的边数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
8．（4分）如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别是P、C、D．若AB＝8，AC＝5，则BD的长是（ ）
A．3B．4C．5D．6
9．（4分）若m＜n＜0，且关于x的方程ax2﹣2ax+3﹣m＝0（a＜0）的解为x1，x2（x1＜x2），关于x的方程ax2﹣2ax+3﹣n＝0（a＜0）的解为x3，x4（x3＜x4）．则下列结论正确的是（ ）
A．x3＜x1＜x2＜x4B．x1＜x3＜x4＜x2
C．x1＜x2＜x3＜x4D．x3＜x4＜x1＜x2
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分.请按答题卷中的要求作答）
10．（4分）点P（﹣3，4）关于原点对称的点的坐标是 ．
11．（4分）已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣6＝0的一个根是2，求方程的另一根是 ．
12．（4分）在一个不透明的袋子里装有红球和白球共50个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸出白球的频率稳定在0.3左右，则袋子里白球可能是 个．
13．（4分）如图，在平面直角坐标系中，⊙M的半径为1，点M的坐标为（﹣5，0），若将⊙M沿x轴正方向平移t个单位长度后与y轴相切，则t＝ ．
14．（4分）如图，用圆心角为120°，半径为3cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，则这个纸帽的高是 cm．
15．（4分）如图，矩形ABCD的边AB与y轴平行，顶点B的坐标为（1，m），D（5，m+2），反比例函数的图象同时经过点A与点C，则k的值为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（12分）解下列方程：
（1）2x2﹣3x+1＝0；
（2）3（x﹣1）2＝2（1﹣x）．
17．（10分）实验中学有一块长10米，宽7米的矩形小花园，如图，现要在内部修建三条宽相等的小路，其中一条路与矩形花园的长平行，另两条路与矩形花园的宽平行，其余区域种植花卉，若花卉种植面积为48平方米，求花园中间小路的宽．
18．（11分）如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，﹣1），B（﹣2，0），C（﹣4，﹣3）．
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC，则△ABC的面积是 ；
（2）作出△ABC关于原点O对称的△A'B'C'；
（3）已知P为y轴上一点，若△ABP的面积为4，则点P的坐标是 ．（直接写出结果）
19．（10分）泰州的旅游景点很多，现有A、B、C三个景点．
（1）若小明任选一个景点游玩，问选中A景点的概率是多少？
（2）若小明任选两个景点游玩，问选中A和B两个景点的概率是多少？（用列表法或树状图求解）
20．（11分）如图，直角三角形ABC中，∠C＝90°，点E为AB上一点，以AE为直径的⊙O上一点D在BC上，且AD平分∠BAC．
（1）证明：BC是⊙O的切线；
（2）若BD＝4，BE＝2，求AB的长．
21．（12分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于点A（﹣3，n），B（2，3）．
（1）求反比例函数与一次函数的函数表达式；
（2）连接OA，OB，求△OAB的面积；
（3）请结合图象直接写出不等式的解集．
22．（11分）掷实心球是中招体育考试的选考项目，如图①是一名女生掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图②所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处．
（1）求抛物线的表达式；
（2）根据中招体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于7.80m，此项考试得分为满分10分，该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．
23．（13分）【建立模型】（1）如图1，点B是线段CD上的一点，AC⊥BC，AB⊥BE，ED⊥BD，垂足分别为C，B，D，AB＝BE．求证：△ACB≌△BDE；
【类比迁移】（2）如图2，点A（﹣3，a）在反比例函数图象上，连接OA，将OA绕点O逆时针旋转90°到OB，若反比例函数经过点B．
①求点B的坐标；
②求反比例函数的解析式；
【拓展延伸】（3）如图3，抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点，已知点Q（0，﹣1），连接AQ，抛物线上是否存在点M，使得∠MAQ＝45°，若存在，求出点M的横坐标．
2023-2024学年新疆克州九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分．请按答题卷中的要求作答）
1．【分析】根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【解答】解：选项B、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，
故选：A．
【点评】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
2．【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上9，然后把方程左边写成完全平方形式即可．
【解答】解：∵x2﹣6x﹣1＝0，
∴x2﹣6x+9＝10，
∴（x﹣3）2＝10，
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
3．【分析】根据事件发生的可能性大小判断．
【解答】解：“清明时节雨纷纷”这个事件是随机事件，
故选：D．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4．【分析】根据题目中的抛物线解析式，可以直接写出该抛物线的顶点坐标，本题得以解决．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣3（x+1）2﹣2，
∴该抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣2），
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
5．【分析】根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系．点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外．
【解答】解：⊙O半径为3，
∴OA＝4＞3，
∴点P在圆外．
故选：C．
【点评】本题考查了点和圆的位置关系与数量之间的联系：当点到圆心的距离大于圆的半径时，则点在圆外．
6．【分析】先根据反比例函数中k＞0判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数y＝中k＞0，
∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小．
∵﹣3＜﹣1＜0，
∴点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2）位于第三象限，
∴y2＜y1＜0，
∵3＞0，
∴点C（3，y3）位于第一象限，
∴y3＞0，
∴y2＜y1＜y3．
故选：D．
【点评】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，比较简单．
7．【分析】根据正多边形的中心角＝计算即可．
【解答】解：设正多边形的边数为n．
由题意可得：＝72°，
∴n＝5，
故选：B．
【点评】本题考查正多边形的有关知识，解题的关键是记住正多边形的中心角＝．
8．【分析】由于AB、AC、BD是⊙O的切线，则AC＝AP，BP＝BD，求出BP的长即可求出BD的长．
【解答】解：∵AC、AP为⊙O的切线，
∴AC＝AP＝5，
∵BP、BD为⊙O的切线，
∴BP＝BD，
∴BD＝PB＝AB﹣AP＝8﹣5＝3．
故选：A．
【点评】本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键．
9．【分析】关于x的方程ax2﹣2ax+3﹣m＝0（a＜0）的解为x1，x2（x1＜x2）可理解为抛物线y＝ax2﹣2ax+3与直线y＝m的两交点的横坐标分别为x1，x2（x1＜x2），如图，同样得到抛物线y＝ax2﹣2ax+3与直线y＝n的两交点的横坐标分别为x3，x4（x3＜x4），如图，然后利用函数图象进行判断．
【解答】解：∵关于x的方程ax2﹣2ax+3﹣m＝0（a＜0）的解为x1，x2（x1＜x2），
∴抛物线y＝ax2﹣2ax+3与直线y＝m的两交点的横坐标分别为x1，x2（x1＜x2），如图，
∵关于x的方程ax2﹣2ax+3﹣n＝0（a＜0）的解为x3，x4（x3＜x4），
∴抛物线y＝ax2﹣2ax+3与直线y＝n的两交点的横坐标分别为x3，x4（x3＜x4），如图，
∴x1＜x3＜x4＜x2．
故选：B．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分.请按答题卷中的要求作答）
10．【分析】本题比较容易，考查平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．
【解答】解：根据中心对称的性质，得点P（﹣3，4）关于原点对称的点的坐标是（3，﹣4）．
【点评】这一类题目是需要识记的基础题，解决的关键是对知识点的正确记忆．
11．【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，且a，b，c是常数）的两个实根之积求出另一根即可．
【解答】解：设方程的另一根为x1，由韦达定理：2x1＝﹣6，
∴x1＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于﹣，两根之积等于”是解题的关键．
12．【分析】根据红球出现的频率和球的总数，可以计算出红球的个数．
【解答】解：由题意可得，
50×0.3＝15（个），
即袋子中白球的个数最有可能是15个，
故答案为：15．
【点评】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，计算出红球的个数．
13．【分析】当⊙M在y轴的左边平移t个单位长度后与y轴相切时，当⊙M在y轴的右边平移t个单位长度后与y轴相切时，根据切线的性质即可得到结论．
【解答】解：如图，当⊙M在y轴的左边平移t个单位长度后与y轴相切时，
∵点M的坐标为（﹣5，0），
∴OM＝5，
∵⊙M与y轴相切，
∴t＝5﹣1＝4，
当⊙M在y轴的右边平移t个单位长度后与y轴相切时，∵点M的坐标为（﹣5，0），
∴OM＝5，
∵⊙M与y轴相切，
∴t＝5+1＝6，
∴t＝4或6，
故答案为：4或6．
【点评】本题考查了切线的性质，坐标与图形性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
14．【分析】设这个圆锥的底面圆的半径为r cm，由于这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到2πr＝，解方程求出r，然后利用勾股定理计算圆锥的高即可．
【解答】解：设这个圆锥的底面圆的半径为r cm，
根据题意得2πr＝，
解得r＝1，
即这个圆锥的底面圆的半径为1cm，
所以这个纸帽的高为＝2（cm）．
故答案为：2．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
15．【分析】根据矩形的性质得出A、C点坐标，再利用待定系数法求出反比例函数解析式．
【解答】解：∵矩形ABCD的边AB与y轴平行，顶点B的坐标为（1，m），D（5，m+2），
∴A（1，m+2）、C（5，m），
∵反比例函数的图象同时经过点A与点C，
∴k＝m+2＝5m，
解得：m＝，
∴k＝＝，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，正确得出B点坐标是解题关键．
三、解答题（本大题共8小题，共90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．【分析】（1）先利用因式分解法把方程转化为2x﹣1＝0或x﹣1＝0，然后解两个一元一次方程即可；
（2）先移项，再利用因式分解法把方程转化为x﹣1＝0或3x﹣3+2＝0，然后解两个一元一次方程即可．
【解答】解：（1）2x2﹣3x+1＝0，
（2x﹣1）（x﹣1）＝0，
2x﹣1＝0或x﹣1＝0，
所以x1＝，x2＝1；
（2）3（x﹣1）2＝2（1﹣x），
3（x﹣1）2+2（x﹣1）＝0，
（x﹣1）（3x﹣3+2）＝0，
x﹣1＝0或3x﹣3+2＝0，
所以x1＝1，x2＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
17．【分析】设花园中间小路的宽为x米，则其余区域可合成长为（10﹣2x）米，宽为（7﹣x）米的矩形，根据花卉种植面积为48平方米，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设花园中间小路的宽为x米，则其余区域可合成长为（10﹣2x）米，宽为（7﹣x）米的矩形，
根据题意得：（10﹣2x）（7﹣x）＝48，
整理得：x2﹣12x+11＝0，
解得：x1＝1，x2＝11（不符合题意，舍去）．
答：花园中间小路的宽为1米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
18．【分析】（1）根据点的坐标画出图形，再利用分割法求出三角形ABC的面积；
（2）利用中心对称的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′；
（3）设P（0，m），构建方程求解．
【解答】解：（1）如图，△ABC即为所求，△ABC 的面积＝3×4﹣×2×3﹣×1×2﹣×2×4＝4．
故答案为：4．
（2）如图，△A'B'C'即为所求；
（3）设P为（0，m）．
由题意|m+1|×2＝4，
解得m＝3或﹣5
∴点P的坐标是（0，3）或（0，﹣5）．
故答案为：（0，3）或（0，﹣5）．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，学会用分割法求三角形面积．
19．【分析】（1）直接利用概率公式求解；
（2）画树状图展示所有6种等可能的结果数，找出选中A和B两个景点的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）小明任选一个景点游玩，问选中A景点的概率＝；
（2）画树状图为：
共有6种等可能的结果数，其中选中A和B两个景点的结果数为2，
所以选中A和B两个景点的概率＝＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
20．【分析】（1）连接OD，根据平行线判定推出OD∥AC，推出OD⊥BC，根据切线的判定推出即可；
（2）根据勾股定理求出OD＝OA＝OE＝3，再根据线段的和差求解即可．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC，
∴∠C+∠ODC＝180°，
∵∠C＝90°，
∴∠ODC＝90°，
∴OD⊥BC，
∵OD为半径，
∴BC是⊙O切线；
（2）解：设OD＝OE＝r，
在Rt△ODB中，BD＝4，BE＝2，
∴OB＝r+2，
由勾股定理，得：r2+42＝（r+2）2，
解得：r＝3，
∴OD＝OA＝OE＝3，
∴AB＝6+2＝8．
【点评】本题考查了切线的判定、勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定定理、勾股定理是解题的关键．
21．【分析】（1）根据待定系数法求出两个函数解析式即可；
（2）利用直线解析式求出OC长，根据 即可；
（3）根据图像和两个函数的交点坐标，可直接写出不等式的解集即可．
【解答】解：（1）∵B（2，3）在反比例函数 的图象上．
∴m＝6，，
又A（﹣3，n）在 上，
∴n＝﹣2，A（﹣3，﹣2），
将A（﹣3，﹣2），B（2，3）代入 y＝kx+b 得：
，解得，
∴直线解析式为：y＝x+1；
（2）如图，设直线AB交x轴于点C，令y＝x+1＝0，则 x＝﹣1，
∴C（﹣1，0），OC＝1，
∴；
（3）根据图像位置和两个函数的交点坐标，不等式的解集为：x＜﹣3或0＜x＜2．
【点评】本题考查了一次函数图象与反比例函数图象的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式．
22．【分析】（1）根据题意设出y关于x的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令y＝0，解方程即可．
【解答】解：（1）设y关于x的函数表达式为y＝a（x﹣3）2+3，把 代入上式得，
，
解得 ．
∴y关于x的函数表达式为y＝﹣（x﹣3）2+3．
（2）该女生在此项考试中没有得满分．理由如下：
当y＝0时，即：，
解得 x1＝7.5，x2＝﹣1.5 （舍去），
∵7.5＜7.80，
∴该女生在此项考试中没有得满分．
【点评】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，关键是理解题意把函数问题转化为方程问题．
23．【分析】（1）证明∠A＝∠EBD，从而证明三角形全等；
（2）①分别过点A，B作 AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足分别为C，D，证明AC＝1，OC＝3，再证明△ACO≌△ODB，即可得到点B的坐标；
②把B（1，﹣3）代入反比例函数 ，即可得到函数解析式；
（3）分M点位于x轴上方和M点位于x轴下方两种情况，分别求出直线AM的函数解析式，联立二次函数的解析式即可求出点M的横坐标．
【解答】（1）证明：∵AC⊥BC，AB⊥BE，ED⊥BD，
∴∠A+∠ABC＝90°，∠ABC+∠EBD＝90°，∠C＝∠D＝90°，
∴∠A＝∠EBD，
在△ABC与△BED中，
，
∴△ACB≌△BDE（AAS）；
（2）①分别过点A，B作 AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足分别为C，D，
将A（﹣3，a）代入 ，
得a＝﹣1，
∴点A的坐标为（﹣3，﹣1），
∴AC＝1，OC＝3，
由OA绕点O逆时针旋转90°到OB，
得OA＝OB，OA⊥OB，
同（1）可得△ACO≌△ODB，
∴OD＝AC＝1，BD＝OC＝3，
∴点B的坐标为（1，﹣3）；
②把B（1，﹣3）代入反比例函数 ，
得，
解得k＝﹣3，
∴反比例函数的解析式为；
（3）抛物线上存在点M，使得∠MAQ＝45°，理由如下：
当M点位于x轴上方，且∠MAQ＝45°，
过点Q作QD⊥AQ，交MA于点D，过点D作DE⊥y轴于点E，
∵∠MAO＝45°，QD⊥AQ，
∴∠MAQ＝∠ADQ＝45°，
∴AQ＝QD，
∵DE⊥y轴，QD⊥AQ，
∴∠AQO+∠EQD＝∠EQD+∠QDE＝90°，∠AOQ＝∠QED＝90°，
∴∠AQO＝∠QDE，
∵AQ＝QD，
∴△AQO≌△QDE（AAS），
∴AO＝QE，OQ＝DE
令 y＝x2+2x﹣5＝0，得 x1＝﹣3，x2＝1，
∴点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（1，0），
∴AO＝QE＝3，
∵Q（0，﹣1），
∴OQ＝DE＝1，
∴点D的坐标为（1，2），
设直线AM的解析式为y＝kx+b，代入A（﹣3，0），D（1，2），
得，
解得，
∴直线AM的解析式为，
令 ，得（不合题意，舍去），
∴点M的横坐标为；
当M点位于x轴下方，且∠MAQ＝45°，
同理可得D（﹣1，﹣4），直线AM的解析式为y＝﹣2x﹣6，
由﹣2x﹣6＝x2+2x﹣5，得x1＝﹣1，x2＝﹣3（不合题意，舍去），
∴点M的横坐标为﹣1；
综上所述，点M的横坐标是或﹣1．
【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定，待定系数法求反比例函数解析式，二次函数中的存在性问题，本题的关键是利用分类讨论思想，根据题意画出对应的图，结合全等三角形的性质解题．