2023-2024学年新疆克州八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年新疆克州八年级（下）期中数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各式是二次根式的是( )
A. 2B. −4C. −32D. 38
2.下列各组三条线段组成的三角形是直角三角形的是( )
A. 2，3，4B. 3，4，5C. 6，8，11D. 5，12，12
3.在▱ABCD中，∠B=45°，则∠A=( )
A. 22.5°B. 45°C. 90°D. 135°
4.下列计算正确的是( )
A. 2+ 3= 5B. 3 3− 3=2C. 18÷ 2=3D. 5 2×2 5=10
5.以直角三角形的三边为边长分别向外作正方形，如图字母B所代表的正方形的面积是( )
A. 12
B. 13
C. 144
D. 194
6.下列说法正确的有个( )
①矩形的对角线互相平分且相等，
②有一组邻边相等的四边形是菱形，
③平行四边形的对角相等，
④有一个角是直角的菱形是正方形．
A. 1B. 2C. 3D. 4
7.请计算式子38−2× 12的值( )
A. 12B. 4− 2C. 1D. 2− 2
8.如图所示，已知DE是△ABC的中位线，AB=6，AC=10，点F是DE延长线上的一点，且∠AFC=90°，求线段EF的长为( )
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.要使二次根式 x−4有意义，则x应满足的条件是______．
10.如图，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米的点C处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB=2米，则树高为______米．
11.已知a、b、c是△ABC的三边长且c=5，a、b满足关系式 a−4+(b−3)2=0，则△ABC的形状为______三角形．
12.已知菱形ABCD的对角线AC=10，BD=24，则菱形ABCD的面积为______．
13.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=10，D为BC上一点，将AC沿AD折叠，使点C落在AB上点C1处，则CD的长为______．
14.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，点P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为______．
三、解答题：本题共8小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题6分)
计算．
(1) 18+ 2− 8；
(2) 27÷ 32−( 3+1)( 3−1)．
16.(本小题5分)
若实数x，y满足y= x−1+ 1−x+2，求 x+1y−1的值．
17.(本小题5分)
已知：如图，▱ABCD中，E，F是AB，CD上两点，且AE=CF.求证：DE=BF．
18.(本小题6分)
如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，请你根据所学的知识解决下列问题．
(1)求△ABC的面积；
(2)判断△ABC是什么形状，并说明理由．
19.(本小题6分)
如图所示，在四边形ABCD中，AB=AD，AC是∠BAD的角平分线，AD/​/CB．
求证：四边形ABCD是菱形．
20.(本小题6分)
一艘轮船以16海里/时的速度离开港口(如图)，向北偏东40°方向航行，另一艘轮船在同时以12海里/时的速度向北偏西一定的角度的航向行驶，已知它们离港口一个半小时后相距30海里(即BA=30)，问另一艘轮船的航行的方向是北偏西多少度？
21.(本小题8分)
课本再现：
(1)定理证明：为了证明该定理，小红同学画出了图形(如图1)，并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程：
已知：在▱ABCD中，对角线AC=BD，求证：四边形ABCD是矩形．
(2)如图2，若点E为矩形ABCD边CB延长线上一点，且ED平分∠AEC，∠AEC=60°，若AE=3.求EC的长为多少？
22.(本小题8分)
在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如5 3, 23，2 3+1一样的式子，这样的式子我们可以将其进一步化简：
①1 2+1= 2−1( 2+1)( 2−1)= 2−1；②1 3+ 2= 3− 2( 3+ 2)( 3− 2)= 3− 2；
③1 4+ 3= 4− 3( 4+ 3)( 4− 3)= 4− 3；…
以上这种化简的方法叫做分母有理化，通过观察请利用分母有理化解答下列问题：
(1)利用你观察到的规律，化简1 7+ 6；
(2)计算：11+ 2+1 2+ 3+1 3+ 4++1 99+ 100．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A． 2中被开方数2>0，是二次根式，故本选项符合题意；
B. −4中被开方数−4<0，不是二次根式，故本选项不符合题意；
C. −32中被开方数−32=−9<0，不是二次根式，故本选项不符合题意；
D.38的根指数是3，不是2，不是二次根式，故本选项不符合题意．
故选：A．
根据二次根式的定义逐个判断即可．
本题考查了二次根式的定义，能数据二次根式的定义(当a≥0时，形如 a的式子叫二次根式)是解此题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：A、∵22+32=13，42=16，
∴22+32≠42，
∴不能组成直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵42+32=25，52=25，
∴42+32=52，
∴能组成直角三角形，
故B符合题意；
C、∵62+82=100，112=121，
∴62+82≠112，
∴不能组成直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵122+52=169，122=144，
∴122+52≠122，
∴不能组成直角三角形，
故D不符合题意；
故选：B．
根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD/​/BC，
∴∠B+∠A=180°，
∵∠B=45°，
∴∠A=135°，
故选：D．
根据平行四边形的性质得出AD//BC，再根据平行线的性质求解即可．
此题考查了平行四边形的性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：A、 2与 3不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，不符合题意；
B、3 3− 3=2 3，原计算错误，不符合题意；
C、 18÷ 2= 9=3，正确，符合题意；
D、5 2×2 5=10 10，原计算错误，不符合题意，
故选：C．
根据二次根式混合运算的法则进行计算即可．
本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵169−25=132−52=122，
∴字母B所代表的正方形的面积=122=144．
故选：C．
根据已知两个正方形的面积169和25，求出各个的边长，然后再利用勾股定理求出字母B所代表的正方形的边长，然后即可求得其面积．
此题主要考查勾股定理这一知识点，比较简单，要求学生应熟练掌握．
6.【答案】C
【解析】解：①矩形的对角线互相平分且相等，故符合题意；
②有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故不符合题意；
③平行四边形的对角相等，故符合题意；
④有一个角是直角的菱形是正方形，故符合题意．
故选：C．
根据正方形的判定定理，菱形的判定定理，平行四边形的性质，矩形的性质定理判断即可．
本题考查了正方形的判定，菱形的判定，平行四边形的性质，矩形的性质，熟练掌握各判定定理和性质定理是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：原式=2− 2，
故选：D．
利用立方根的定义及二次根式的乘法法则计算即可．
本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：∵DE是△ABC的中位线，AB=6，
∴DE=12AB=3，
∵∠AFC=90°，AC=10，点D是AC的中点，
∴DF=12AC=5，
∴EF=DF−DE=2，
故选：D．
根据三角形的中位线定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到结论．
本题考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线．熟练掌握三角形的中位线定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
9.【答案】x≥4
【解析】解：根据二次根式有意义得：x−4≥0，
解得：x≥4．
故答案为：x≥4．
根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解决问题的关键．
10.【答案】(1+ 5)
【解析】解：由题意得：在直角△ABC中，
AC2+AB2=BC2，
则12+22=BC2，
∴BC= 5，
∴则树高为：(1+ 5)m．
故答案为：(1+ 5).
根据题意利用勾股定理得出BC的长，进而得出答案．
此题主要考查了勾股定理的应用，熟练利用勾股定理得出BC的长是解题关键．
11.【答案】直角
【解析】【分析】
本题考查了二次根式的性质，偶次方，勾股定理的逆定理的应用，关键是求出a2+b2=c2．
根据二次根式和偶次方的非负性求出a、b的值，根据勾股定理的逆定理判断即可．
【解答】
解：∵ a−4+(b−3)2=0，
∴a−4=0，b−3=0，
解得：a=4，b=3，
∵c=5，
∴a2+b2=c2，
∴∠C=90°，
即△ABC是直角三角形，
故答案为直角．
12.【答案】120
【解析】解：∵菱形ABCD的对角线AC=10，BD=24，
∴菱形的面积S=12AC⋅BD=12×10×24=120．
故答案为120．
根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．
本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．
13.【答案】3
【解析】解：∵∠C=90°，AC=6，AB=10，
∴BC=8，
由折叠可得AC1=AC=6，
∴BC1=10−6=4，
设CD=x，则BD=8−x，
在Rt△DBC1中，42+x2=(8−x)2，
∴x=3．
∴CD=3，
故答案为：3．
先根据勾股定理求得AB的长，再根据折叠的性质求得AC1，BC1的长，从而利用勾股定理可求得CD的长．
本题考查了翻折变换的性质，解题时我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
14.【答案】4.8
【解析】解：连接AP，
∵∠BAC=90°，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠BAC=∠AEP=∠AFP=90°，
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF=AP，
要使EF最小，只要AP最小即可，
过A作AP′⊥BC于P′，此时AP′最小，
在Rt△BAC中，∠A=90°，AC=8，AB=6，由勾股定理得：
BC= AB2+AC2= 62+82=10，
由三角形面积公式得：12×8×6=12×10×AP′，
∴AP′=4.8，
即EF=4.8，
故答案为：4.8．
根据已知得出四边形AEPF是矩形，得出EF=AP，要使EF最小，只要AP最小即可，根据垂线段最短得出即可．
本题利用了矩形的性质和判定、勾股定理、垂线段最短的应用，解此题的关键是确定出何时，EF最短，题目比较好，难度适中．
15.【答案】解：(1)原式=3 2+ 2−2 2
=2 2；
(2)原式=3 3×2 33−(3−1)
=6−2
=4．
【解析】(1)根据二次根式的混合运算法则计算即可；
(2)根据二次根式的混合运算法则和平方差公式计算即可．
本题考查的是二次根式的混合运算和平方差公式，熟练掌握上述知识点是解题的关键．
16.【答案】解：由题意，得
1−x≥0，1−x≤0，
解得x=1，
当x=1时，y=2．
当x=1，y=2时， x+1y−1= 2．
【解析】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出x，y的值是解题关键．
根据被开方数是非负数，可得x，y的值，根据代数式求值，可得答案．
17.【答案】证明：在平行四边形ABCD中，
AB/​/CD，AB=CD，
∵AE=CF，
∴BE=DF，BE/​/DF．
∴四边形DEBF是平行四边形．
∴DE=BF．
【解析】要证DE=BF，只需证四边形DEBF是平行四边形，而很快证出BE=DF，BE/​/DF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证出．
本题考查了平行四边形的判定．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
18.【答案】解：(1)如图：

由题意得：△ABC的面积=正方形DECF的面积−△ADB的面积−△ACE的面积−△BCF的面积
=4×4−12×2×1−12×2×4−12×3×4
=16−1−4−6
=5，
∴△ABC的面积为5；
(2)△ABC是直角三角形，
理由：由题意得：AB2=12+22=5，
AC2=22+42=20，
BC2=32+42=25，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC是直角三角形．
【解析】(1)根据题意可得：△ABC的面积=正方形DECF的面积−△ADB的面积−△ACE的面积−△BCF的面积，然后进行计算即可解答；
(2)根据勾股定理的逆定理进行计算，即可解答．
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键．
19.【答案】证明：∵AC是∠BAD的角平分线，
∴∠DAC=∠BAC，
在△DAC和△BAC中，
AD=AB∠DAC=∠BACAC=AC，
∴△DAC≌△BAC(SAS)，
∴AD=CB，
又∵AD=CB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形．
【解析】根据SAS可以证明△DAC和△BAC全等，从而可以得到AD=BC，再根据AD/​/CB和AB=AD，即可证明结论成立．
本题考查菱形的判定、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20.【答案】解：由题意可知，OA=16+16×12=24(海里)，OB=12+12×12=18(海里)，AB=30海里，
∵242+182=302，即OA2+OB2=AB2，
∴△OAB是直角三角形，
∵∠AOD=40°，
∴∠BOD=90°−40°=50°，即另一艘轮船的航行的方向是北偏西50度．
【解析】先根据题意得出OA及OB的长，再根据勾股定理的逆定理判断出△OAB的形状，进而可得出结论．
本题考查的是勾股定理的应用，根据题意判断出△AOB是直角三角形是解答此题的关键．
21.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB/​/CD，
∵BC=CB，AC=BD，
∴△ABC≌△DCB(SSS)，
∴∠ABC=∠DCB，
∵AB/​/CD，
∴∠ABC+∠DCB=180°，
∴∠ABC=90°，
∴▱ABCD是矩形；
(2)解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AD=BC，AD//BC
∴∠ABE=90°，∠ADE=∠CED，
∵ED平分∠AEC，∠AEC=60°，
∴∠CED=∠AED=∠ADE=30°，
∴∠BAE=30°，AD=AE=3，
∴BE=12AE=32，
∴CE=BE+BC=32+3=92．
【解析】(1)证明△ABC≌△DCB，可得∠ABC=∠DCB，再根据平行线的性质可得结论；
(2)先根据平行线的性质和角平分线的定义得：∠CED=∠AED=∠ADE=30°，则AD=AE=3，再由30°的直角三角形的性质得BE的长，从而可以得EC的长．
本题考查了矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的判定定理的证明是解题的关键．
22.【答案】解：(1)原式= 7− 6( 7+ 6)( 7− 6)= 7− 6；
(2)原式= 2−1+ 3− 2+ 4− 3+⋅⋅⋅+ 100− 99
= 100−1
=10−1
=9．
【解析】(1)把分子分母都乘以( 7− 6)，然后利用平方差公式计算；
(2)先分母有理化，然后合并同类二次根式即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．思考：我们知道，矩形的对角线相等，反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？可以发现并证明矩形的一个判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形